求一次函数表达式的方法23招经典解法.docx
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求一次函数表达式的方法23招经典解法
第五、六课时一次函数表达式的方法解法(23招)
安徽省池州市贵池区梅龙初级中学黄老师()
四、求一次函数的表达式
基本解法
1、待定系数法
(1)图象过原点:
函数为正比例函数,可设表达式为y=kx,再找图象上除原点外的一个点的坐标代入表达式,即可求出k.
(2)图象不过原点:
函数为一般的一次函数,可设表达式为y=kx+b,再找图象上的两个点的坐标代入表达式,即可求出k,b。
例:
(中考常州)已知一次函数y=kx+b(k,b为常数且k0)的图象经过点A(0,-2)和点B(1,0),则k=,b=.
答案:
k=2,b=-2
例:
(中考重庆)已知正比例函数ykx(k0)的图象经过点(1,-2),则这个正比例函数的表达式为
答案:
y=-2x
常见解法:
1、定义式
2
例,已知函数y(m3)xm83是一次函数,求其解析式。
解析:
该函数是一次函数
m281
解得,m=±3,
又m^3
nr—3
故解析式为:
y=-6x+3
2、点斜式
要点:
如何求k
(1)公式:
k生丄
x2X|
AB
(2)图象(比值):
|k|=(两直角边的比)
BC
(3)增量:
V(速度)、P(电功率)
(4)每每(美美题):
(5)平移变换:
k值相等
(6)垂直变换:
k1k21
(7)对称变换:
|k|、|b|不变
(8)相似比:
(略)
(9)正切值:
tana(斜率)
(10)旋转变换:
(略)
例,已知一次函数y=kx—3的图象过点(2,-1),求这个函数解析式。
解析:
方法一:
(代入法)将点(2,—1)代入y=kx—3得,
—仁2k—3,解得,k=1
故解析式为:
y=x—3
方法二:
(一点式)
解析:
一次函数y=kx—3的图象过点(2,—1)
可令y=k(x—2)—1=kx—2k—1
—2k—仁—3,解得,k=1
这个函数解析式为y=x—3
3、两点式
例,一次函数经过(一2,0)、(0,4),求此函数的解析式。
解析:
方法一:
(构建方程组)令解析式为y=kx+b,过(—2,0)、(0,4),则
02kb解得,k=2,b=4
4b
故解析为y=2x+4
再一点式得:
y=2(x+2)+0=2x+4
方法三:
由斜截式得,y=2x+4
方法四:
由数形结合得,y=2x+4(k=直角边的比)
方法五:
(纯一点式)y=k(x+2)=k(x+0)+4?
k=2
4、一点式:
例,过(2,5)的一次函数解析式为。
解析:
y=k(x—2)+5=kx—2k+5
abk
x=1,则
例,若a,b为定值,关于x的方程2kx(x)2,无论k为何值,解总是
36
2a+3b=。
解析:
化简得,(4x+b)k=12—2a+x?
b=—4,2a=13?
2a+3b=1
5、图象式:
例,如图,则函数解析式为.
解析:
方法一:
易知,b=2(截距),k=—2(两直角边的比),
则y=—2x+2
方法二:
两点式:
(略)
方法三:
一点式:
y=k(x—1)+0=k(x+0)+2?
k=—2
6、平移式:
例,直线y=kx+b与直线y=—2x平行,且截距为2,则直线解析式为
解析:
易知,k=—2,b=2,解析式为y=—2x+2
技巧:
上下平移:
K值不变,上加下减;
左右平移:
K值不变,左加右减;
如:
y=kx+b向左平移m个单位,则平移后的解析式为.
解:
y=k(x+nj+b
实质:
上下平移横坐标不变;纵坐标上加下减。
左右平移纵坐标不变;横坐标左减右加。
例,将y=2x+3向下平移2个单位,则y=;再向左平移2个单位,则y=.
解析:
方法一:
结论归纳法
由上加下减得,y=2x+1;
由左加右减得,y=2(x+2)+1=2x+5
方法二:
数形结合法(点值法)
一1
详细过程:
(1)求出y=2x+1与x轴的交点坐标(一o);
2
5
(2)求出平移后的点坐标(,0)
2
5
(3)求平移后的解析式y=2(x+)+0(一点式)=2x+5。
2
方法三:
逆向思维法
具体过程:
设平移后的点坐标为P(x,y)
由逆向思维得,原来该点的坐标为P(x+2,y+2)在y=2x+3上,
y+2=2(x+2)+3,y=2x+5
[练习]
1、将y=—2x—3向上平移2个单位,则y=;(y=—2x—1)
再向右平移2个单位,则y=。
(y=—2(x—2)—仁—2x+3)
1一1一
2、将y=——x+1向下平移2个单位,则y=;再向左平移一个单位,则y=
22
7、斜截式
例,将y=2x+b向左平移2个单位后,与y轴的交点坐标为(0,3),则b=。
解析:
由题意知,平移后的解析为y=2(x+2)+b=2x+3?
b=—1
具体过程:
(1)由平移得,y=2(x+2)+b(左加右减);
(2)由斜截式得,k=2,b=3,即y=2x+3
(3)联立得,2(x+2)+b=2x+3?
b=—1
8、应用式:
要点:
k表示:
速度、单位量、斜率、比值、每每、增量的比……
b表示:
起始位置
例1某油箱中存油20升,油从管道中匀速流出,流速为升/分,则油箱中剩油量Q(升)
与流出时间t(分)的函数关系式为。
解析:
当t=0时,Q=20,即b=20;
又流速为升/分,即k=—(放油)
故解析式为Q=—+20(OWtw100)
例2,已知AB两地相距30kmBC两地相距48km某人骑自行车以每小时12km的速度
从A地出发,经过B地到达C地。
设此人骑车的时间为x(h),离B地的距离为y(kn)。
(1)当此人在A、B两地之间时,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。
(2)当此人在B、C两地之间时,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。
解析:
(1)当x=0时,y=30,即b=30
又速度为12kmh,则k=—12(y随x增大而减小)
故解析式为:
y=—12x+30(0wx<(5/2))
(2)由速度为12kmh,则k=12(y随x增大而增大)
可令解析式为:
y=12x+b
5
又当x=Y时,y=0,解得,b=—30
2
故解析式为:
y=12x—30
5
方法—:
(点斜式)y=12(x)=12x—30
2
例3,在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体的质量x(kg)的一次函数,当所挂
物体的质量为1kg时,弹簧长10cm当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长为12cm写出y
与x之间的函数关系式。
解析:
增加量为(12—10/3—1)=1,即k=1
当x=0时,y=9,即b=9
故解析式为y=x+9
方法二:
令解析式为y=kx+b,过点(1,10)(3,12)
解二元一次方程组也可求出此解析式。
9、面积式
例,y=kx+b是由y=2x平移得到的,且与坐标轴围成的面积为4,求此函数的解析式.
解析:
如图,
y=kx+b是由y=2x平移得到的
k=2
由图可知,A(-(b/2),0),B(0,b)
11b
又&ao=4,即AOBO4,|—||b|=4
222
解得,b=±4
故,解析式为y=2x+4或y=2x—4
[巩固]y=kx+3的图象与坐标轴围成的面积为9,求此函数的解析式
解析:
如图,
3
由图可知,A(,0),B(0,3)
k
113
又SAao=9,即AOBC=4,||3=9
22k
1
解得,k=±
2
11
故,解析式为y=x+3或y=—x+3
22
10、列表式:
k:
增量11、规律式:
k:
增量
12、开放式:
例,请写出一次函数的解析式。
要求:
(1)过(3,1);
(2)y随x增大而减小;
(3)当x=2时,y<2,则:
解析:
由过(3,1)知,可令y=k(x—3)+1=kx—3k+1
又当x=2时,y<2,得,—k+1<2,k>—1
又y随x增大而减小,得,k<0
所以,—1 当k=—-时,y=—-x+2 33 13、值域式 例,已知一次函数的自变量的取值范围是2Wx<6,函数值的 范围是5Wyw9,求这个一次函数的解析式。 解析: 令一次函数的解析式为y=kx+b (1)当k>0时,x=2,则y=5;x=6,则y=9. 2k+b=5 6k+b=9解得,k=1,b=3 故,解析式为y=x+3 (2)当k<0时,x=2,贝Uy=9;x=6,则y=5. 2k+b=9 6k+b=5解得,k=—1,b=11 故,解析式为y=—x+11 14、动点式(略) 15、待定系数式(略) 16、分类讨论式(略) 17、成比例式 例,y—1与x+3成正比例,当x=2时,y=6,求y关于x的函数解析式。 解析: 令y—仁k(x+3),得 6—仁k(2+3),解得,k=1 故,解析式为y=x+4 18、对称式: 例: y=kx+b 1)关于x轴对称: P(x,yP(x,—y): —y=kx+b,即y=-kx—b(全变); 2)关于y轴对称: P(x,yP(—x,y): y=—kx+b,即y=—kx—b(k变b不变); 3)关于原点对称: P(x,yP(—x,—y): —y=—kx+b,即y=kx—b(b变k不变); 例,y=2x+1的图象 (1)关于x轴对称的解析式为; (2)关于y轴对称的解析式为; (3)关于原点对称或关于某一点对称(了解) 归纳: (1)对称|k|不变,|b|不变; (2)关于x轴对称: k、b都变号; 关于y轴对称: k变号,b不变号。 实质: (1)直线的对称其本质是点的对称。 (2)再对称后的直线上任取一点P(x,y) 则关于x轴对称P(x,—y): —y=2x+1? y=—2x—1 关于y轴对称P(—x,y): y=—2x+1 关于原点对称P(—x,—y): —y=—2x+1? y=2x—1 19、垂直式 1 例,y=2x+1与y=x+2在位置上的关系是. 2 由此你得出的结论是。 (k1k2=—1) 20、旋转式(关于某一直线对称) 例,将直线y=2x+1关于y=x对称,求对称后的解析式。 总结: 有关一次函数的解法: 1、定义式;2、两点式;3、待定系数式;4、直线方程式; 5、点斜式;6、一点式;7、斜截式;&图象式;9、比例式; 10、平移变换式;11、对称变换式;12、垂直变换式; 14、旋转变换式;15、面积式;16、列表式;17、规律式; 18、开放式;19、值域式;20、成比例式;21、分类讨论式; 22、应用式;23、动点式。 [练习] 1、y与x成正比例,且当x=1时,y=2,那么当x=3时,y= 2、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式 (1)y随着x的增大而增大; (2)图象经过点(0,—3)。 3、直线y=3x—3向左平移4个单位后,则直线解析式为__ 4、某一次函数的图象与y=—x+1平行,且过点(8,2), 则一次函数解析式为。 5、一次函数y=kx+b的图象如图。 (1)写出AB的坐标; (2)求出k,b的值。 6、一次函数的图象过M(3,2),(—1,—6)两点,求函数的解析式。 7、直线y=2x+1. (1)求直线与y轴交点A的坐标; (2)若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称,求k与b的值。 525 8、已知直线y=kx+b经过点(一,0),且与坐标轴围成的三角形的面积为,求该直线的 24 表达式。
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- 一次 函数 表达式 方法 23 经典 解法