极限定理 样本及抽样分布.pptx
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极限定理 样本及抽样分布.pptx
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第五章第五章极限定理极限定理XB(n,p),以以i表示第次试验表示第次试验A发生的次数发生的次数以以X表示表示n重贝努里试验重贝努里试验A发生次数发生次数EX=np,DX=npq,大数定律大数定律i独立同分布独立同分布中心极限定理中心极限定理i独立同分布独立同分布,且且E(Xi)=,D(Xi)=22niiXX1niiXn11niiXnE11niiXEn1)(1niiX1服从正态分布).,(2nnN5.1大数定大数定律律大数定律表达了大量随机变量平均值的稳定性大数定律表达了大量随机变量平均值的稳定性.,.,1lim21aYaYYYaYPPnnnn=12064.596012064.59601XP0)7693.7(1第六章第六章样本及抽样分布样本及抽样分布第一节随机样本第一节随机样本研究对象的全体称为总体研究对象的全体称为总体.每一个元素称为个体每一个元素称为个体.总体用随机变量总体用随机变量X表示表示.从总体中从总体中随机独立随机独立抽取一部分个体进行观察抽取一部分个体进行观察,所抽所抽得的个体称为得的个体称为样本样本.样本样本的观察值的观察值x1,x2.xn称为样本值称为样本值.总体总体X的分布函数为的分布函数为F(x),则样本则样本X1,X2.Xn的的联合联合分布函数分布函数样本用随机变量样本用随机变量X1,X2Xn表示表示.),(21nxxxF).(1inixF)()()(2121nXXXxFxFxFn)()()(21nxFxFxF例考察某种型号灯泡的寿命,例考察某种型号灯泡的寿命,设为设为X,总体总体X服从指数分布服从指数分布(),从中随机独立抽取个个体从中随机独立抽取个个体,设为设为X1,X2X,x1=1010,x2=1020,x=1000,x=990,x5=980。
X可能为到正无穷上任一值。
可能为到正无穷上任一值。
则则X1,X2X相互独立且相互独立且Xi(),例考察某厂家生产的彩电是否合格例考察某厂家生产的彩电是否合格,总体总体X(0-1)分布分布,从中随机独立抽取从中随机独立抽取5台台,则则X1,X2X5相互独立且相互独立且Xi(0-1)分布分布.x1=1,x2=0,x=1,x=,x5=1。
总体分布总体分布PX=1=p,X=0=1-p,常写成常写成PX=x合格品合格品否则否则合格率为合格率为p,x=0或。
或。
px(1-p)1-x,分别以分别以X1,X2X5表示表示,01,XX记设为例某种炮弹的炮口速度例某种炮弹的炮口速度,随机独立抽取发随机独立抽取发,则则X1,X2X相互独立且相互独立且XiN(,22).x1=3,x2=4,x=5,x=6,x5=7。
设为设为X,总体服从正态分布总体服从正态分布(,22),不含任何未知参数不含任何未知参数.统计量统计量:
样本样本X1,X2.Xn的函数的函数样本方差样本方差样本均值样本均值分别以分别以X1,X2X表示炮口速度表示炮口速度,但但,22未知,未知,),(21nXXXgniiXnX111111122122niiniiXnXnXXnSniiiXXXXn122)2(11niininiiXXXXn11212)2(11niiXXnS12211)(1112niiXn11122niiXnXnniiXnX112Xn22Xn2222.XXXX2XnniiXX1niiXX12Xn样本样本k阶矩阶矩样本样本k阶中心矩阶中心矩,2,111kXnAnikik,2,111kXXnBnikik:
kX阶矩的总体)(kkXEa:
kX阶中心矩的总体kkXEXEb)(例总体例总体X的期望的期望,方差分别为方差分别为X1,X2Xn为来自总体为来自总体X的样本的样本,求求),(),(2XDXE。
)(),(2SEXEniiniiXEnXnEXE11)
(1)1()(:
解niiniiXDnXnDXD121)
(1)1()(niiXnEXEnSE1222)()(11)(ninnn12222)(11n22第二节抽样分布第二节抽样分布设设X1,X2Xn是来自总体是来自总体N(0,1)的样本,称统的样本,称统计量计量服从自由度为服从自由度为n的分布,的分布,记为记为分布的概率分布密度为分布的概率分布密度为1、分布分布niiX1222).(22n其他其他00221)(2212yeynyfynn)(2n2分布具有以下分布具有以下性质性质:
)(yfyO1n5n15n)()(),()1(2122221222122221221nnnn则则相互独立相互独立与与且且如果如果)(2n.2)(,)(),()2(2222nDnEn则有如果.)()()()(),(),10(22)(22222分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件设设对于给定的正数对于给定的正数nndyyfnPnn)(yfy)(2n)25(21.0382.34382.342)(382.34dyyfP1.005.02P)10(205.0)10(205.0307.1805.012P)10(295.0)10(295.0940.3)(222)()(ndyyfnP)(yfy)(2n)(12n1)()(22/222/1nnP.1)(21221)()(ndyyfnPXN(0,1),若满足条件若满足条件称为标准正态分布的上称为标准正态分布的上分位点分位点.求标准正态分布的上求标准正态分布的上分位点分位点,=0.003,求)(xzzzdxxzXP)(z1z9985.02/zXP.,2/zz)96.2(.96.22/z997.0zXP,75.2(),75.2z2、t分布分布设设XN(0,1),Y,且且X与与Y相互独相互独立,立,则称随机变量则称随机变量服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布,记为记为tt(n)。
t(n)分布的概率密度函数分布的概率密度函数为为nYXt)(2ntntnnnthn)1()2()21()(212t(n)分布的图形:
分布的图形:
t(n)分布的上分位点记为分布的上分位点记为,满足:
满足:
)(thtO)(正态正态n1n10nt)(nt)(th)(ntdtthnttPnt)()()()(nt)(1nt)()(2/2/nttntP)(2/nttP.1设设且且U与与V相互独立,相互独立,则称随机变量则称随机变量服从自由度为服从自由度为(n1,n2)的的F分布,记为分布,记为FF(n1,n2)3、F分布分布概率密度函数为概率密度函数为)(),(2212nVnU21/nVnUF其他其他00)1()()2()2()22()(2211221212121211yynnynnnnnnnnynnn的上分位点记为,即它满足的上分位点记为,即它满足.)(),(),(2121dyynnFFPnnF),(21nnF),(21nnF)(yyO),(21nnFFF(n1,n2),则则性质性质证证:
1F),(1211nnFFP),(11211nnFFP),(1211nnF),
(1),(12211nnFnnF),(111211nnFFP),(11211nnFFP),(12nnF).,(12nnF例例6.2设总体设总体XN(62,102),为使样本均值大于为使样本均值大于60的的概率不小于概率不小于0.95,问样本容量问样本容量n至少应取多大至少应取多大?
解解则为样本方差为设正态总体均值为,212nXXX/n)D()E(2XX/n),(2NX60PX/10062-60/10062PnnX95.0)64.1(1.64/1002n/10062-60/10062P-1nnX)/1002-(1n)/1002(n.24.76n5.5.设总体设总体XN(,42),X1,X2.X10为来自总体的一个为来自总体的一个6.6.样本样本,s2为样本方差为样本方差,且且Ps2a=0.1,求求a.解解Ps2a=4949P222as)921.0(查表684.14)1()1(222nSn)9(49222S0.114.684492a14.684492a26.105.a
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