特殊曲面及其方程柱面锥面旋转面.docx
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特殊曲面及其方程柱面锥面旋转面
引言
空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。
但是也可以研究一些非二次特殊曲面。
本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。
主要讨论由直线产生的柱面和锥面,曲线产生的旋转曲面这三大类。
1.柱面
定义1:
一直线平行于一个定方向且与一条定曲线相交而移动时所产生的曲面叫做柱面(图1),曲线作叫
做准线。
构成柱面的每一条直线叫做母线。
显然,柱面的准线不是唯一的,任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线,通常取一条平面曲线作为准线。
特别地,若取准线为一条直线,则柱面为一平面,可见平面是柱面的特例。
下面分几种情形讨论柱面的方程。
1.1母线平行于坐标轴的柱面方程
选取合适的坐标系,研究对象的方程可以大为化简。
设柱面的母线平行于z
轴,准线为Oxy面上的一条曲线,其方程为:
图2
fx,y0
z0
又设Px,y,z为柱面上一动点(图2),则过点P与z轴平行的直线是柱面的一条母线,该母线与准线的交点记为Mx,y,0,因点M在准线上,故其坐标应
满足准线方程,这表明柱面上任一点Px,y,z的坐标
满足方程fx,y0
反过来,若一点Px,y,z的坐标满足方程fx,y0,过P作z轴的平行线
交Oxy面于点M,则点M的坐标x,y,0满足准线的方程fx,y0,z0,这表明点M在准线上,因此直线MP是柱面的母线(因为直线MP的方向向量为0,0,z||0,0,1),所以点P在柱面上。
综上所述,我们有如下结论:
母线平行上于z轴,且与Oxy面的交线为fx,y0,z0的柱面方程为:
fx,y0
(1)
它表示一个无限柱面。
若加上限制条件azb,变得它的一平截段面。
同理,母线平行于x轴,且与Oyz面的交线为gy,z0,x0的柱面方程
为gy,z0;母线平行于y轴,且与Ozx面的交线为hx,z0,y0的柱面方
程为hx,z0。
定理1:
凡三元方程不含坐标x,y,z中任何一个时必表示一个柱面,它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。
应该注意,如果母线不平行于坐标,柱面方程就要包含所有的坐标。
2222
例1:
以Oxy面上的椭圆笃笃1,z0,双曲线笃每1,z0和抛abab
物线y22Px,z0为准线,母线平行于z轴的柱面方程分别为
2x
2a
它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面,由于它们的准线是二次曲线,故又统称为二次柱面,其图形见(图3)。
图3
例2:
证明,若柱面的准线为
r
fx,y0
:
z0
母线方向为V
l,m,nn0,则柱面方程为
(2)
rlm门
fxz,yz0
nn
证:
设Pxi,yi,0为准线上一点,则过此点的柱面母线的参数方程为:
若柱面的准线为:
1.2柱面的一般方程
设柱面的准线是一条空间曲线,其方程为
Fix,y,z0
F2x,y,z0
母线方向为l,m,n,在准线上任取一点R为,%,乙,则过点R的母线方程是:
xxil,yyim,zn(为叁数)
这里x,y,z是母线上点的流动坐标。
因点P1的坐标应满足:
匕為,%,召0,F?
为,%,召0
Fixl,ym,zn0
F2xl,ym,zn0
从上面这两组式子中消去参数,最后得一个三元方程
Fx,y,z0(5)
这就是以为准线,母线的方向数为l,m,n的柱面方程。
例3:
柱面的准线是球面x2y2z21与平面xyz0的交线,母线方向是1,1,1,求柱面的方向。
解:
设X1,%,Z1是准线上任一点,则过这点的母线方程为
这就是所求的柱面方程。
1.3柱面的参数方程
设柱面的准线的参数方程为:
xft
ygt
atb
zht
母线方向为
l,m,n又设P1ft1,gt1,
ht1是准线
上的一点,则过R的母
线方程为
xft1l,ygt1
m,zht1
n(为参数)
令R在准线上移动,即让ti取所有可能的值,并让取所有可能的值,则由上
式决定的点x,y,z的轨迹就是所求的柱面。
因此,柱面的参数方程是:
(6)
母线方向为{0,1,1},求柱面的方程。
acos
1.4由生成规律给出柱面的方程
有时不给出柱面的准线,只给出生成规律下面举一例。
zZo
n
图4
例5:
求以直线q为轴,半径为r的圆柱面方程,其中直线q通过点P0Xo,yo,Zo,方向向量为V{l,m,n}。
解:
设Px,y,z为所求柱面上的一点(图4),按题意P到q的距离为PMr,设
PPoM,按向量的定义有
uuiuv22v2
F0PVr2V
①
写成坐标式,即
2
2
ny
yomzzo
IzzonxX。
mxxoI
2
yyo
uuuvvv
PoPVPoPVsinrV
两端平方即得所求柱面的向量是方程:
2r
.22
Im
2n
②
uuiu
2
uuuiu
uuu2
若利用公式
P)P
V
pop2v2
P)PV
③
则②式又可写成
2
2
2.22
2
X
Xo
yyo
zzoIm
n
I
XXo
myyo
2
nzz°
2.222rImn
或
2222
XXoyyozzor
2
lXXomyyonzz°
7222
lmn
特别地,若取直线q为z轴,令xoyoZo0,则比时柱面方程为x2y2r2
1.5曲线的射影柱面
定义2:
设是一条空间曲线,为一平面,经过上每一点作平面的垂线,
由这些垂线构成的柱面叫做从到的射影柱面
(图5)显然,在上的射影就是从到的射影柱面与的交线。
通常我们将平面取为坐标平面。
F1x,y,z0给定空间曲线:
1
F2x,y,z0
那么怎样求曲线到Oxy平面上的射影柱面方
程?
因为这个柱面的母线平行于z轴,因此它的方程中不应含变量z,这样只要消去z即从的某一个方程中解出z来,把它代入另一个方程中,就得到从向Oxy面的射影柱面方程:
fx,y0
同理,曲线在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为:
gy,z0,hx,z0
因为射影柱面方程比一般三元方程简单,所以常用两个射影柱面方程来表示
空间曲线。
具体做法是:
从曲线的方程中轮流消去变量x,y与z,就分别得到
它在Oyz面,Ozx面和Oxy面上的射影柱面方程,然后于这三个柱面方程中选取两个形式简单的联立起来,那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作图。
将z1y代入曲线的方程中的任何一个,得曲线
到Oxy面的射影柱面:
x22y22y0
2
故两球面交线在Oxy面的射影曲线方程是
x2y2y0这是一椭圆.z0
2.锥面
定义3:
通过一定点Po且与一条曲线相交的一切直线所构成的曲面叫做锥面(图6),定点R叫做锥面的顶点,定曲线叫做锥面的准线,构成锥面的直线叫做锥面的母线。
由定义3,可见,锥面有个显著的特点:
顶点与曲面上任意其它点的联线全在曲面上。
显然,锥面的准线不是唯一的,任何一条与所有母线相交的曲线都可以作为锥面的准线。
通常取一条平面曲线作为准线。
下面分几种情形讨论锥面的方程:
2.1顶点在原点,准线为平面曲线的锥面方程
设锥面的准线在平面zh上,其方程为
y
fx,y0
图7
xhxyhy
xi——,yi
zz
由于Xi,yi应满足fXi,yi0,可见x,y,z应满足方程:
上hh
fx,yzz
反过来,若一点P的坐标x,y,z满足方程
(1),则将上式逆推可知,点P在过点O与R的直线上,因而在锥面的母线上,即点P是锥面上的点。
因此,以原点为锥顶,准线为
gy,z0,xk或hx,y0,ym的锥面
方程分别为:
k
k
mm八
g-
y,z
0;hx,z0
x
x
yy
22
xy1y22Px
a2b21和抛物线y2Px的锥面方程分别是:
.zh
zh
1
h
2
1
2
h/
1
h
22
1h丄
2
h
h
x
T"2
y1,
~2
x
y1
和
-y
2Px
0
a
z
b
z
a
z
bz
z
z
2
2
22
2
2
即
x
~2
y
.2
zx
y
.2
z
.2
和hy22Pxz
0。
a
b
ha
b
h
这三个二次方程都是关于x、y、z的二次齐次方程,因此统称为二次锥面
(图8)
2.2锥面的-
般方程
F,x,y,zo
设锥面的准线
为一空间曲线:
:
F2x,y,zo
程为:
FiXi,yi,zio
因为R在准线上,故应有
X
厂
Xo1
y
yo1
zzo1门
11
X
F2
Xo1
y
yo1
7
zz1
u
-o
(7)
F2Xi,yi,z,o
从以上一组方程中消去可得Fx,y,zo
这就是以为准线P0为顶点的锥面方程
求锥面的方程。
解:
设M!
x1,y1,z1为准线上的任意点,那么过Mi的母线为
x
x1
_y
y1
z
z1
①
且有
2
X1
a
y2
b2
1
②
Z1
c
③
由①、③得
X1
xc,
z
y1
z
④
④代入②得所求的锥面方程为
222
xyz0a2b2c2
这个锥面叫做二次锥面。
定理2:
关于x,y,z的齐次方程表示以坐标原点为顶点的锥面。
证:
设Fx,y,z0是关于x,y,z的n次齐次方程,点R为,力,乙是方程所
表示的曲面上的任意一点(但不是原点),那么
F^,yi,zi0
亠…uuvuuv「亠
连结OPi,在此直线上任取一点P(xiiy,z^),因为OP=tOP1,故有
x址tx1,y=ty1,z?
=tz
把点P的坐标代入曲面S的方程,利用F是n次齐次函数,有
F(x,iy,z?
=卩似32)=tnF(冷%,乙)=0
这表示直线OP上任何点都在曲面S上,因而S是由过原点的动直线构成的,这就证明了它是一个以原点为顶点的锥面。
推论:
关于x-x°,y-y°,z-z的齐次方程表示以(x0,y0,z0)为顶点的锥面
证:
平移坐标轴,以(xo,yo,zo)为新原点,利用定理⑵即得证明
zx2
例9:
求顶点在R(O,b,O),准线为G:
-2--^=1,y=0的锥面方程
ca
解:
设P(x,y,z)是锥面上一动点,则母线P0P的方程为
(为叁数)
x=x1r,y=b-br,z=z1r
其中只(为,0,乙)为母线P°P与准线G的交点,从上式可解得交点R的坐标
xz
x1=,0=y-b+br,z-i=
rr
由此可解得r=-专,
将点P的坐标代入准线方程中,得
2
z
-2~2cr
2
x
22zx
-2-~2ca
此即
2z
-2c
(y-b)2
b2
2x""2a
这就是所求的锥面方程。
顶点为Po(Xo,y°,z。
),又设R(f(ti),g(ti),h(ti))为准线上一点,则母线RR的参数方程为
x=x°+臌(ti)-X。
ry=yo+轾魚)-yorz=Zo+轾i)-Z。
r
当点R在准线G上移动时,母线P°R的轨迹就是锥面,因此锥面的参数方程是
|=(1-r)xo+rf(t)尹=(1-r)yo+rg(t)?
z=(1-r)zo+rh(t)
b
r<+
(8)
从(8)式可见,锥面有两叶,r>0是一叶,r<0是另一叶
例10:
已知锥面的顶点为(0,0,0),准线为
x=acosq,y=bsinq,z=c(0#q2p)
求它的方程。
解:
由(8)式,所求锥面的参数方程是
=arcosq
y=brsinqz=cr
2p
r<+
(9)
消去参数r和q,就得所求锥面的一般方程,它是二次锥面
z2
(90
2.4由生成规律给出锥面的方程
定义4:
已知一定直线q上的一定点R,过空间一点P与P0作直线使与q所
成锐角等于定角q,则动点P的轨迹叫做(直)圆锥面,q叫做锥面的轴,锐角q
叫做半锥项角,定点P0叫做锥顶
例11:
求以q:
一0=口0=匕迢为Imn
轴,半锥角为q的圆锥面方程。
解:
设P(x,y,z)为所求圆锥面上的一点,
P)(x0,y0,z0)为锥顶(图9)。
PoP与q的夹角为q
的条件是:
其中u={I,m,n}为直线q的方向向量,
uuu
P)P={x-xo,y-yo,z-Zo}。
方程(10)即为所求圆锥面的向量式方程,写成坐标形式是:
「z
它是关于x-x°,y-y0,z-z°的二次齐次式,因而是二次锥面。
两个特例是
10以原点(0,0,0)为锥项,且轴的方向为{l,m,n}的锥面方程为
cos2q(l2+m2+n2)(x2+y2+z2)-(lx+my+nz)=0(11)
若设I、m、n为方向余弦,贝U(11)式简化为
cos2q(x2+y2+z2)(lx+my+nz「=0(110
20以原点(0,0,0)为锥顶,z轴为轴,q为半锥项角的圆锥面方程是(此时
{l,m,n}={0,0,1}):
cos2q(x2+y2+z2)-z2=0或
cos2q(x2+y2)=z2(1-cos2q)=z2sin2q
此即x2+y2=z2tan2q(12)
其图形见图10
圆锥面方程
解:
设将过原点且方向角为
的直线q取作轴,因为所求圆锥面包
含三条坐标轴,
所以它的轴必与三条坐标轴交成等角,因而有
cos
cos
cos,但cos2cos2
cos21,故有cos3,
3
cos
cos
f。
根据不同的符耳
号,
q的位置共有四种,且分别在八
半锥顶角
满足cos2
1
3(因为此时
2cos
2cos
22coscos
1o设q位于第I、叫封限,
则有
cos
coscos
写出母线方向{X,y,z}与{cos
cos
cos}成角为的条件:
1
―=cos
3
xcosycoszcos
由此出锥面的方程为:
xyz
xyyzzx0
此时轴的方程是:
xyz
2o设q位于第U、毗封限内,同理得锥面的方程为:
xyyzzx0
此时轴的方程是:
xyz
3o设q位于第IH>V封限内,则锥面方程为:
xyyzzx0
且轴的方程是:
xyz
4o设q位于第W、切封限内,则锥面方程为:
xyyzzx0
且轴的方程是:
图12
3.1旋转曲面的一般方程
旋转轴q是过点P)(xo,yo,zo),方向为{l,m,n}的直线
3.旋转曲面
定义5:
一条曲线G绕一条定直线q
旋转而产生的曲面叫做旋转曲面(图
11),曲线G叫做旋转曲面的母线,直线q叫做旋转轴,G上每一点在旋转过程中生成的圆叫做纬线圆或平行圆。
当G为直线时,若与轴平行,则旋转曲面是(直)圆柱面;若G与轴相交时,旋转曲面是(直)圆锥面;若G与轴垂直,则旋转曲面是平面(图12),因此圆柱面、圆锥面,还有平面都可看作是旋转曲面的例子。
F面分几种情形讨论旋转面的方程:
又设R(xi,yi,zi)是母线上任意一点,P(x,y,z)是过R的纬线圆(它的圆心是q上
的一点)上的任意一点(图13),则
轴q的平面。
所以①和②联立表示通过P的纬线圆。
又因点R在母线G上,故有
Fi(xi,yi,Zi)=0,F2(Xi,yi,zJ=0③
由三式①、②、③消去xi,yi,zi,即得旋转曲面方程:
图i4
例i3:
求直线亍讨雳绕直线q:
x=y=z旋转所得的旋转曲面方程。
解:
设P(x,y,z)是旋转曲面上的任意一点,过P作轴x=y=z的垂直平面,交母线-_i=-=-于一点
i22
只(捲,%,乙)(图i4),因为旋转轴通过点,不妨取原点为Po,于是由上述,过点Pi的纬线圆方程是:
?
(x-Xi)+(y-yi)+(z-Zi)=0④
?
x2+y2=x2+y:
+z2⑤
由于点P在母线上,故
yi=2(xi-1),n=2(n-i)
⑥代入④
x+y+z=x1+2x1-2+2x1-2=5x1-4
为=-(x+y+z+4)
2
yi=2(X1-1)=-(x+y+z-
2
z(=2(为-1)=(x+y+z-
5
1)
1)
上式代入⑤,得x2+y2+z2=—(x+y+z+4)+—(x+y+z-1)
2525
这就是所求的旋转曲面方程。
在实际运用中,我们常把旋转轴取为坐标轴。
特别地,若母线是一条平面曲线,我们又常把母线所在的平面取作一坐标面,旋转轴取作该平面内的某一坐标轴,这时旋转曲面的方程具有较简形式。
3.2平面曲线绕坐标轴旋转生成的旋转曲面
设G是坐标平面Oxy上的曲线(图15),,
它的方程是
多g(y,z)二0
写x=0
旋转轴为z轴:
x=-=-,如果R(O,y1,Z1)为
001
母线G上的一点,那么过R的纬线圆方程为:
?
z-zi=0①
扌x2+y2+z2=y1+z^②
且有g(y1,zJ=0③
图15
从上面两组式子消去参数乙,具体做法是:
将①代入②,得
y:
=x2+y2,%=?
x2y2
将%\x2y2及乙z代入⑦即得
gx^y2,z0(14)
(15)
同样,把曲线绕y轴旋转所得的旋转曲面的方程是:
gy,
同理可知,坐标平面Ozx上的曲线:
hx,z0,y0
绕x轴或z轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为:
hx,、__z0和h__,z0
Oxy面上的曲线:
fx,y0,z0
绕x轴或y轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为:
fx,y2z20和fx2z2,y0
因此,我们有如下结论:
定理3:
当坐标平面上的曲线绕此坐标平面内的一个坐标轴旋转时,只要将曲线在坐标平面里的方程保留和旋转同名的坐标,而以其余两个变量的平方和的平方根去替换方程中的另一坐标,即得旋转曲面的方程。
y
图16
这样的曲面叫做圆环面(图16),它的形状象救生圈
3.3旋转二次曲面
例15:
圆C:
x2寸r2,z0绕x轴旋转所得的曲面方程为:
2
2~2222222
xyzr,即xyzr
它是以原点为中心,r为半径的球面。
22
例16:
椭圆:
笃当1,z0分别绕长轴(即x轴)与短轴(即y轴)旋
ab
转二的的旋转曲面方程分别为:
(16)
曲面(16)叫做长形旋转椭球面(图17),曲面(17)叫做扁形旋转椭球面(图18)。
在研究地球时,常把地球的表面看成是扁形旋转椭球面;有些锅炉为了减轻蒸汽对炉壁的冲击力,而把它做成旋转椭球面的形状。
222
xvz
221(18)(图19)
bc
22
xz
2
c
绕实轴(即y轴)旋转的曲面方程为:
(19)(图20)
z*
旋转抛物面(图21)
曲面(18)叫做旋转单叶双曲面,曲面(19)叫做旋转双叶双曲面。
旋转单叶双曲面在工程技术中很有用。
例如发电厂和水泥厂的冷却塔多半建成旋转单叶双曲面的形式。
例18:
将抛物线y22py,x0,绕它得对称轴(即z轴)旋转的曲面方程为:
X2y22pz(20)
它叫做旋转抛物面。
(图21)
旋转抛物面有着广泛的用途,如探照灯,车灯和太阳灶的反光面就是这种曲面。
为了保持发射与接收电磁波的良好性能,雷达和射电望远镜的天线多做成旋转抛物面。
参考文献
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22
例6:
求曲线:
x2y2x21,x2y1z11在Oxy面上的射影。
解:
欲求曲线在Oxy面上的射影,需先求出曲线到Oxy面上的射影柱面,这又须从曲线方程消去z,由的第一个方程减去第二个方程并化简得
yz1或z1y
22222
yz.coscoscos
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- 特殊 曲面 及其 方程 柱面 锥面 旋转