(A)2
(B)2
(C)
(D)12
6.设函数f(x)的定义域为R,则“函数y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“函数f(x)为奇函数”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
7.若实数x,y,z互不相等,且满足
,则
(A)
(B)
(C)
(D)
8.已知正四面体ABCD的棱长为1,平面与该正四面体相交.对于实数d(0d1),记正四
面体ABCD的四个顶点中到平面的距离等于d的点的个数为m,那么下列结论中正确的是
(A)m不可能等于2(B)m不可能等于3
(C)m不可能等于4(D)以上三个答案都不正确
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.设x,y满足约束条件
则zx3y的最大值为.
10.以椭圆
在x轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为;该双曲线的渐近线方程为_.
11.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥中最长棱的长度为.
2
21
正(主)视图
侧(左)视图
1
俯视图
12.若函数f(x)sin(x)(0)在区间(0,
)上单调递减,则的最小值为.
nnn1nn1n
13.能说明“设数列{a}的前n项和为S,对于任意的nN*,若aa,则SS”
为假命题的一个等差数列是.(写出数列的通项公式)
14.因市场战略储备的需要,某公司从1月1日起每月1日购买了相同金额的某种物资,连续购买了4次.由于市场变化,5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易,且该公司在买卖的过程中没有亏本,那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格(单位:
万元)的可能变化情况的是.(写
出所有正确的图表序号)
1.25
1.00
万元/份.
..
1.25
1.00
万元./份.
..
1.25
万元./份
.
..
0.75.
0.50
0.25
.0.75.
0.50
0.25
1.00
.
0.75
0.50
0.25
1月1日2月1日3月1日4月1日5月1日日期
图○1
1月1日2月1日3月1日4月1日5月1日日期
图○2
1月1日2月1日3月1日4月1日5月1日日期
图○3
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在△ABC中,已知
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)若b2,求△ABC的面积.
16.(本小题满分13分)
已知等比数列
的前n项和
p23n,其中nN*.
(Ⅰ)求p的值及数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)判断数列
和
是否为等比数列?
证明你的结论.
17.(本小题满分13分)
10月1日,某品牌的两款最新手机(记为W型号,T型号)同时投放市场.手机厂商为了解这两款手机的销售情况,在10月1日当天,随机调查了5个手机店中这两款手机的销量
(单位:
部),得到下表.
手机店
A
B
C
D
E
W型号手机销量
6
6
13
8
11
T型号手机销量
12
9
13
6
4
(Ⅰ)已知在10月1日当天,这两款最新手机的全国销售量约为10万部,试根据表中数据估计W型号手机10月1日当天的全国销量;
(Ⅱ)该手机厂商计划从这5个手机店中任选2个对W型号手机进行大规模宣传,求恰
好选中B手机店的概率;
0
(Ⅲ)经测算,W型号手机的销售成本(百元)与销量(部)满足关系34.若表中W型号手机销量的方差s2m(m0),试给出表中5个手机店的W型号手
机销售成本的方差s2的值.(用m表示,结论不要求证明)
注:
其中
为数据
的平均数
18.(本小题满分14分)
如图1,在平行四边形ABCD中,O为AD的中点,BOAD.将三角形ABO沿BO折起到A1BO位置,如图2.
(Ⅰ)求证:
BOA1D;
(Ⅱ)若M为A1B的中点,求证:
MO//平面A1CD;
(Ⅲ)判断平面A1OD能否垂直于平面A1CD?
证明你的结论.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆
的右顶点为A,左焦点为F.斜率为k的直线l与椭圆C相切于
点B,且点B在第一象限.
(Ⅰ)若k1,求直线l的方程;
(Ⅱ)直线AB交y轴于点P,过点A且平行于l的直线与y轴交于点Q,证明:
△PQF
为等腰三角形.
20.(本小题满分13分)
已知函数f(x)x(lnx1).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求证:
曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线不经过原点;
(Ⅲ)设整数k使得
对x(0,)恒成立,求整数k的最大值.
北京市西城区高三模拟测试
数学(文科)参考答案及评分标准2019.5
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.B
2.C
3.A
4.D
5.B
6.B
7.D
8.D
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.11
2
10.x2-y=1,y=±2x
4
11.3
π
12.
2
13.答案不唯一,如an=n-4
14.②③
注:
第10题第一问2分,第二问3分.第14题漏选、多选或错选均不得分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.其他正确解答过程,请参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)由a=
2b,b=
2c,得a=
2b=2c.
根据余弦定理a2=b2+c2-2abcosA,„„„„„„3分
b2+c2-a2
得cosA==
2bc
2⨯(2c)⨯c
2
=-.
4
即cosA=-
2.„„„„„„6分
4
(Ⅱ)因为cosA=-
所以sinA=
2,A∈(0,π),
4
1-cos2A
=14.„„„„„„9分
4
由b=2,得c=
2.„„„„„„10分
所以△ABC的面积S=1bcsinA=7.„„„„„„13分
22
16.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)由S
=p-23-n,得S
=a=p-4,S
=a+a
=p-2,S
=a+a+a
=p-1,
n11
212
3123
所以a1=p-4,a2=2,a3=1.„„„„„„3分
因为数列{an}为等比数列,
a1a
所以公比q=3=,且2=q,
a22a1
故p=8,a1=4.„„„„„„5分
所以数列{an}的通项公式an=a1⨯q
n-1=23-n
.„„„„„„7分
(Ⅱ)结论:
数列{a2}是等比数列,数列{na}不是等比数列.„„„„„„9分
nn
证明如下:
n
由(Ⅰ),得a2=(23-n)2=43-n,
a242-n1
所以n+1==,
a
4
4
23-n
n
所以数列{a2}是首项为16,公比为1等比数列.„„„„„„11分
n
由(Ⅰ),得nan
4
=n⨯23-n,
所以数列{nan}的前三项分别为4,4,3,它们构不成等比数列,
所以数列{nan}不是等比数列.„„„„„„13分
17.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)在10月1日当天,所调查的5个店的W型号手机总销售量为6+6+13+8+11=44(部),
T型号手机总销售量为12+9+13+6+4=44(部),„„„„„„1分
故所调查的5个店的W型号手机在这两款手机中的销售频率为44=1,
44+442
„„„„„„2分
所以W型号手机10月1日的全国销售量约为10⨯1=5(万部).„„„„4分
2
(Ⅱ)设事件:
“从这5个手机店中任选2个,恰好选中B手机店”为M,„„„5分则从这5个手机店中任选2个,所有可能结果有10种,即(A,B),(A,C),(A,D),
(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E).„„„„„„7分
而事件M的结果有4种,它们是(A,B),(B,C),(B,D),(B,E).„„„„8分
所以P(M)=4
=2.
105
即从这5个手机店中任选2个,恰好选中B手机店的概率为2.„„„„„„10分
5
(Ⅲ)s2=9m.
„„„„„„13分
18.(本小题满分14分)解:
(Ⅰ)在图1中,因为BO⊥AD,
所以在图2中BO⊥A1O,BO⊥OD.„„„„„„1分又因为A1OOD=O,
所以BO⊥平面A1OD.„„„„„„3分
又因为AD⊂平面AOD,
11
所以BO⊥A1D.„„„„„„4分
D
(Ⅱ)如图,取A1C中点N,连接MN,DN.A1
因为M为A1B中点,
所以MN//BC,MN=1BC.
2
又因为OD//BC,OD=1BC,BC
2
所以MN//OD,MN=OD.
所以四边形OMND为平行四边形.„„„„„„6分
所以MO//DN.„„„„„„7分
又因为MO⊄平面A1CD,DN⊂平面A1CD,
所以MO//平面A1CD.„„„„„„9分
(Ⅲ)结论:
平面A1OD不可能垂直于平面A1CD.„„„„„„10分证明如下:
假设平面A1OD⊥平面A1CD.
在平面A1OD内过O作OE⊥A1D于E,因为平面A1OD平面A1CD=A1D,
所以OE⊥平面A1CD.„„„„„„11分
又因为CD⊂平面A1CD,所以OE⊥CD.
由(Ⅰ)知BO⊥平面A1OD,所以BO⊥OE.
又因为BO与CD相交,BO,CD⊂平面OBCD,
所以OE⊥平面OBCD.„„„„„„13分
故OE同时垂直于两个相交平面OBCD和A1CD,这显然不成立,故假设不成立.
所以平面A1OD不可能垂直于平面A1CD.„„„„„„14分
19.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)由题意,设直线l的方程为y=kx+m,„„„„„„1分
⎧y=kx+m
⎪
2
联立方程⎨
⎪
⎩
x+y2=1
2
,消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.„„3分
因为直线l与椭圆相切,
所以∆=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=0,即m2=2k2+1.„„„„„„4分
1-4km
-2km
-2k
-2k2+m21
设B(x0,y0),则x0=⨯2=2=
22k+12k+1
m,y0=kx0+m=m=m.
所以B(-2k,1).„„„„„„6分
mm
由点B在第一象限,得
-2km
>0,
1>0,即m>0,k<0.
m
若k=-1,则m=
2k2+1=3.
所以直线l的方程为y=-x+
3.„„„„„„8分
(注:
如直接设l的方程为y=-x+m来解决问题,此问最多给到6分.)
(Ⅱ)由(Ⅰ),得m2=2k2+1,B(-2k,1).
mm
1
k=m=1,
2
由A(2,0),得直线AB的斜率AB
-2k-
m
-2k-2m
所以直线AB的方程为
y=1(x-
2).
1
-2k-
2m
1
P(0,).„„„„„„10分
令x=0,得y=
2k+m
,所以
2k+m
因为直线AQ//l,所以设直线AQ的方程为y=k(x-
2).
令x=0,得y=-
2k,所以Q(0,-
2k).„„„„„„11分
12k2+
2km+1
m2+
2km
所以PQ=|
+2k|=||=||=m.„„„„13分
2k+m
2k+m
2k+m
又因为QF=
2k2+1==m=|PQ|,
m2
所以△PQF为等腰三角形.„„„„„„14分
20.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)求导,得f'(x)=2+lnx,„„„„„„1分令f'(x)=0,解得x=e-2.
由f'(x)>0,得x>e-2,所以f(x)在(e-2,+∞)上单调递增.„„„„„„2分
由f'(x)<0,得0(Ⅱ)由(Ⅰ),得曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),其中x0>0.„„„„„„5分
假设曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线经过原点,
则有0-f(x0)=f'(x0)(0-x0),即-x0(lnx0+1)=(2+lnx0)(-x0),整理得x0=0,这与x0>0矛盾,
所以曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线不经过原点.„„„„„„8分
(Ⅲ)“f(x)≥k(x-1)对x∈(0,+∞)恒成立”等价于“当x>0时,f(x)-k(x-1)≥0恒成立”.
22
令g(x)=f(x)-k(x-1)=xlnx+(1-k)x+1k,„„„„„„9分
22
求导,得g'(x)=lnx+2-k,
由g'(x)=0,得x=ek-2.
随着x变化,g'(x)与g(x)的变化情况如下表所示:
x
(0,ek-2)
ek-2
(ek-2,+∞)
g'(x)
-
0
+
g(x)
↘
极小值
↗
所以g(x)在(0,ek-2)上单调递减,在(ek-2,+∞)上单调递增.
所以函数g(x)的最小值g(ek-2)=1k-ek-2≥0.„„„„„„11分
2
令h(k)=1k-ek-2,则h
(2)=1⨯2-e2-2=0,
22
当k=2时,
因为g(x)的最小值g(ek-2)=g
(1)=0,
所以f(x)≥k(x-
当k>2时,
1)对于x>0恒成立,符合题意;„„„„„„12分
2
由h'(k)=1-ek-2<1-e2-2<0,得函数h(k)=1k-ek-2在(2,+∞)单调递减,
222
所以h(k)(2)=0,
故此时g(x)的最小值g(ek-2)=h(k)<0,不符合题意.
所以整数k的最大值是2.„„„„„„13分