鲁教版八年级数学下册1.docx
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鲁教版八年级数学下册1
菱形的性质与判定能力提升训练
一、选择题
1.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm,8cm,
则这个菱形的周长为()
A.5cm
B.10cm
C.14cm
D.20cm
2.如图,在?
ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列
条件不能判定?
ABCD是菱形的只有()
A.AC⊥BDB.AB=BCC.AC=BDD.∠1=∠2
3.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,
则DH等于()
A.
B.
C.5
D.4
4.下列命题中正确的是()
A.对角线相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB=2,
∠ABC=60°,则BD的长为()
A.2B.3C.D.2
6.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
AO=CO,BO=DO.添加下列条件,不能判定四边形ABCD
是菱形的是()
A.AB=ADB.AC=BDC.AC⊥BDD.∠ABO=∠CBO
7.菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连接EF.若
EF=,BD=2,则菱形ABCD的面积为()
A.2
B.
C.6
D.8
8.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(
)
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
9.如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边上的中点,则MP+PN
的最小值是()
A.
B.1
D.2
10.如图,在菱形ABCD中,E是AB边上一点,且
∠A=∠EDF=60°,有下列结论:
①AE=BF;②△DEF是等边三角形;③△BEF是等腰三角形;④∠ADE=∠BEF,其中
结论正确的个数是()
A.3B.4C.1D.2
二、填空题
11.如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件______使平行四边形ABCD是菱形.
12.如图,四边形ABCD是轴对称图形,且直线AC是对称轴,AB∥CD,则下列结论:
①AC⊥BD;②AD∥BC;③四边形ABCD是菱形;④△ABD≌△CDB.其中正确的是______(只填写序号)
13.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,连接OH,若OB=4,S菱形ABCD=24,则OH的长为______.
14.已知菱形的两条对角线的长分别为5和6,则它的面积
是______.
15.如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是______.
三、解答题
16.如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证:
(1)∠CEB=∠CBE;
(2)四边形BCED是菱形.
17.如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C,BD平分∠ABF,且交AE于点D,连接CD.
(1)求证:
四边形ABCD是菱形;
(2)若∠ADB=30°,BD=6,求AD的长.
18.如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.
(1)求证:
四边形BCDE为菱形;
(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.
19.如图,在平行四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过点C作CQ∥DB,且CQ=DP,连接AP、BQ、PQ.
(1)求证:
△APD≌△BQC;
(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求证:
四边形ABQP为菱形.
20.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,过点E作
(1)求证:
四边形DBFE是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?
为什
么?
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=AC=×6=3cm,
OB=BD=×8=4cm,
根据勾股定理得,AB===5cm,
所以,这个菱形的周长=4×5=20cm.
故选:
D.
根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,OA=AC,OB=BD,再利用勾
股定理列式求出AB,然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解.
本题考查了菱形的性质,勾股定理,主要利用了菱形的对角线互相垂直平分,需熟记.
2.【答案】C
【解析】
解:
A、正确.对角线垂直的平行四边形的菱形.
B、正确.邻边相等的平行四边形是菱形.
C、错误.对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形.
D、正确.可以证明平行四边形ABCD的邻边相等,即可判定是菱形.
故选:
C.
根据平行四边形的性质.菱形的判定方法即可一一判断.
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法.
3.【答案】A
【解析】
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=OC,BO=OD,AC⊥BD,
∵AC=8,DB=6,
∴AO=4,OB=3,∠AOB=90°,
由勾股定理得:
AB==5,
∵S菱形ABCD=,
∴,
∴DH=,
故选:
A.
根据菱形性质求出AO=4,OB=3,∠AOB=90°,根据勾股定理求出AB,再根据菱
形的面积公式求出即可.
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用,能根据菱形的性质得出S菱形ABCD=
是解此题的关键.
4.【答案】D
【解析】
解:
对角线互相垂直平分的四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
故选:
D.
根据菱形对角线互相垂直平分的判定方法进行解答.
此题主要考查的是菱形的判定方法:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形;对角
线互相垂直平分的四边形是菱形.
5.【答案】D
【解析】
解:
∵四边形ABCD菱形,
∴AC⊥BD,BD=2BO,
∵∠ABC=60°,
∴△ABC是正三角形,
∴∠BAO=60°,
BO=sin60°?
AB=2×=
,
∴
∴BD=2.
故选:
D.
首先根据菱形的性质知AC垂直平分BD,再证出△ABC是正三角形,由三角函数
求出BO,即可求出BD的长.
本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点,解答本题的关键是熟记菱
形的对角线垂直平分,本题难度一般.
6.【答案】B
【解析】
解:
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,
当AB=AD或AC⊥BD时,均可判定四边形ABCD是菱形;
当∠ABO=∠CBO时,
由AD∥BC知∠CBO=∠ADO,∴∠ABO=∠ADO,∴AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形;
当AC=BD时,可判定四边形ABCD是矩形;故选:
B.
根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得.
本题主要考查菱形的判定,解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定.
7.【答案】A
【解析】
解:
∵E,F分别是
AD,CD边上的中点,EF=
,
∴AC=2EF=2
又∵BD=2,
,
∴菱形ABCD
故选:
A.
的面积S=
×AC×BD=
×2
×2=2
,
根据中位线定理可得对角线AC的长,再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案.
本题主要考查菱形的性质与中位线定理,熟练掌握中位线定理和菱形面积公式
是关键.
8.【答案】D
【解析】
解:
∵菱形具有的性质:
对边相等,对角相等,对角线互相平分,对角线互相垂直;
平行四边形具有的性质:
对边相等,对角相等,对角线互相平分;
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是:
对角线互相垂直.
故选D.
由菱形的性质可得:
菱形的对角线互相平分且垂直;而平行四边形的对角线互相
平分;则可求得答案.
此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质.注意菱形的对角线互相平分且垂直.
9.【答案】B
【解析】
解:
如图,
作点M关于AC的对称点M′,连接M′N交AC于P,此时MP+NP有最小值,最
小值为M′N的长.
∵菱形ABCD关于AC对称,M是AB边上的中点,
∴M′是AD的中点,
又∵N是BC边上的中点,
∴AM′∥BN,AM′=BN,
∴四边形ABNM′是平行四边形,
∴M′N=AB=1,
∴MP+NP=M′N=1,即MP+NP的最小值为1,
故选:
B.
先作点M关于AC的对称点M′,连接M′N交AC于P,此时MP+NP有最小值.然
后证明四边形ABNM′为平行四边形,即可求出MP+NP=M′N=AB=1.
本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质,熟知两点之间线段最短的知
识是解答此题的关键.
10.【答案】A
【解析】
解:
连接BD,∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,∠ADB=∠ADC,AB∥CD,
∵∠A=60°,
∴∠ADC=120°,∠ADB=60°,
同理:
∠DBF=60°,
即∠A=∠DBF,
∴△ABD是等边三角形,
∴AD=BD,
∵∠ADE+∠BDE=60°,∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°,
∴∠ADE=∠BDF,
∵在△ADE和△BDF中,
,
∴△ADE≌△BDF(ASA),
∴DE=DF,AE=BF,故①正确;
∵∠EDF=60°,
∴△EDF是等边三角形,
∴②正确;
∴∠DEF=60°,
∴∠AED+∠BEF=120°,
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°,
∴∠ADE=∠BEF;
故④正确.
∵△ADE≌△BDF,
∴AE=BF,
同理:
BE=CF,
但BE不一定等于BF.故③错误.
综上所述,结论正确的是①②④.
故选:
A.
首先连接BD,易证得△ADE≌△BDF,然后可证得DE=DF,AE=BF,即可得△DEF
是等边三角形,然后可证得∠ADE=∠BEF.
此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性
质.此题难度较大,注意掌握数形结合思想的应用.
11.【答案】AB=BC或AC⊥BD
【解析】
解:
当AB=BC或AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形.
故答案为AB=BC或AC⊥BD.
根据菱形的判定方法即可判断.
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识,解题的关键是记住菱形的判定方法.
12.【答案】①②③④
【解析】
解:
因为l是四边形ABCD的对称轴,AB∥CD,
则AD=AB,∠1=∠2,∠1=∠4,
则∠2=∠4,
∴AD=DC,
同理可得:
AB=AD=BC=DC,
所以四边形ABCD是菱形.
根据菱形的性质,可以得出以下结论:
所以①AC⊥BD,正确;
②AD∥BC,正确;
③四边形ABCD是菱形,正确;
④在△ABD和△CDB中
∵
∴△ABD≌△CDB(SSS),正确.
故答案为:
①②③④.
根据轴对称图形的性质,结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析
得出答案.
此题考查了轴对称以及菱形的判断与菱形的性质,注意:
对称轴垂直平分对应点
的连线,对应角相等,对应边相等.
13.【答案】3
【解析】
解:
∵ABCD是菱形,
∴BO=DO=4,AO=CO,S菱形ABCD=
=24,
∴AC=6,
∵AH⊥BC,AO=CO=3,
∴OH=AC=3.
根据菱形面积=对角线积的一半可求AC,再根据直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半.
本题考查了菱形的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,关键是灵活运用这些性质解决问题.
14.【答案】15
【解析】
解:
∵菱形的两条对角线长分别是5和6,
∴这个菱形的面积为5×6÷2=15.
故答案为15.
因为菱形的面积为两条对角线积的一半,所以这个菱形的面积为15.
此题考查了菱形面积的求解方法:
①底乘以高,②对角线积的一半.
15.【答案】(-5,4)
【解析】
解:
∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),
(-2,0),点D在y轴上,
∴AB=5,
∴AD=5,
∴由勾股定理知:
OD===4,
∴点C的坐标是:
(-5,4).
故答案为:
(-5,4).
利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长,进而求出C点坐标.
此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质,得出DO的长是解题关键.
16.【答案】证明;
(1)∵△ABC≌△ABD,
∴∠ABC=∠ABD,
∵CE∥BD,
∴∠CEB=∠DBE,
∴∠CEB=∠CBE.
(2))∵△ABC≌△ABD,∴BC=BD,
∵∠CEB=∠CBE,∴CE=CB,∴CE=BD
∵CE∥BD,
∴四边形CEDB是平行四边形,
∵BC=BD,
∴四边形CEDB是菱形.
【解析】
(1)欲证明∠CEB=∠CBE,只要证明∠CEB=∠ABD,∠CBE=∠ABD即可.
(2)先证明四边形CEDB是平行四边形,再根据BC=BD即可判定.
本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识,熟练掌握
全等三角形的性质是解题的关键,记住平行四边形、菱形的判定方法,属于中考
常考题型.
17.【答案】证明:
(1)∵AE∥BF,
∴∠ADB=∠CBD,
又∵BD平分∠ABF,
∴∠ABD=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
同理:
AB=BC,
∴AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形;
解:
(2)∵四边形ABCD是菱形,BD=6,
∴AC⊥BD,,
∵∠ADB=30°,
∴,
∴
【解析】
.
本题考查了菱形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形
的判定、三角函数等知识;熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键.
(1)由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB,证出AB=AD,同理:
AB=BC,得出AD=BC,证出四边形ABCD是平行四边形,即可得出结论;
(2)由菱形的性质得出AC⊥BD,,再由三角函数即可得出AD
的长.
18.【答案】
(1)证明:
∵AD=2BC,E为AD的中点,
∴DE=BC,
∵AD∥BC,
∴四边形BCDE是平行四边形,
∵∠ABD=90°,AE=DE,
∴BE=DE,
∴四边形BCDE是菱形.
(2)解:
连接AC.
∵AD∥BC,AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,
∴AB=BC=1,
∵AD=2BC=2,
∴sin∠ADB=,
∴∠ADB=30°,
∴∠DAC=30°,∠ADC=60°,
在Rt△ACD中,∵AD=2,∴CD=1,AC=.
【解析】
(1)由DE=BC,DE∥BC,推出四边形BCDE是平行四边形,再证明BE=DE即可解
决问题;
(2)在Rt△ACD中只要证明∠ADC=60°,AD=2即可解决问题;
本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识,
解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法,属于中考常考题型.
19.【答案】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵CQ∥DB,
∴∠BCQ=∠DBC,
∵DP=CQ,
∴△ADP≌△BCQ.
(2)证明:
∵CQ∥DB,且CQ=DP,
∴四边形CQPD是平行四边形,∴CD=PQ,CD∥PQ,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴AB=PQ,AB∥PQ,
∴四边形ABQP是平行四边形,∵△ADP≌△BCQ,
∴∠APD=∠BQC,∵∠∠APD+∠APB=180°,∴∠ABP=∠APB,∴AB=AP,
∴四边形ABQP是菱形.【解析】
(1)只要证明AD=BC,∠ADP=∠BCQ,DP=CQ即可解决问题;
(2)首先证明四边形ABQP是平行四边形,再证明AB=AP即可问题;
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知
识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
20.【答案】
(1)证明:
∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,
又∵EF∥AB,
∴四边形DBFE是平行四边形;
(2)解:
当AB=BC时,四边形DBFE是菱形.理由如下:
∵D是AB的中点,
∴BD=AB,
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE=BC,
∵AB=BC,
∴BD=DE,
又∵四边形DBFE是平行四边形,
∴四边形DBFE是菱形.
【解析】
(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC,然后
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明;
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明.
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,平行四边形
的判定,菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系,熟记性质与判定方法是解题
的关键.
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