高三五校联考 数学理.docx
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高三五校联考数学理
2021年高三五校联考数学理
一:
选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={2,3,4},B={2,4,6,8},C={(x,y)|x∈A,y∈B,且logxy∈N*},则C中元素个数是( )
A.9B.8C.3D.4
2.下列选项中,说法正确的是()
A.命题“若,则”的逆命题是真命题;
B.设是向量,命题“若,则”的否命题是真命题;
C.命题“”为真命题,则命题p和q均为真命题;
D.命题”的否定是“”.
3.已知和是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出的是()
A.,且B.∥,且
C.,且∥D.,且∥
4.已知平面直角坐标系内的两个向量=(1,2),=(m,3m-2),且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ(λ,μ是实数),则m的取值范围是( )
A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(-∞,+∞)
5.已知等差数列中,,,若,则数列的前5项和等于
A.30B.45C.90D.186
6.函数的图象如图所示,为了得到的图象,则只需将的图象
(A)向右平移个长度单位(B)向右平移个长度单位
(C)向左平移个长度单位(D)向左平移个长度单位
7.如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,则与平面所成的角为()
A.B.C.D.
8.若,恒成立,则△ABC的形状一定是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定
9.设函数的定义域为,若所有点构成一个正方形区域,则的值为()
A.B.C.D.不能确定
10.函数,其在点处的切线为,轴和直线分别交于点,又点,若的面积为时的点恰好有两个,则的取值范围为()
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,25分。
将答案填在答题卡相应位置上。
)
11.若对任意恒成立,则a的取值范围是________
12.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是___
13.已知函数.项数为17的等差数列满足,且公差.若,则当=__________时,.
14.一个盛满水的无盖三棱锥容器,不久发现三条侧棱上各有一个小洞且知,若仍用这个容器盛水,则最多可盛原来水的倍
15.记函数的导数为,的导数为的导数为。
若可进行次求导,则均可近似表示为:
若取,根据这个结论,则可近似估计自然对数的底数(用分数表示)
三、解答题(本大题共6小题,满分75分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本题12分)
两非零向量满足:
垂直,集合是单元素集合。
(1)求的夹角
(2)若关于的不等式的解集为空集,求实数的值。
17.(本题12分)
在中,设角的对边分别是,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的面积.
18.(本题12分)
已知数列满足,,
(Ⅰ)设的通项公式;
(Ⅱ)求为何值时,最小(不需要求的最小值)
19.(本题12分)
已知几何体E-ABCD如图D7-13所示,其中四边形ABCD为矩形,△ABE为等边三角形,且AD=
,AE=2,DE=
,点F为棱BE上的动点.
(1)若DE∥平面AFC,试确定点F的位置;
(2)在
(1)的条件下,求二面角E-DC-F的余弦值.
20.(本题13分)
某企业为了保护环境,发展低碳经济,在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量z(吨)之间的函数关系可近似的表示为:
且每处理一二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,亏损数额国家将给予补偿.
(I)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?
如果亏损,则国家每月补偿数额的范围是多少?
(Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
21.(本题14分)
已知函数
(1)若x=2为的极值点,求实数a的值;
(2)若在上为增函数,求实数a的取值范围;
(3)当时,方程有实根,求实数b的最大值。
宜春市xx届五校联考数学(理)答题卡
一、选择题(5×10=50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(5×5=25分)
11.12.13.
14.15.
三、解答题(共75分)
16.(12分)
17.(12分)
18.(12分)
19.(12分)
20.(13分)
21.(14分)
宜春市xx届五校联考
数学(理)试题参考答案
一:
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
C
C
A
A
B
C
B
二填空题
11:
412:
13:
914:
15:
三:
解答题
18:
解(I)
即数列{bn}的通项公式为.......................6分
(Ⅱ)若最小,则
.........8分
注意n是正整数,解得8≤n≤9
∴当n=8或n=9时,an的值相等并最小................................12分
19:
解:
(1)连接BD交AC于点M,若DE∥平面AFC,
则DE∥FM,点M为BD中点,则F为棱BE的中点...............4分
(2)AD=
,AE=2,DE=
,∴DA⊥AE.
又四边形ABCD为矩形,∴DA⊥面ABE.
方法1:
以AB中点O为坐标原点,以OE为x轴,以OB为y轴,以OM为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
则
=(
,1,-
),
=(
,-1,-
),
设平面DCE的法向量n=(x,y,z),
∴
令x=1,则n=(1,0,1).
=
,
=
.
设平面DCF的法向量m=(x,y,z).
令x=2,则m=(2,0,1).
设二面角E-DC-F的平面角为θ,cosθ=
=
....................12分
方法2:
设二面角E-DC-A的平面角为α,
取AB中点O,CD中点N,
EO⊥平面ACD,ON⊥CD,∴∠ONE就是二面角E-DC-A的平面角.....6分
∴∠ONE=α,tanα=1.........................8分
同理设二面角F-DC-A的平面角为β,
tanβ=
.......................................................10分
设二面角E-DC-F为θ,θ=α-β,∴tanθ=
,∴cosθ=
........12分
21:
(1)解:
........1分
因为x=2为f(x)的极值点,所以.................................2分
即,解得:
a=0............................................3分
又当a=0时,,从而x=2为f(x)的极值点成立.............4分
(2)解:
∵f(x)在区间[3,+∞)上为增函数,
∴在区间[3,+∞)上恒成立...........5分
①当a=0时,在[3,+∞)上恒成立,所以f(x)在[3,+∞)上为增函数,故a=0符合题意..........................................................6分
②当a≠0时,由函数f(x)的定义域可知,必须有2ax+1>0对x≥3恒成立,故只能a>0,
所以在区间[3,+∞)上恒成立..................7分
令,其对称轴为........................8分
∵a>0,∴,从而g(x)≥0在[3,+∞)上恒成立,只要g(3)≥0即可,
由,解得:
......................9分
∵a>0,∴.
综上所述,a的取值范围为[0,]......................................10分
(3)解:
时,方程可化为,.
问题转化为在(0,+∞)上有解...............................11分
令,则.......................12分
当0 当x>1时,,∴h(x)在(1,+∞)上为减函数 故h(x)≤h (1)=0,而x>0,故 即实数b的最大值是0......................................................14分402489D38鴸2478960D5惕3327381F9臹371229102鄂38462963E阾2961673B0现238125D04崄287237033瀳#34443868B蚋5203244F64佤34890884A衊3371983B7获202404F10伐
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