线性代数公式定理总结.docx
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线性代数公式定理总结
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第一章行列式
1.逆序数
1.1定义
n个互不相等的正整数任意一种排列为:
i1i2in,规定由小到大为标准次序,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有一个逆序数,该排列全部逆序数的总合用
数字的个数之和。
1.2性质
一个排列中任意两个元素对换,排列改变奇偶性,即2
证明如下:
设排列为a1alab1bmbc1cn,作m次相邻对换后,变成a1alabb1bmc1cn,再作m1次相邻对换后,变成a1albb1bmac1cn,共经过2m1次相邻对换,而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1,要么减少1,相当于2
故原命题成立。
2.n阶行列式的5大性质
性质1:
转置(行与列顺次互换)其值不变。
性质2:
互换任意两行(列)其值变号。
性质3:
任意某行(列)可提出公因子到行列式符号外。
性质4:
任意行列式可按某行(列)分解为两个行列式之和。
性质5:
把行列式某行(列)倍后再加到另一行(列),其值不变。
行列式的五大性质全部可通过其定义证明;而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。
对性质4的重要拓展:
设n阶同型矩阵,
ni1i2in表示,i1i2in等于它所有数字中后面小于前面11。
11,也就是排列必改变改变奇偶性,2m1次相邻对换后212m1111,Aaij;BbijABaijbij,而行列式只是就某一列分解,所以,AB应当是2个行列式之和,即ABAB。
韦达定理的一般形式为:
nn1n2nan1an2nnaa00xi;xixj;xi10
ananani1ij1i1nanxan1xan2x
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一、行列式定义
1.定义
a11
a21
an1a12a22an2a1na2nann
(1)(j1j2jn)a1j1a2j2anjn
其中逆序数
个数.后面的j1小的数的个数j2后面比j2小的数的个数jn1后面比jn1小的数的j1j2njj1
2.三角形行列式
a11
0a12a220a1na11a2na21annan10a22an200a11a22annann0
an10ann1a1na11a2na21annan1a12a220a1nnn10nn1211a1na2n1an112a1na2n1an10
二、行列式性质和展开定理
1.会熟练运用行列式性质,进行行列式计算.
2.展开定理
ai1Ak1ai2Ak2ainAknikAa1jA1ka2jA2kanjAnkjkA
三、重要公式
设A是n阶方阵,则
1.
2.
3.ATA1A1AA*A
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4.kAknA
5.ABAB,其中B也是n阶方阵
6.设B为m阶方阵,则
AC
0BA0
CBAB
0ACAmn
BCB01AB
7.范德蒙行列式
111
x1x2xn
x2
1x2
2x2
nxixj
1jinxn1
1xn1n1
2xn
四.有关结论
1.对于Ann,Bnn
(1)A0A0
(2)ABAB
2.A为n阶可逆矩阵
行变AEAE(A与E等价)
列变
AX0只有惟一零解
AXb有惟一解(克莱姆法则)A的行(列)向量组线性无关A的n个特征值i0,i1,2,,nA可写成若干个初等矩阵的乘积r(AB)r(B)
ATA是正定矩阵
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A是Rn中某两组基之间的过渡矩阵
3.A为n阶不可逆矩阵
A0AX0有非零解r(A)n0是A的特征值AA
4.若A为n阶矩阵,i(i1,2n)为A的n个特征值,则Ai
i1n
5.若A~B,则B
行列式的基本计算方法:
1.应用行列式的性质化简行列式(例如化为三角形行列式就是一个常用方法)。
2.按行(列)展开行列式(在此基础上,有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式)。
在实际使用中,常常将上述两种方法交替使用。
行列式的计算是行列式的重点矩阵
一内容概要
1矩阵的概念
注意它和行列式的区别:
1)表现形式上的差别;2)表现本质上的差别,一个是数(行列式是数),而矩阵是一个符号;
3)一般地当A是一个方阵时候,
2矩阵的运算及其运算律
(1)矩阵的相等;
(2)矩阵的线性运算:
A才有意义,但是AA;此外当A是长方形矩阵时A没有意义。
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a)矩阵的和:
A+B注意A和B要是阶数一致的矩阵(或称同型矩阵);
b)矩阵的数乘(或称数乘矩阵)kAk(aij)mnkaijmn;
c)一般地,若
线性运算;A1,A2,,At是同型矩阵,则k1A1k2A2ktAt有意义,称为矩阵A1,A2,,At的一个
3矩阵的转置
将矩阵A的行列互换,得到新的矩阵
4矩阵的乘法
矩阵乘法的定义:
AT或A,称为矩阵A的转置。
AmnBnsCijms
注意指出:
在定义中,第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,而
cijai1b1jai2b2jainbnjai1ai2b1jb2jai4bnj
5关于矩阵运算的运算律要注意的问题:
1)一般地
致;例如ABBA其原因是a)AB与BA不一定同时有意义;b)即使AB与BA都有意义,AB与BA的阶数也未必一
Aaij32,Bbjt23,则AB与BA都有意义,但其阶数不同;
c)即使AB与BA其阶数相同,但AB与BA也未必相同;如果AB=BA,则称A与B是可以交换的。
例如1111A,B,则AB与BA都有意义,但是ABBA1111
2)矩阵的乘法不满足消去律,
即一般地若ABAC,A0,推不出BC,例如若AX0,A0,推不出X0
T3)若ABBTATAB有意义,则
3几种特殊类型的矩阵
(1)0矩阵;
(2)单位矩阵;(3)对角矩阵;数量矩阵;(4)三角矩阵;上三角、下三角矩阵;
(5)对称矩阵:
若Aaijnn,aijaji,即AAT;
(6)反对称矩阵:
若Aaijnn,aij-aji,即A-AT;
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关于反对称矩阵常用的结论:
1)A的主对角线上的元素全是0;2)若A是奇数阶行列式,则A0;
(7)正交矩阵:
若A满足:
AATATAE或ATA1,则称A是正交矩阵。
关于正交矩阵与对称矩阵的关系有:
若A是一个实对称矩阵,则存在一个正交矩阵T使得:
12;TTATT1ATn1n
(8)阶梯形矩阵
若A满足:
0行全在非0行的下方,非0行的第一个非0的数它的下面的数全是0(若有的话);
关于阶梯形矩阵:
任意一个矩阵A都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵;
(9)分块矩阵;对一个矩阵进行适当的分快,可以带来很多方便,它有很多的应用;
(10)初等矩阵:
初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切,要充分理解它的概念和它的作用。
4分块矩阵
当一个矩阵的阶数较高时,对此矩阵进行恰当的分块,更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。
矩阵分块的原则:
在同一行中,其各个块矩阵的行数一致,在同一列中,其块矩阵列数一致;
分块矩阵运算的原则:
(1)分块矩阵的加法:
若A+B,其对矩阵A,B的分块方法完全一致;
(2)分块矩阵的乘法:
若AB,其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。
5初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价
(1)初等矩阵的定义:
对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵;
用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。
(2)初等变换
初等行变换、初等列变换;
(3)初等变换与初等矩阵之间的关系
对矩阵A做一次初等行变换成为B,则B=PA(其中P是与行变换相对应的初等矩阵)举例说明:
122122r1
(2)r2A231013B
131131
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122100122则BPA即B013210231
131001131
对于矩阵A作一次初等列变换成为B,则B=AP(其中P是与上述列变换相对应的初等矩阵)。
举例说明A122
231102
c1
(2)c2
211B
131111
B102
211
122120
231010
111131001
(4)矩阵A与B等价
如果A能够通过初等变换变为B则称A与B等价,用式子表示就是:
BPtPt1P1AQ1Q2Qs,其中Pi,Qj是初等矩阵
每一个矩阵A都与矩阵E0
r
00等价,其中r是矩阵A的秩,即存在
初等矩阵PEr0
i,Qj使得:
PtPt1P1AQ1Q2Qs00
6关于n阶矩阵的逆矩阵
(1)逆矩阵的定义:
设A是一个n阶矩阵,若有n阶方阵B使得
AB=E或BA=E则称矩阵A是可逆的;
(2)n阶方阵A可逆的充要条件
1)用矩阵的方式描述:
存在矩阵B使得AB=E或BA=E(即定义);
2)用A的行列式A0;
3)用矩阵的秩来描述:
r(A)n这里n是矩阵A的阶数;
4)用向量的观点来描述:
矩阵A的行向量组(或列向量组)线性无关;
5)用方程组的观点来描述:
方程组AX=0仅有0解;
6)用矩阵A的特征值来描述:
A的特征值全不0;
(3)逆矩阵的性质
1)若A有逆矩阵,则逆矩阵是唯一的;
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2)若A,B是同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且
3)AB1B1A1;1A11A,AT
11(A1)T,kAk1A1A1A,An1A;11nA1A04)0B0
(4)逆矩阵的求法00,1BBA01A01B1010BA10
1)具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法;或用初等变换的方法。
这是两种最基本的方法,应该熟练,特别是对于三阶矩阵;
初等变换求逆矩阵的方法:
A|E一系列初等行变换E|B,则BA1
2)对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵,常用的方法是想办法找到矩阵B使得:
AB=E,或BA=E,此时的B就是所求的逆矩阵;
3)如果要判断矩阵A是否可逆,就考虑上述的矩阵可逆的充要条件;
(5)关于伴随矩阵
1)伴随矩阵的定义,强调伴随矩阵中元素的构成规律;
2)伴随矩阵常用的性质对于任意的方阵A均有此伴随矩阵A*
使得AA*A*AE当A0时,A1
A*的秩为:
1*A,A0时:
AA*A*A0A对于一般地方阵A,其伴随矩阵
n若r(A)nr(A*)1若r(A)n10若r(A)n2
当A0A*An1,当A0时A*0。
(6)关于矩阵的秩
1)矩阵秩的定义:
在矩阵A中,有一个不等于0的r阶子式Dr,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0,那么r称为矩阵A的秩,Dr称为矩阵A的最高阶非0子式。
规定0矩阵的秩是0。
2)矩阵的秩与初等变换的关系:
对矩阵A实行初等变换其秩不变
A一系列初等变换B,则r(A)r(B)
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3)矩阵秩的求法应用上面的结论,求矩阵A的秩其一般方法是
A一系列初等变换T(T是阶梯型矩阵),
则r(A)r(T)T的非0行的行数
4)有关矩阵秩的重要结论
rArATrAAT(若A是实矩阵)
若A0,则1r(A)minm,n
r(AB)r(A)r(B),rABminr(A),r(B),maxr(A),r(B)rA|Br(A)r(B)
若P、Q分别是可逆矩阵,且下列运算有意义,则
r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)
A00rr(A)r(B),r0BB
若A为mn矩阵,B为ns矩阵,且AB=0,则:
Ar(A)r(B)0
r(A)r(B)n
此外,矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来,注意和向量组的秩的关系。
二常见题型
题型一:
有关矩阵运算律的考察和相关概念的考查
在考虑矩阵的乘积可交换时,常常利用
题型二:
矩阵可逆的计算与证明
(1)对于具体的三阶、四阶的数字矩阵求此逆,初等变换的方法一定要会,用伴随矩阵的方法要基本清楚;
(2)如果给定了抽象的条件,要求AA1A1AE来进行。
A1,此时注意将条件转化为AB=E,或BA=E,此时的B就是要求的A1。
在处理有关矩阵逆的问题的时候,注意逆矩阵的性质以及前面所讲的矩阵可逆的充要条件。
题型三:
关于伴随矩阵
逆矩阵常常与伴随矩阵相联系,此外伴随矩阵也是多年来考察的热点。
这类问题多注意伴随矩阵的定义以及与逆矩阵的关系。
题型四:
有关初等矩阵及其初等变换的问题
题型五:
解矩阵方程
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将所给的条件转化为矩阵方程:
对于矩阵方程
或者先求出AXB或XAB或AXCB这里的矩阵A,C一般地都是可逆矩阵。
A|B初等行变换AXB,其一般的解法为:
E|D,则这里的矩阵DA1B;A1,再计算A1B。
对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解方法。
题型六:
关于矩阵的秩
1具体的数字矩阵求秩,用初等变换进行,对矩阵A实行初等变换使之称为阶梯形矩阵T,由此可求出矩阵A的秩(在初等变换下,矩阵的秩不变);
2利用矩阵的秩,等于矩阵A的行向量组的秩,等于矩阵A的列向量组的秩等性质。
3注意矩阵秩的有关不等式。
题型七:
求一个方阵的高次幂
当A是一个方阵的时候,
Ak才有意义,否则没有意义。
第三章n维向量空间
§3.1n维向量的定义
1.定义
定义:
n个数a1,a2,,an构成的有序数组,记作
称为n维行向量.
(a1,a2,,an),ai––称为向量的第i个分量aiR––称为实向量(下面主要讨论实向量)aiC––称为复向量
(0,0,,0)零向量:
负向量:
()(a1,a2,,an)
a1a
2an,列向量:
n个数a1,a2,,an构成的有序数组,记作
或者(a1,a2,,an)T
称为n维列向量.
a10a0
()2an0负向量:
零向量:
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.
§3.2n维向量的线性运算
1.定义
线性运算:
(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn)
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相等:
若ai
加法:
bi(i1,2,,n),称Δ.(a1b1,a2b2,,anbn)
Δ
数乘:
k(ka1,ka2,,kan)
减法:
2.线性运算律:
Δ()(a1b1,a2b2,,anbn)
(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn),(c1,c2,,cn)
(1)(5)1
(2)()()(6)k(l)(kl)
(3)(7)k()kk
(4)()(8)(kl)kl§3.3向量组的线性相关性
1.线性组合与线性表示
对n维向量及1,,m,若有数组k1,,km使得
k11kmm,称为1,,m的线性组合,或可由1,,m线性表示.
例如,
21005010,1,2,3,4有30010000
即=25301234
,0001210005010025303001000001
所以称是1,2,3,4的线性组合,或可由1,2,3,4线性表示。
判别是否可由向量组1,2,3,,m线性表示的定理:
定理1向量可由向量组1,2,3,,m线性表示的充分必要条件是:
以1,2,3,,m为系数列向量,以为常数项列向量的线性方程组有解,且一个解就是线性表示的系数。
2.向量组的线性相关性
对n维向量组1,,m,若有数组k1,,km不全为0,使得
k11kmm0
称向量组1,,m线性相关,否则称为线性无关.线性无关:
对n维向量组1,,m,仅当数组k1,,km全为0时,才有
k11kmm0
称向量组1,,m线性无关,否则称为线性相关.定理2向量组1,2,,m4012213线性相关其中至少有一个向量可由其余1,2,3个向量线性表示.
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推论:
向量组1,2,,m4012213线性无关
Ax0有非零解,其中A(1,2,,m)。
任何一个向量都不可由其余1,2,3个向量线性表示.定理3n维向量组1,2,,m线性相关
推论:
n维向量组1,2,,m线性无关Ax0只有零解,其中A(1,2,,m)。
定理4若向量组1,2,,m线性无关,1,2,,m,线性相关,
则可由1,2,,m线性表示,且表示式唯一.
一些结论:
(1)单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关;
(2)含零向量的任何向量组线性相关;
(3)基本向量组e1,e2,,en线性无关;
(4)有两个向量相等的向量组线性相关;
(5)m>n时,m个n维向量必线性相关.特别:
m=n+1;
(6)n个n维向量线性无关它们所构成方阵的行列式不为零;
(7)n维向量空间任一线性无关组最多只能包含n向量.
§3.4向量组的极大线性无关组
1.等价向量组
设向量组T1:
1,2,,r,T2:
1,2,,s
若i(i1,2,,r)可由1,2,,s线性表示,称T1可由T2线性表示;
若T1与T2可以互相线性表示,称T1与T2等价.
(1)自反性:
T1与T1等价
(2)对称性:
T1与T2等价T2与T1等价
(3)传递性:
T1与T2等价,T2与T3等价T1与T3等价
等价向量组的基本性质:
定理设1,2,,s与1,2,,s是两个向量组,如果
(1)向量组1,2,,s可以由向量组1,2,,s线性表示;
(2)st
则向量组1,2,,s必线性相关。
推论1向量组1,2,,s可以由向量组1,2,,s线性表示,并且
1,2,,s线性无关,那么st。
推论2两个线性无关的等价的向量组,必包含相同个数的向量。
2.向量组的极大线性无关组
设向量组为A,如果在A中有r个向量1,2,,r满足:
(1)A0:
1,2,,r线性无关;
(2)任意r1个向量线性相关(如果有r1个向量的话).
称1,2,,r为向量组为A的一个极大线性无关组,简称极大无关组。
注:
(1)只含零向量的向量组没有极大无关组;
(2)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
(3)一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组表示。
例如,在向量组
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2421211,2,3354141中,首先1,2线性无关,又1,2,3线性相关,所以1,2组成的
部分组是极大无关组。
还可以验证2,3也是一个极大无关组。
注:
一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。
极大无关组的基本性质:
性质1任何一个极大无关组都与向量组本身等价。
性质2向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
定理一个向量组的任意两个极大无关组等价,且所包含向量的个数相同。
3.向量组的秩与矩阵秩的关系
3.1向量组的秩
定义3向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记做r(1,2,,s)。
2421211,2,3354141的秩为2.例如,向量组
关于向量组的秩的结论:
(1)零向量组的秩为0;
(2)向量组1,2,,s线性无关
向量组1,2,,s线性相关r(1,2,,s)s,r(1,2,,s)s.,
(3)如果向量组1,2,,s可以由向量组1,2,,t线性表示,则r(1,2,,s)r(1,2,,s);
(4)等价的向量组必有相同的秩。
注:
两个有相同的秩的向量组不一定等价。
两个向量组有相同的秩,并且其中一个可以被另一个线性表示,则这两个向量组等价。
3.2矩阵的秩
3.2.1行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量,则矩阵可被认为由这些行向量组成,
把矩阵的每一列看成一个向量,则矩阵可被认为由这些列向量组成。
定义4:
矩阵的行向量的秩,就称为矩阵的行秩;
矩阵的列向量的秩,就称为矩阵的列秩。
问题:
矩阵的行秩等于矩阵的列秩吗?
引理1:
矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩。
引理2:
矩阵的初等行(列)变换不改
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