高考数学二轮复习专题三不等式第1讲不等式的解法与三个二次.docx
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高考数学二轮复习专题三不等式第1讲不等式的解法与三个二次
第1讲 不等式的解法与三个“二次”的关系
[考情考向分析] 不等式是数学解题的重要工具,一元二次不等式是江苏考试说明中的C级内容,高考会重点考查.主要考查方向是一元二次不等式的解法及恒成立问题,其次考查不等式与其他知识的综合运用.
热点一 不等式解法
例1
(1)(2018·江苏兴化一中模拟)已知定义在区间[-2,2]上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当-2≤x<0时,f(x)=x2-x,则不等式f(x)≤x的解集为_________.
答案 [1,2]
解析 当-2≤x<0时,解f(x)≤x即x2-x≤x得0≤x≤2,舍去;
当0≤x<2时,f(x)=f(x-2)=(x-2)2-(x-2),
解f(x)≤x得x2-7x+6≤0,所以1≤x≤6,因此1≤x<2;
当x=2时,f
(2)=f(0)=f(-2)=<2.
综上,不等式f(x)≤x的解集为.
(2)解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.
解 当a=0时,原不等式可化为x-2<0,所以x<2.
当a≠0时,原不等式化为a(x-2)>0,
①当a>1时,<2,原不等式化为(x-2)>0,所以x<或x>2.
②当a=1时,=2,原不等式化为(x-2)2>0,所以x∈R且x≠2.
④当a<0时,<2,原不等式化为(x-2)<0,所以 综上所述,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<2}; 当a>1时,原不等式的解集为; 当a=1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2}; 当0 当a<0时,原不等式的解集为. 思维升华 不等式的解法主要是两种: 一种是直接利用其解法直接求解,含参数的一元二次不等式要讨论二次项系数,判别式符号及两根大小;另一种方法是利用函数图象及性质求解. 跟踪演练1 (1)已知函数f(x)=则不等式f(x)≥x2的解集是________. 答案 [-1,1] 解析 依题意得或 ⇒-1≤x≤0或0<x≤1⇒-1≤x≤1. (2)在R上定义运算⊙: a⊙b=ab+2a+b,则不等式x⊙(x-2)<0的解集是____________. 答案 解析 由题意得,x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+x-2, 解x(x-2)+2x+x-2<0,得-2 热点二 三个“二次”之间的关系 例2 已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R,g(x)=x2-1. (1)当a=1时,解不等式f(x)≥g(x); (2)记函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为F(a), 求F(a)的表达式. 解 (1)由f(x)≥g(x),当a=1时, 即解不等式x|x-1|≥x2-1. 当x≥1时,不等式为x2-x≥x2-1, 解得x≤1,所以x=1; 当x<1时,不等式为x-x2≥x2-1, 解得-≤x≤1,所以-≤x<1. 综上,不等式f(x)≥g(x)的解集为. (2)因为x∈[0,2],当a≤0时,f(x)=x2-ax,则f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以F(a)=f (2)=4-2a. 当0 而f=,f (2)=4-2a,令f<f (2), 即<4-2a,解得-4-4<a<-4+4, 所以当0<a<4-4时,F(a)=4-2a; 令f≥f (2),即≥4-2a, 解得a≤-4-4或a≥-4+4, 所以当4-4≤a<2时,F(a)=. 当a≥2时,f(x)=-x2+ax, 当1≤<2,即2≤a<4时,f(x)在区间上是增函数,在上是减函数,则F(a)=f=; 当≥2,即a≥4时,f(x)在区间[0,2]上是增函数, 则F(a)=f (2)=2a-4. 综上,F(a)= 思维升华 三个“二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础,一般可把a<0的情况转化为a>0时的情形. 跟踪演练2 (1)已知m,n为实数,若关于x的不等式x2+mx+n<0的解集为(-1,3),则m+n的值为____________________________________________________________________. 答案 -5 解析 由题意得,-1,3为方程x2+mx+n=0的两根,因此解得m=-2,n=-3,m+n=-5. (2)(2018·江苏徐州三中月考)已知函数f(x)=-x2+ax+b的值域为,若关于x的不等式f(x)>c-1的解集为,则实数c的值为________. 答案 - 解析 由题意得Δ=0,a2+4b=0, ∴f(x)=-2,由f(x)>c-1有解得c<1, 即2<1-c,- 因此-=m-4,+=m+1, ∴2=5,c=-. 热点三 一元二次不等式的综合问题 例3 (1)(2018·镇江期末)已知函数f(x)=x2-kx+4对任意的x∈,不等式f(x)≥0恒成立,则实数k的最大值为________. 答案 4 解析 ∵函数f(x)=x2-kx+4对任意的x∈,不等式f(x)≥0恒成立, ∴x2-kx+4≥0,化简可得k≤x+. ∵x+≥2=4,当且仅当x=2时取等号, ∴k≤4, ∴实数k的最大值为4. (2)已知函数f(x)=loga(x2-a|x|+3)(a>0,且a≠1).若对于-1≤x1 答案 (0,1)∪[2,4) 解析 易知已知函数为偶函数, 则当x∈时为减函数. 对于x∈, f(x)=loga(x2-ax+3)(a>0,且a≠1), 设g(x)=x2-ax+3, 由题意得或 则2≤a<4或0 思维升华 (1)二次不等式在R上的恒成立问题,可以利用判别式的符号解决;在某个区间上的恒成立问题,可以利用最值或者参变量分离解决. (2)含多个变量的恒成立问题首先要清楚选谁为主元,一般地,求谁的范围,谁就是参数. 跟踪演练3 (1)若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是________. 答案 (-∞,2] 解析 不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立可化为(1-x)k>1-x2对x∈(1,2)恒成立, 即k<1+x对x∈(1,2)恒成立, 而函数y=1+x在(1,2)上为单调递增函数, 所以k≤1+1=2, 即实数k的取值范围是(-∞,2]. (2)若关于x的不等式ax2-|x|+2a<0的解集为空集,则实数a的取值范围为________. 答案 解析 方法一 设f(x)=a|x|2-|x|+2a,原不等式ax2-|x|+2a<0的解集为∅,即f(x)≥0恒成立, 令t=|x|,即g(t)=at2-t+2a在[0,+∞)上恒有g(t)≥0,则或解得a≥. 方法二 当a=0时,-|x|<0,不等式解集为{x|x≠0},不满足题意; 当a≠0时,根据题意得 解得a≥. 综上所述,a的取值范围是. 1.(2018·江苏)函数f(x)=的定义域为________. 答案 {x|x≥2} 解析 由log2x-1≥0,即log2x≥log22,解得x≥2, 满足x>0, 所以函数f(x)=的定义域为{x|x≥2}. 2.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________. 答案 解析 作出二次函数f(x)的图象,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0, 则有 即解得- 3.已知a∈R,关于x的一元二次不等式2x2-17x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则实数a的取值范围为________. 答案 (30,33] 解析 二次函数f(x)=2x2-17x+a的对称轴为x=,所以3个整数为3,4,5.所以 解得30 4.已知函数f(x)=,x∈R,则不等式f(x2-2x) 答案 (1,2) 解析 由题意得f(x)=作出其图象如图所示. ∵f(x2-2x) ∴ 解得∴1 5.(2018·江苏省南京市金陵中学月考)已知0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,则t的取值范围是________. 答案 解析 当x=0时,-1<0<1成立; 当0 因为=-2+1,所以max=1, 则t≥1;① 因为=2-1在上单调递增, 所以min=2-1=,则t≤;② 由①②可得,1≤t≤. A组 专题通关 1.已知函数f(x)=的定义域为A,2∉A,则a的取值范围是________. 答案 (1,3) 解析 ∵2∉A,∴4-4a+a2-1<0, 即a2-4a+3<0,解得1 2.若a<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是________. 答案 (-∞,5a)∪(-a,+∞) 解析 由x2-4ax-5a2>0,得(x-5a)(x+a)>0, 因为a<0,所以x<5a或x>-a. 3.函数y=的定义域是R,则实数k的取值范围为________. 答案 [0,1] 解析 由题意知,kx2+4kx+(k+3)≥0的解集为R. (1)当k=0时,不等式为3≥0,成立. (2)当k≠0时,kx2+4kx+(k+3)≥0的解集为R等价于函数y=kx2+4kx+(k+3)的图象与x轴至多有一个公共点,且图象上的其他点总在x轴上方, 所以 解得0 综上,实数k的取值范围是[0,1]. 4.如果关于x的不等式5x2-a≤0的正整数解是1,2,3,4,那么实数a的取值范围是________. 答案 [80,125) 解析 由5x2-a≤0,得-≤x≤, 而正整数解是1,2,3,4, 则4≤<5,∴80≤a<125. 5.若存在实数x∈[1,2]满足2x2-ax+2>0,则实数a的取值范围是________. 答案 (-∞,5) 解析 令f(x)=2x2-ax+2,若存在实数x∈[1,2]满足2x2-ax+2>0,则f (1)>0或f (2)>0,即4-a>0或10-2a>0,即a<4或a<5,故a<5,即实数a的取值范围是(-∞,5). 6.已知函数f(x)=则不等式f(f(x))≤3的解集为________. 答案 (-∞,] 解析 由题意得f(f(x))≤3⇒f(x)≥0或⇒f(x)≥-3⇒x<0或⇒x≤. 7.关于x的不等式x2-4ax+4a2+a+≤0对任意x∈R都不成立,则实数a的取值范围是________. 答案 (1,+∞) 解析 由题意,不等式x2-4ax+4a2+a+≤0的解集为∅, 则x2-4ax+4a2+a+>0对任意x∈R恒成立, ∴Δ=16a2-4<0, 即a+>0,∴>0. 又∵a2-a+1=2+>0恒成立, ∴a-1>0,即a>1. 8.已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值范围是________. 答案 (1,5] 解析 令f(x)=x2-2(a-2)x+a,则当Δ=4(a-2)2-4a<0,即10在R上恒成立,符合题意;当Δ≥0,即a≤1或a≥4时,函数f(x)的两个零点都在[1,5]上, 则 解得4≤a≤5. 综上,实数a的取值范围是(1,5]. 9.已知集合A={x|(x-6)(x-2a-5)>0},集合B={x|[(a2+2)-x]·(2a-x)<0}. (1)若a=5,求集合A∩B; (2)已知a>,且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 解 (1)由集合A中的不等式(x-6)(x-15)>0, 解得x<6或x>15, 即A=(-∞,6)∪(15,+∞), 集合B中的不等式为(27-x)·(10-x)<0, 即(x-27)(x-10)<0,解得10<x<27, 即B=(10,27),∴A∩B=(15,27). (2)当a>时,2a+5>6, ∴A=(-∞,6)∪(2a+5,+∞), a2+2>2a,∴B=(2a,a2+2), ∵x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,∴B⊆A, ∴a2+2≤6,∴<a≤2.即实数a的取值范围是. 10.解关于x的不等式: x2-(3a+1)x+3a>0(a∈R). 解 x2-(3a+1)x+3a>0(a∈R)等价于(x-3a)(x-1)>0(a∈R). (1)当a<时,3a<1,∴x<3a或x>1; (2)当a=时,3a=1,∴x≠1; (3)当a>时,3a>1,∴x<1或x>3a; 综上,原不等式的解集 (1)当a<时为(-∞,3a)∪(1,+∞); (2)当a=时为(-∞,1)∪(1,+∞); (3)当a>时为(-∞,1)∪(3a,+∞). B组 能力提高 11.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则a的取值范围为________. 答案 (-∞,1) 解析 函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的对称轴为 x=-=. ①当<-1,即a>6时,f(x)在[-1,1]上单调递增, f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(a-4)×(-1)+4-2a>0, 解得a<3,故有a∈∅; ②当-1≤≤1,即2≤a≤6时,f(x)在[-1,1]上的最小值为f, 只要f=2+(a-4)×+4-2a>0, 即a2<0,故有a∈∅; ③当>1,即a<2时,f(x)在[-1,1]上单调递减, 只要f (1)=1+(a-4)+4-2a>0, 即a<1,故有a<1. 综上,a的取值范围是(-∞,1). 12.已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1)在上恒为正,则实数a的取值范围是________. 答案 ∪ 解析 设g(x)=ax2-x+,x∈,需满足g(x)=ax2-x+>0,即a>-,设h(x)=-,则h′(x)=·, ∵x∈,∴h′(x)≤0,h(x)在上单调递减, ∴max=, 从而a>,可得函数g(x)=ax2-x+的对称轴为 x=<1, 从而函数g(x)=ax2-x+在上单调递增, 当a>1时,函数f(x)在上单调递增, ∴f (1)=loga>0⇒a>, 当 ∴f=loga>0⇒
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- 高考 数学 二轮 复习 专题 不等式 解法 三个 二次
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