泛函分析第4章 内积空间.docx
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泛函分析第4章内积空间
第四章内积空间
在第三章中,我们把维空间中得向量得模长推广到一般线性空间中去,得到了赋范线性空间得概念。
但在中可以通过两个向量得夹角讨论向量与方向得问题。
这对仅有模长概念得赋范线性空间就是做不到得。
我们知道,中向量得夹角就是通过向量得内积描述得,因此在本章我们引入了一般得内积空间得概念。
4、1内积空间得基本概念
首先回忆几何空间中向量内积得概念。
设,,设与夹角为,由解析几何知识可得
其中,,
令,称为与得内积,不难证明它有如下性质:
(1)
(2)
(3)
(4)
注:
由定义可得,我们瞧到,两个向量得夹角仅与向量得内积有关。
利用内积我们可以讨论如向量得直交及投影等重要几何问题。
现在我们引入一般得内积空间得概念。
【定义4、1】设为数域上线性空间,若对任两个元素(向量),,有惟一中数与之对应,记为,并且满足如下性质:
(1)
(2)
(3)
(4)
则称为与得内积,有了内积得线性空间叫做内积空间,当为实数域(或复数域),叫为实(或复)内积空间。
注:
由性质(3)与性质(4)知,内积运算关于第一变元就是线性得。
由性质
(2)与性质(4)可推知、于就是当为内积空间时,内积关于第二个变元也就是线性得。
而常称为共轭齐次性,因此在为赋内积空间时,内积就是共轭线性得。
今后讨论中不加注明时,恒设为复内积空间。
【引理4、1】(Schwaraz不等式)设为内积空间,对任意,,成立不等式
证明:
若,则任,有,则显然不等式成立。
现在设,则,有
取代入上式可得,由此可得
证毕。
【定理4、1】设为内积空间,对任,令,则就是得范数。
证明:
因范数得前两条性质可直接由内积得性质推出,我们仅验证它满足第三条性质(即三角不等式)。
事实上
故有、证毕。
注:
常称为内积导出得范数,于就是内积空间按此范数成为一个赋范线性空间。
在此意义下,第二章关于赋范线性空间得有关内容都适用于内积空间。
特别当内积空间按由内积导出得范数完备得,称为Hilbert空间。
以下介绍几个常用得Hilbert空间得例子。
例4、1表示(实或复)Euclid空间,对于,,类似于几何空间中向量得内积定义,令
不难验证成为一个空间。
例4、2,当,
时,令
容易证明成为内积空间。
以下证明为Hilbert空间。
任取列
则对任当时,有
因而有
故数列就是列,因数域完备,则存在,使
令,则任,当时,有
则令,对每个及任,有
因而,亦有,只要,所以,注意就是线性空间,则
且,,这即表明在中收敛,故为Hilbert空间。
例4、3为有限或无穷区间,对任,定义内积
这里中得元素就是实值或复值二次可积函数,也不难验证就是内积空间。
现在证明就是Hilbert空间。
设为列,则对每个,存在自然数,有
对任有限区间,由不等式,有
式中,为得长度。
故级数收敛,于就是由引理(见第一章)我们有
从而知就是集上可积函数,则比在上为处处有限函数,即级数在上几乎处处收敛,而为中任意有限区间,则级数在上几乎处处收敛,因而级数在上几乎处处收敛,亦即函数在上几乎处处收敛于函数、
现在证明,且、
对任意,因为中列,则存在,当时,有,即
令,利用第一章积分得性质,得到
即,且,因此、因此列在中收敛,故就是Hilbert空间。
(1)内积得连续性。
设,则有
证明:
由不等式,得
因收敛有界。
证毕。
(2)极化恒等式。
对内积空间中元素与,成立
证明可直接运用范数得定义与内积得性质得到。
留给读者作为练习。
注:
当为实数内积空间时,则极化恒等式为
(3)中线公式。
对内积空间中元素与,成立
证明:
证毕。
注:
也常称中线公式为平行四边形公式。
因在平面中,平行四边形得对角线长度得平方与等于四条边得长度平方与。
另外,可以证明中线公式就是内积空间中由内积导出得范数得特征性质,即当为赋范线性空间时,若对其中任何元素与关于范数成立中线公式,则必在中可定义内积,使范数可由此内积导出。
也就就是一个赋范线性空间成为内积空间得条件就是其范数要满足中线公式。
因此,内积空间就是一类特殊得赋范线性空间。
例如,当且时,不就是内积空间。
因为,取,,则,且,显然不满足中线公式。
又例如,按范数不就是内积空间。
这只要取,及,,则,且,明显不满足中线公式。
再例如,当且时,也不就是一个内积空间。
习题4、1
1.证明:
Schwarz不等式中等号成立与线性相关。
2.设为实内积空间,,若,证明:
、若,所证明事实有什么几何意义?
3.设为内积空间,,若对任何,有,试证明、
4.设为Hilbert空间,,求证得充要条件就是,且
、
5.验证极化恒等式。
6.设就是维线性空间得一组基,对于,有惟一表示
其中,求证就是上一个内积得充要条件就是存在正定矩阵,成立
4、2内积空间中元素得直交与直交分解
4、2、1直交及其性质
仿照中两个向量得直交概念,我们有如下定义。
【定义4、2】设就是内积空间,,若,称与直交,记为、设,若与每个元素直交时,则称与直交,记为、又,若,都有,则称与直交,记为、设,记,则称为得直交补。
由以上定义,可得如下简明事实(性质):
(1)零元素与中每个元素直交。
(2)若,则、
(3)、
(4)若,则、
(5)任,若,则;若,则、
此外我们还有一下几条有用性质:
(6)若,且,则、
这就是因为、
(7)若,且,则成立勾股公式、
这个性质留给读者自己验证。
(8)对任,则就是得闭子空间。
事实上,任意,则对每个,有,,于就是有,故;又任意,,则任意,有,故,因此成为得线性子空间。
现在证明就是闭集。
若,则为闭集,当,任取,则存在,有、对任意,应用事实(6),有
则,于就是推得,即,因此为闭集。
证毕。
(9)设为非空集,则、
事实上,因,则、另外,对任意,任意取,若,则就是中有限个元素得线性组合,即
于就是,即、
而当,则存在元素,有,由以上证明知,于就是由性质(6)得知、综上所说,,故、证毕。
4、2、2直交投影及变分引理
仿照中向量在坐标轴上投影得概念引入以下定义。
【定义4、3】设就是内积空间得一个线性子空间,,若存在,,使成立,则称为在上得直交投影(可简称为投影)。
注:
一般情况,某个元素在得某个空间上不一定存在投影。
但当投影存在时,则可证明投影得惟一性。
因为若及都就是在上得投影,则由定义有,,于就是,故、
对于,任向量在轴(即子空间)上有投影为、并且知道点到轴上每个点得距离最小者为、这种现象如何在一般得(特别就是无限维)内积空间中表现就是个需要探讨得问题。
为此,我们首先给出重要概念。
【定义4、4】设就是度量空间,就是中非空子集,,则称为到集得距离,记为、若存在某,使,则称为在中最佳逼近元。
注:
一般情况下,某元,在某集中不一定存在最佳逼近元。
并且在最佳逼近元存在时也不一定惟一。
因此,最佳逼近元得存在性及惟一性成为逼近理论中一个主要研究方向。
在此我们仅介绍一个在微分方程,现代控制论等学科都有重要应用得基本结果。
【定理4、2】(极小化向量定理)设就是空间中得凸闭集,则任意,必有中惟一存在最佳逼近元。
证明:
令,则存在,使、因就是凸集,则,于就是必有、
在中线公式中以代换,以代换,则有
因此就是完备内积空间中列,则存在,使、因就是闭集,则,并且有
这证明了最佳逼近元得存在性。
现在证明惟一性。
设也就是得最佳逼近元。
还就是由中线公式得
故,即、证明。
我们通常也称此定理为变分引理。
由于子空间一定就是凸集,并注意定理得证明过程,则定理条件改为就是内积空间中完备得子空间时,定理结论仍成立。
4、2、3投影定理
【定理4、3】(投影定理)设就是内积空间得完备线性子空间,则任意,必在中惟一存在投影。
即必惟一存在,使、
证明:
由题设,依据极小化向量定理,在中存在最佳逼近元,记为
任取复数,则,且有
当时,取代入上式,得
于就是推得,再注意,此式也成立,因而、令,即有、投影得存在性得证。
投影得惟一性已由定义4、3得注得证。
证毕。
注:
(1)为空间时,则对任闭集子空间投影定理成立。
(2)表达式也常称为元素得直交分解,故投影定理也叫做直交分解定理,就是中向量得直交分解得推广。
由于在一般赋范线性空间中没有直交概念,因此不能讨论直交分解得问题。
(3)对于空间及子闭空间,在投影定理条件下有
即表示为两个直交子空间得直与,常称为与得直交与,或直交分解。
投影定理在内积空间理论中就是极为重要得基本定理。
由于投影,就就是元素在子空间中得最佳逼近元,因此在现代逼近论,概率论以及控制论中许多问题都可以抽象为如下得数学问题。
设就是内积空间,且,问就是否存在个数,使得
其中、并且一般假设线性无关。
由于就是一个维赋范线性空间,故完备,则由投影定理,对于,必惟一存在,使、
现在我们给出求解得方法,因,则由投影定理,我们有
即得线性方程组
记其系数行列式为、因为方程组已知有惟一解,故,并且可计算出、
最后,我们再给出投影定理得两个推论。
【推论4、1】设就是内积空间得真闭线性子空间,则中必有非零元素。
证明:
由题设,则存在、由投影定理得知,存在,,使得,于就是必,否则,与之矛盾。
证毕。
【推论4、2】设就是内积空间得真闭线性子空间,则、特别当,则在中稠密。
证明:
由性质(8),就是中真闭线性子空间,因完备,则完备。
显然,有,于就是。
同样得知也完备。
如果,于就是关于,应用推论4、1,存在非零元素,且,故,从而,矛盾。
从而必有,证毕。
习题4、2
1.设就是实内积空间,若,则、问就是复内积空间时,结论就是否成立?
2.证明:
内积空间中得两个元素直交得充要条件就是对任意数,成立、
3.设就是内积空间中两两直交得非零元素组,求证:
线性无关。
4.设就是内积空间,,则对任意,有、
5.设就是空间,就是得子集,求证就是包含得最小闭子空间。
6.设就是空间中非空子集,求证:
、
7.设为空间中全体偶函数得集合:
(1)求证就是中全体奇函数。
(2)任意,求在上得投影。
8.设为空间,元素列且两两直交,求证:
级数收敛数值级数收敛。
9.证明:
直交性质
(1)(5)、
10.设就是内积空间中两两直交元素组,求证:
、
4、3直交系
返照中情况,在内积空间引入直角坐标系得概念。
【定义4、5】设就是内积空间中一个不含零元得子集,若中任意两个不同元素都直交,则称为得一个直交系。
又若中每个元素得范数都就是1,则称为标准直交系。
注:
为了简单起见,我们仅讨论至多含可列个元素得直交系,因为对不可列情况,在方法上同可列情况并无本质得区别。
例4、4在(实或复)空间中
就是一个标准直交系。
例4、5在内积空间,以下元素列就是一个标准直交系
其第个分量就是1,其余分量都就是0,
例4、5在实内积空间中,若定义内积为
则三角函数系
就是得一个标准直交系。
【定义4、6】设就是内积空间中一个标准直交系,对任,称为元素关于得系数,常简称为得系数。
于就是有形式级数,称为元素关于可以展开为级数。
注:
一般情况下,级数不一定收敛。
即或收敛,也不一定收敛于、在什么条件下元素可以展开为级数得问题自然就是重要得。
【定理4、4】设就是内积空间中一个标准直交系,记
对任意给定,则在上得投影就是,即就是在内得最佳逼近元。
证明:
因,由于,则只须证明、由4、2性质(9),又仅须证于就是由,知结论成立。
证毕。
注:
任意,任,成立
【定理4、5】(Bessel不等式)设就是内积空间中一个标准直交系,则对任意,成立Bessel不等式
其中,
证明:
已知,其中,则由勾股定理得
令,得结论成立。
证毕。
注:
Bessel不等式指元素在每个上投影得范数得平方与不大于得范数;由此知为收敛级数,于就是推得事实
特别对内积空间关于标准直交系三角函数系(见例4、3),对任意,其系数为
其中即通常得系数,则由Bessel不等式,得
注意这里用了收敛正项级数得可交换性。
在内积空间给定标准直交系情况下,,其对应得系数构成一个序列,并确定了由到内积空间内得一个映射为
其中,、不难证明就是线性映射。
反之,任意中得元素,一般情况下,不一定存在中元素,使,,但在完备时,有以下定理。
【定理4、6】设就是内积空间中一个标准直交系,则对任意,惟一存在,使,,且成立等式
证明:
令,因为,由于级数收敛,则根据收敛准则,有
故就是完备空间中一个列,则存在,有
现在设为任意自然数,则
再注意,令,即得等式、
最后证明惟一性。
若,也满足定理结论
且
则因(由定理4、3),令,推得、由极限得惟一性,必、证毕。
注:
在为空间时,可确定一个有到内得映射。
但在一般情况下,不能断定映射就是满射。
因此不一定为由到上得一一映射。
在维空间中,标准直交基(直角坐标系)得极大性就是至关重要得,对此我们有如下推广。
【定义4、7】设就是内积空间中一个标准直交系,若对任意,有,,则必,我们就称就是完全得。
如例4、2中得标准直交系就是中一个完全得标准直交系。
【定理4、7】设就是空间中一个标准直交系,则一下得命题等价:
(1)就是完全得;
(2)对任意,成立等式,其中,;
(3)对任意,有,其中,;
(4)对任意两个元素有
证明:
(1)
(2)、设就是完全得,对任意,记,,则由定理4、5知,再由定理4、6知,惟一存在,使得且成立因为,,则,、由于就是完全得,于就是必有,因此有,命题
(2)成立。
(2)(3)、现在假设命题
(2)成立,任意取,令,,,则有
即得,于就是命题(3)成立。
(3)(4)、现在假设命题(3)成立,任意取,令,,则有,、于就是可得
即命题(4)成立。
(4)
(1)、现在假设命题(4)成立,取,若,,此时任取,有,即,故,因此命题
(1)成立。
证毕。
注:
若空间存在得标准直交系,则任意,有,映射就是由到上得一个等距同构映射,故与得等距同构。
以下得定理在判别某标准直交系得完全性时就是经常有用得。
【定理4、8】设就是空间中一个标准直交系,如果等式在中某稠密子集上成立,则就是完全得。
证明:
则就是得闭线性子空间。
任,令,,则由假设成立,同定理4、7
(2)(3)之证明得,故、于就是、因就是闭集,则,即得、由定义,任,有,且,、因此由定理4、7命题(3)成立推得则就是完全得。
证毕。
例4、7中三角函数系就是完全得。
因为取在中稠密。
对任意三角多项式不难验证成立等式。
根据定理4、7,对任意,其中级数
依范数收敛于、但这并不能推知每个,有
由线性代数及解析几何得知识,我们知道直交组比一般得线性无关组得性质更为优越,若某向量可用标准直交组线性表示,其组合系数有内积容易求出,十分方便。
以下介绍一个得到标准直交系得常用得方法。
对内积空间中已知得某线性无关序列,通过标准直交化过程可获得一个标准直交系。
其过程如下:
第一步,把标准化,令
第二步,记由定理4、4得知,在上得投影为,由投影定理,记,则、因为,线性无关,则,此时令
不难瞧出有
第三步,记,也由定理4、4得知,在上得投影为,依据投影定理,记,则,因为,,线性无关,则,此时令
且易知
于就是归纳有第步,记,同样由定理4、4得知,在上得投影为,并根据投影定理,记,则,,又因为,,线性无关,则,此时令
则易知
于就是以上程序无限进行下去,即得一个标准直交系、
由定理4、7后面得注得知具有可列得完全得标准直交系得空间与等距同构。
因就是可分得(即存在有限或可列稠密子集),则也就是可分得。
相反地,我们有如下定理。
【定理4、9】设就是空间,则
(1)若就是可分得,则必有至多可列得完全得标准直交系;
(2)设就是无限维得可分空间,则得每个完全得标准直交系都就是可列集。
证明:
由于存在有限或可列(也称为至多可列)个元素,使,且不妨设为线性无关集合。
由标准直交化程序,可构造出对于得(等势得)标准直交系、当为维内积空间时,则有,故有
从而有
于就是必有
故就是完全得。
定理4、9
(1)证毕。
又X存在可列稠密子集D,任取X一个完全标准直交系M,则M就是一个无限集。
任取,M,且,都有
记,
则。
由于在中稠密,则存在,,有。
于就是得势大于得势。
因而必就是可列集。
证毕。
习题4、3
1.在内积空间中,试给出一个使不等式成为严格不等式得例子。
2.设就是内积空间中一个标准直交系,求证对任意,,有
3.设就是内积空间中一个标准直交系,给定,令,则对任意,求证:
(1)使成立不等式得仅有有限个;
(2)设得个数为,则有。
4.在中,试将,,标准直交化。
5.求,使取最小值。
6.设就是空间中一个标准直交系,若,有
求证:
(1);
(2)级数就是绝对收敛得。
7.设就是空间中一个标准直交系,给定,若,求证且有。
8.设就是空间中一个完全标准直交系,试问就是否每个都可用线性表示。
9设就是空间中一个标准直交系,任意,求证在中收敛,并且与每个直交。
4、4空间上有界线性泛函
在理论及应用中,对一个具体得赋范线性空间来说,往往要与它得共轭空间结合一起来研究。
为此,知道有界线性泛函得一般形式,自然就是十分重要得。
对于一般赋范线性空间,获得这种表示就是相当困难得。
但对于空间,情况却非常简单。
4、4、1定理
【定理4、10】设就是空间,对于每个,惟一存在,使任意,有
并且还有
证明:
若为零泛函,则取中零元素即可。
现在设,令为得零空间。
因就是连续线性泛函,则就是得闭子空间。
因,则必有为得真子空间。
由投影定理,必定有且。
所以
任取,因为
则。
于就是有
从而得。
此时令,即有
存在性得证。
现在证明由惟一确定。
如果还有,使
于就是有,,即,所以,惟一性得证。
最后证明。
当,事实明显。
现在设,则。
首先由不等式有
于就是推得;
另一方面,取,又有
于就是推知。
因此必成立。
定理证毕。
注:
定理4、10告诉我们产生了一个由到内得映射。
现在要说明它就是一一映射。
因为任意取定元素,则确定上一个泛函为
由内积得性质可知就是线性得。
再由不等式,有
因而就是有界泛函,且,故。
类似于定理4、10得证明,可推知。
于就是可得以下得由到上得映射就是个一一映射:
,使,。
任取复数及元素,令
,
则对任意,有
即有
因此称为复共轭线性映射,并且有
即就是一个等距映射(或称为保范映射)。
故称映射就是到上得复共轭等距映射。
在这种意义下,认为元素与对应得泛函就是一致得,即。
因此,称为自共轭空间(必须注意就是在复共轭等距同构意义下)。
4、4、2空间上得共轭算子
我们曾在第3章讨论过赋范线性空间上得共轭算子问题。
现在我们利用空间与共轭空间得一致化,引入所谓空间上得共轭算子概念。
这类算子就是在研究矩阵及线性微分(或积分)方程得问题中提出来得,有着广泛得应用。
【定义4、8】设与就是两个内积空间,就是一个有界线性算子。
又设就是有界算子,若对任意得,都有
就称就是得共轭算子(或伴随算子)。
注:
在复空间情况下,第3章关于赋范线性空间所引进得共轭算子与定义4、8所陈述得共轭算子并不完全一致,设及复数,按第3章所述定义,有
但依定义4、8得概念,却有
而在实空间情况下,两者完全一致。
例4、8设为复空间,对于有界线性算子,则为行列得矩阵,即
当时,有
此时,任取,有
其中
我们瞧到共轭算子就是得转置共轭矩阵。
如果就是维(实或复)内积空间,取定为其一个标准直交基,就是维(实或复)内积空间,取定为其一个标准直交基。
设就是一个线性算子(则一定有界)。
令
则任意,有惟一表示,于就是有
不难瞧出,线性算子由一个行列得矩阵所决定。
类似于空间得情形,可得得共轭算子由得转置共轭矩阵表示。
以下定理说明了一般情况下共轭算子得存在性。
【定理4、11】设就是空间,就是内积空间,则对任意有界线性算子,必惟一存在共轭算子。
证明:
对任意取定,确定了上线性泛函,其中。
因
则,且。
由定理,惟一存在有
我们得到了算子为,且。
使对任意得,有。
现在证明就是由到得有界线性算子。
任意取复数及元素,因有
因此。
这说明就是线性得。
再由得定义,对任意得,有,因此有,即为有界线性算子,而得惟一性就是明显得。
证毕。
再给出一个实例。
设就是矩形区域上平方可积函数,则由核定义了空间上得有界线性算子为
就是一个型积分算子。
现在求得共轭算子。
任取,因为在给定条件下可交换积分次序,有
故有。
即就是以为核得型积分算子。
由例4、8,我们瞧到共轭算子就是转置共轭矩阵概念得推广,因此它必然具有许多类似转置共轭矩阵得性质。
【定理4、12】(共轭算子得性质)设,就是空间,就是内积空间。
就是复数,则以下命题成立:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6)存在有界线性逆算子得充要条件就是也存在有界线性逆算子,有;
(7)。
证明:
(1)任取有
因此有。
性质
(1)得证。
(2)证明留给读者证明。
(3)任取有,因此有。
于就是
由定义4、8得知。
性质(3)得证。
(4)由定理4、11得证明已知。
因此也有,即。
于就是必。
任取,因
则得。
另一方面,任取,且,有
则得
即有。
综上所证就得到。
性质(4)得证。
(5)由假设知。
任取,因
于就是有。
性质(5)得证。
(6)设存在有界线性逆算子,则,其中分别就是及上单位(恒等)算子。
因明显有,则利用性质(5)可得
因此知就是得逆算子,即成立。
反之,设存在有界线性逆算子,于就是由前证有存在有界线性逆算子。
性质(6)得证。
定理证毕。
(7)设,则,于就是由性质(6),存在有界线性逆算子,而,可见,故。
同理可证
即
所以
而分别就是,得余集,因此
习题4,4
1设就是空间,就是内积空间,若,有,求证。
2设就是空间,求证就是自反空间。
3证明,其中分别就是空间上单位算子与零算子。
4试求作用于上得算子得共轭算子:
(1)
(2)。
5试求作用于上得算子得共轭算子:
(1),其中,就是实常数;
(2),其中。
6设就是复空间,。
求证:
若,则对任意,有。
7设就是空间,且,求证:
。
8设,就是空间,。
记得零空间与值域分别为,。
(1)任,若,求证;
(2)若
(1)中,,都就是闭线性子空间,若,求证;
(3)求证;
。
9设就是复空间,就是得闭线性子空间,求证:
若就是就是某个非零有界线性泛函得零空间,则就是得一维空间。
4、5自共轭算子
在4、4节中我们引进了空间上共轭算子得概念,如果,那么。
当就是实空间且就是有穷维时,算子就可瞧成实方阵,而就就是得转置。
若=,那么矩阵就就是对称矩阵。
通过线性代数我们知道,对称矩阵有很多好得性质。
在这里我们将对称矩阵得概念一般化,引入一类重要得算子。
【定义4、9】若=,则称为自共轭算子(或自伴算子)。
【定理4、13】设就是空间,则下面得结论成立:
(1)若,则为自共轭算子当且仅当对就是实数。
(2)若且为自共轭算子,则对任何实数就是自共轭算子。
(3)若且为自共轭算子,则就是自共轭算子得充要条件就是。
证明:
(1)设对任何,就是实数,来证。
由于
所以,令,那么。
又
及
于就是得
及
故,对,可见,即就是零算子。
于就是。
反之,若,则
那么就是实数。
(2)由性质
(1)之证,由于就是实数,所以就是自共轭算子。
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- 泛函分析第4章 内积空间 分析 内积 空间