第三章-传输线和波导.ppt
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MicrowaveTechnique33传输线和波导传输线和波导TEM、TE和TM波的通解平行板波导电磁场结构(了解)矩形波导主模及场结构同轴线主模及场结构圆波导主模及场结构带状线和微带线波速和色散MicrowaveTechnique引言:
低耗传输微波功率的波导和其它传输线的出现是微波工程早期的里程碑之一。
瑞利于1897年建立了金属波导管内电磁波的传播理论,纠正了亥维赛关于没有内导体的空心金属管内不能传播电磁波的错误理论。
40年后的1936年,索思沃思和巴罗等人发表了有关波导传播模式的激励和测量方面的文章后,波导才有了重大的发展。
早期的微波系统主要使用波导和同轴线作为传输线,波导功率容量高,损耗低,但体积大,价格昂贵;同轴线工作频带宽,但难于制作微波元件。
于是有了第二次世界大战中带状同轴线和1952年微带线的出现以及后来更多平面传输线(槽线、鳍线、共面波导)的出现。
MicrowaveTechnique3.1TEM、TE和和TM波的通解波的通解本节思路:
1.利用麦克斯韦方程,得到由纵向分量表示的电磁场横向分量。
2.根据TEM、TE和TM波纵向场的特征,根据1中的关系式写出这三种电磁波沿z方向传播时的电磁场表达式。
TEM波:
TransverseElectronicmagneticWaveTE波:
TransverseElectricWaveTM波:
TransverseMagneticWaveMicrowaveTechnique具有平行于z轴方向导体边界的任意传输线和波导结构,假设z方向均匀且无限长,导体为理想导体。
沿z方向传播的时谐电磁场(ejt)可写为:
zjzzjzeyxhzyxhzyxHeyxezyxezyxE),(),(),(),(),(),(。
是纵向电场和磁场分量和电场和磁场分量,代表横向和zzheyxyxhyxe),(),(),(z方向传播,可得z方向传播存在损耗时=+jj普通双导体封闭式波导(3.1a)(3.1b)MicrowaveTechnique对于无源传输线或波导而言,麦克斯韦方程可写为:
EjHHjE可简化为:
的变化关系,上述方程的随因为电磁场具有zezjzEjyxHxyHyEjxzHxHjxEjyHjyzHzHjyxExyEyHjxzExEjxHjyEjyzE思路:
利用纵向场表示横向场(3.3a)(3.3b)(3.3c)(3.4a)(3.4b)(3.4c)(3.2a)(3.2b)MicrowaveTechnique利用Ez和Hz,四个横向场分量可表示为:
xHyEkjEyHxEkjEyHxEkjHxHyEkjHzzcyzzcxzzcyzzcx2222其中,222kkc截止波数/2k(3.5a)(3.5b)(3.5c)(3.5d)式(3.5ad)对于边界条件平行于z轴的时谐系统而言具有普适性。
MicrowaveTechnique3.1.1TEM波波横电磁波(TransverseElectromagneticWave)0zzHEyEjxzHxHjxHjyEjyzE(3.3a)(3.4b)消去HxyEjxHjxHjyEjyyEE220zzHEk零。
为波截止波数22kkcTEMMicrowaveTechnique对于Ex的亥姆霍兹方程而言:
(3.9)对于的依赖关系:
(3.9)式简化为:
(3.10)同理可得:
根据(3.1a)zjzeyxezyxezyxE),(),(),(得:
(3.11)其中,是横向二维拉普拉斯算子。
TEM波的横向电场满足拉普拉斯方程。
MicrowaveTechnique同理横向磁场也满足拉普拉斯方程:
(3.12)TEM波的横向场与存在于导体间的静电场相同。
若采用静电情况下的标势来表示电场:
标势(scalarpotential)其中,是二维梯度算子。
可以证明,也满足拉普拉斯方程。
(3.13)由于闭合导体各部分的静电势相同,根据式(3.13)可知,电场为零,因此单一导体不能支持TEM波。
只有当两个或更多的导体存在时,TEM波才能够存在。
(3.14)MicrowaveTechnique因此,对于TEM波的求解可以转换为对静电场问题的求解:
(3.15)(3.16)(3.17)(3.18)分析TEM波的过程:
1.求解拉普拉斯方程(3.14)得到标势。
解包含若干未知量。
2.对于导体上的电压应用边界条件,求得未知量。
3.由式(3.13)和(3.1a)计算电场,由式(3.18)和(3.1b)计算磁场。
4.由式(3.15)计算V,由式(3.16)计算I。
5.传播常数由式(3.8)给出,特征阻抗由Z0=V/I给出MicrowaveTechnique3.1.2TE波波横电波(H波)0,0zzHE3.1.3TM波波横磁波(E波)0,0zzHE式(3.5)简化为:
(3.19a)(3.19b)(3.19c)(3.19d)(3.23a)(3.23b)(3.23c)(3.23d)波阻抗为:
与频率有关,可以存在于封闭导体内,也可在两个或更多导体之间形成。
(3.22)(3.26)MicrowaveTechnique3.1.2TE波波3.1.3TM波波对于TE,TM波而言,,传播常数是频率和传输线或波导的几何尺寸的函数,反映了由波源进入的微波信号在某一确定传输系统中的传输情况,即导行波的传播特征。
由亥姆霍兹方程:
因为:
上式简化为:
由亥姆霍兹方程:
因为:
上式简化为:
需要根据特定的边界条件求解。
截止波数kc决定了电磁场在传输系统中的模型或场型传输系统的物质,形状和尺寸对电磁能量的束缚作用。
(3.21)(3.25)MicrowaveTechnique分析TE、TM波的过程:
1.求解关于hz或ez的亥姆霍兹方程(3.21)或(3.25)。
解包含若干未知量和未知的截止波数kc。
2.利用式(3.19)和(3.23),由hz或ez计算横向场。
3.把边界条件应用于相应的场分量,求出未知常数和kc。
4.传播常数由式(3.6)给出,波阻抗由式(3.22)或(3.26)给出。
MicrowaveTechnique3.1.4由电介质损耗引起的衰由电介质损耗引起的衰减减有时,为了减小波导的体积尺寸,将会在其内部填充介质。
由介质引起的衰减可写为:
)TMTE(m/Np2tan2或kd对于TEM波也适用,此时k)TEM(m/Np2tankd若导体损耗引起的衰减为c总的衰减常数为:
dc电介质均匀填充(泰勒展开)与场分布有关(微扰法)MicrowaveTechnique3.2平行平板波导平行平板波导Wd,填充材料:
,MicrowaveTechnique3.2.1TEM波波求解静电势的拉普拉斯方程并由边界条件得出电场和磁场:
jkzjkzedVyeyxezyxE0),(),((3.35)jkzedVxzyxEzzyxH0),
(1),((3.36)抗。
是两板间媒质的本征阻波的传播常数,是TEMk上板相对于下板的电压:
上板的总电流:
因此,特性阻抗为:
相速:
依赖于波导几何尺寸和材料参数的常数。
与光在材料媒质中的速度相同。
典型的TEM波分析方法MicrowaveTechnique3.2.2TM波波Hz=0,Ez0,Wd,认为在x方向电场无变化0x波方程简化为:
其通解:
(3.41)(3.42)边界条件:
y=0,d则:
B=0,kcd=n,n=0,1,2,3因此,离散值传播常数(3.45)MicrowaveTechnique横向场分布:
则纵向场:
(3.46)(3.47)(3.48a)(3.48b)(3.48c)MicrowaveTechniqueCk特定边界条件下偏微分方程0),(),(22yxekyxezCz本征值对应的一系列本征函数,是纵向电场的场分布函数。
222kkc意义:
Ck决定了电磁场在传输系统中的模式或场型。
这反映了传输系统的物质、形状和几何尺寸对电磁能量的束缚作用。
),(yxez的本征值。
本征值本征函数传播模式和场型22Ckk意义:
(传播状态)Ck和k决定,这反映了由波源进入的微波信号(、),在某一确定传输系统中的传输情况,即反映了导行波的传播特征。
如:
纵向场的分布和信号能量纵向推进的快慢。
方程中由MicrowaveTechnique讨论:
讨论:
1.n=0时,TM0与TEM一样2.n1时,每个n值对应不同的kc与,对应不同模式TMn3.由于,对于既定的实数kc,22ckkb.当kkc时,是实数。
导行波:
导行波:
虚数实数这种形式的场时变规律是一种“原地振动”的正弦振荡,其振幅沿+z轴以指数衰减,完全没有波的向前传播的特性。
这种状态对应的模式称为截止模式或消逝模。
二者的分界截止频率fcMicrowaveTechniquecckfk2截止频率fc:
dnkfcc22ndc2截止波长:
当工作频率ffc时,kkc,是实数,波动状态。
当工作频率ffc时,kfc时,是纯实数。
ffc时,1是实数,且小于k,0d,认为在x方向电场无变化纵向场:
横向场:
(3.67a)(3.67b)(3.67c)(3.66)MicrowaveTechnique离散值1.传播常数2.截止频率3.波阻抗4.相速(3.68)(3.69)(3.70)MicrowaveTechnique5.导波波长6.介质损耗7.导体损耗22012kkcrrgm/Np2tan2kdm/Np2dkRSc(3.72)MicrowaveTechnique图3.4平行平板波导中TEM模、TM1模和TE1模由于导体损耗引起的衰减表3.1平行平板波导结果总结MicrowaveTechnique图3.5平行平板波导中的场力线(a)TEM(b)TM1模(c)TE1模MicrowaveTechnique3.3矩形波导矩形波导1GHz到220GHz波段内有各种标准的波导。
中空波导可以传播TM、TE模而不能传播TEM模。
MicrowaveTechnique设矩形波导的宽边与直角坐标系的X轴相重合,宽度为a,窄边与Y轴相重合,高度为b,电磁波的传输方向为Z方向,纵向场分量ez,hz满足的方程为:
022222ekeeZcZZyx022222hkhhZcZZyx截止波数3.3.1TE模模zjzzeyxezyxE),(),(zjzzeyxhzyxH),(),(abMicrowaveTechniqueTETE波波纵向场分量的通解纵向场分量的通解采用分离变量法,令代入纵向场分量满足的波动方程0EZyxYXhZ022222yxyyxxxyYXkYXXYckYYXXcyyyxxx2222211022222hkhhZcZZyx得到MicrowaveTechnique欲使方程两边恒等,只有两者都等于一个常数:
令分别求解,有:
从而得到矩形波导中纵向磁场的通解(本征方程)为:
kXXxxxx2221kYYyyyy2221kkkcyx222xkBxkAXxxxsincosykDykCYyyysincosykDykCxkBxkAhyyxxZsincossincoskYYXXcyyyxxx2222211yxYXhZMicrowaveTechnique满足边界条件的场解边界条件yHkjEZcx20x0Eyax0yby0Ex0axxhZ0byyhZ00xxhZ00yyhZxHkjEZcy2由于(3.19c)(3.19d)ykDykCxkBxkAhyyxxZsincossincosMicrowaveTechnique利用纵向场分量与横向场分量的关系可得TE波的横向场分量的表达式:
从而得到TE波的纵向磁场的满足边界条件的解为0B0Damkxbnky.2,1,0m.2,1,0nzjmnzebynaxmAHcoscosMicrowaveTechnique场的振幅由激励条件所决定zjeybnxambnkjAEcmnxsincos2zjeybnxamamkjAHcmnxcossin2zjeybnxamamkjAEcmncossin2yzjeybnxambnkjAHcmnysincos222222bnamkkkyxcAmncmnrrccmnfck/2截止波长22222bnamkkkc为实数,kkc对应传播模式为虚数,kfc,为实数,能传播ffc,为虚数,不能传播c,为虚数,不能传播MicrowaveTechnique矩形波导中的矩形波导中的TMTM(HHzz=0=0)波)波纵向场分量的通解波导上的边界条件从而得到有ykDykCxkBxkAeyyxxZsincossincosaxby0y0x0CA0ez0ezbnkyamkxzjeybnxamBEmnzsinsin同样采用分离变量法MicrowaveTechniqueTMTM波横向场分量波横向场分量zjeybnxamBamkjEmncxsincos2cg2122zjeybnxamEbnkjEcycossin02zjeybnxamBbnkjHmncxcossin2zjeybnxamBamkjHmncysincos2bnamkkkyxc22222MicrowaveTechnique矩形波导中电磁波的传播模式及传播条矩形波导中电磁波的传播模式及传播条矩形波导中电磁波的传播模式及传播条矩形波导中电磁波的传播模式及传播条件件件件
(2)TE波中最低模式为TE10或H10模式,TM波中最低模式为TM11或或E11模式,不存在TE00,TM00,TM0n,TMm0模式;
(1)每组m和n都对应一个满足边界条件的特解,代表矩形波导中的一种传播模式或波型,m和n称为波型指数;(3)当fC)时,为实数,波型可在波导中传播;当C(fa/2时会使TE01模的截止频率低于TE20模,从而使单模工作带宽减小。
综合考虑传输功率、衰减常数和工作带宽要求,b一般选为(0.40.5)a;衰减因子与工作频率有关:
随着工作频率升高,衰减因子先减小,出现极小值,然后稳步上升。
mNpkabkbabaaabPRRPssl/)2(2/2/223233232102MicrowaveTechnique3.43.4圆波导圆波导(cylindricalwaveguid(cylindricalwaveguide)e)1、圆波导的场分布表达式;2、圆波导的传播特性;3、圆波导的主模和其他主要传播模式;4、圆波导与矩形波导的对照比较。
本节要求MicrowaveTechnique圆柱坐标的场分量和纵向场波动方程圆柱坐标的场分量和纵向场波动方程011222222hkhrrhrrhzcZZZ011222222ekerrerrezcZZZ22221122rrrrT)(2zzcHrrEkjE)(2rHErkjEzzc)(2rHErkjHzzcr)(2zzcHrrEkjHMicrowaveTechnique采用分离变量法:
方程两边必为常数n2)()(),(PrRrhz01222222PRkdPdrRrdRdrPrdRdPc22222221dPdPkrrdRdRrrdRdRrc0222PndPd022222RnrkdrdRrdrRdrc设解为TE波(Ez0)011222222hkhrrhrrhzcZZZMicrowaveTechnique利用圆波导边界条件求解nBnAPcossin角向基本场型可表示为奇对称场与偶对称场根据场解的唯一性,在方向,场的变化是周期重复的,即m必须为整数;角向为连续、均匀的场,故n0,1,2,MicrowaveTechnique贝塞尔函数方程其中,Jn为n阶第一类贝塞尔函数,Yn为n阶第二类贝塞尔函数(n阶诺埃曼函数),统称圆柱函数。
0)()(22222RnrkrkddRrkrkdRdrkcccccrkDYrkCJrRcncn)(解解MicrowaveTechniqueYn(kcr)在r0时趋于无穷,物理上不可能,D0)()cossin(rkJnBnAhcnz因此rkDYrkCJrRcncn)(MicrowaveTechnique根据自然边界条件,有波导壁上ra时,E0TE波的场分量表达式apknmc)()cossin(rkJnBnAhcnzzjcncEzzcerkJnBnAkjrHErkjEz)()cossin()(02又:
则0)(akJcn(n阶贝塞尔函数的导数的第m个根)截止波数MicrowaveTechnique圆波导TE波电磁场解zjcncrerkJnBnArknjE)()sincos(2zjcncerkJnBnAkjE0)cossin(zjcncrerkJnBnAkjH)()cossin(zjcncerkJnBnAknjH)()sincos(20zEzjcnzerkJnBnAH)cossin(MicrowaveTechniqueTEnm模传播常数2222)(apkkknmcnm截止频率apkfnmccnm22MicrowaveTechnique011222222ekerrerrezcZZZTM波(Hz0))()cossin(cnzkJnBnAe根据自然边界条件,有波导壁上ra时,E0TM波的场分量表达式apknmc则(n阶贝塞尔函数的第m个根)截止波数同样可得根据波方程zjcncHzzcerkJnnBnnArkjrHErkjEz)()sincos()(202又0)(akJcnMicrowaveTechnique圆波导TM波横向电磁场解zjnmnnmrennrapAJpajEsincos)(zjnmncennrapAJrknjEcossin2zjnmncrennrapAJrknjHcossin)(2zjnmncennrapAJknjHsincos)(zjnmnzennrapAJEsincos0zHMicrowaveTechniqueTMnm模传播常数2222)(apkkknmcnm截止频率apkfnmccnm22MicrowaveTechnique圆波导中波的传播特性由场表达式可见:
n表示场量沿圆周方向(方向)分布的半驻波数,当n=0时,场量沿圆周方向为常数。
TEnmTEnm,TMnmTMnm波指数的含义波指数的含义m表示贝塞尔函数及其导数的根的个数,即表示场量沿波导径向(r方向)的半驻波数或场的最大值个数(零点个数)。
MicrowaveTechnique圆波导中波的传播特性传播模式传播模式与矩形波导类似,圆波导中有无穷多个满足边界条件的模式,即波指数的每一个组合就是圆波导中满足边界条件的一个解,但不存在但不存在TETE0000、TETEm0m0、TMTM0000和和TMTMm0m0模式模式。
与矩形波导不同,圆波导中的最低模式并不是波指数最小的模式,它的最低模式是最低模式是TETE1111模(模(HH1111模)模)。
MicrowaveTechnique圆波导中的圆波导中的圆波导中的圆波导中的简并模简并模简并模简并模当n0时,圆波导中的sin(n)项和cos(n)项是可同时存在,这两种模式其实只是在空间旋转了90,其截止频率相同。
可同时在圆波导中存在(与波导的激励方式有关),这种情况称为圆波导的极化简并。
可制作特殊波导元件由于圆波导存在极化简并,故一般不用圆波导传输信号。
MicrowaveTechniqueapkfnmccnm22TMnm模apkfnmccnm22TEnm模TM1m模与TEom模具有相同的截止频率MicrowaveTechnique圆波导中的常用模式E01模H01模H11模MicrowaveTechniqueH11模场结构特点特点与矩形波导中的主模TE10模相似,可以很方便的转换。
场分布为非圆周对称,具有极化简并。
应用应用精密旋转式衰减器、移相器、截止衰减器及波长计等。
H11模截止波长最长,是最低模式844.1nmpac413.MicrowaveTechniqueH01模场结构场分布轴向对称,无极化简并;电场只有分量,沿方向均匀分布,围绕纵向磁场形成闭合曲线,故又称为圆电波;波导壁无纵向电流,电流只沿圆周方向流动;管壁损耗随工作频率的增加而单调下降。
特点应用AA、高、高QQ谐振腔;谐振腔;BB、远程毫米波传输;、远程毫米波传输;CC、光纤通信、光纤通信。
缺点:
不是最低模式缺点:
不是最低模式MicrowaveTechniqueE01模场结构特点电场轴对称,没有简并,是最低圆对称模式;应用由于电场是轴对称的,常常作为雷达的旋转关节。
磁场只有圆周分量,即只有纵向电流;传输损耗较大。
MicrowaveTechnique同轴线TEM导波模式同轴线是种双导体导行系统,显然可以传输TEM导波。
同轴线以TEM模工作,广泛用作宽频带馈线,设计宽带元件;但当同轴线的横向尺寸可与工作波长比拟时,同轴线中也会出现TE模和TM模。
它们是同轴线的高次模。
zjeabrVzrE)/ln(,0zjeabrVzrH)/ln(,0E沿径向,H沿圆周方向。
3.53.5同轴线同轴线MicrowaveTechnique同轴线TEM场结构MicrowaveTechnique
(1)相速度和导波波长)相速度和导波波长同轴线TEM导模传输特性导波波长:
导波波长:
相速度:
相速度:
TEM模:
模:
kc0,cMicrowaveTechnique
(2)特性阻抗(3)衰减常数导体损耗导体损耗介质损耗介质损耗损耗最小条件:
损耗最小条件:
相应的特性阻抗为相应的特性阻抗为:
ZC76.7lMicrowaveTechnique(4)耐压最高条件)耐压最高条件ZC6072.2eab内导体耐压最高条件:
内导体耐压最高条件:
相应的特性阻抗为相应的特性阻抗为:
(5)传输功率)传输功率相应的特性阻抗为相应的特性阻抗为:
最大功率条件:
最大功率条件:
ZC30实际情况实际情况兼顾二者兼顾二者ZC50MicrowaveTechnique3.5.2同轴线高阶模在一定尺寸条件下,除在一定尺寸条件下,除TEM模以外,同轴线中也会出现模以外,同轴线中也会出现TE模和模和TM模。
实用中,这些高次模模。
实用中,这些高次模(higher-ordermodes)通常是通常是截止的,只是在不连续性或激励源附近起电抗作用。
重要的是要截止的,只是在不连续性或激励源附近起电抗作用。
重要的是要知道这些模式特别是最低次模式知道这些模式特别是最低次模式(thelowestorderwaveguid-mode)的截止波长或截止频率,以避免这些模式在同轴线中传播。
的截止波长或截止频率,以避免这些模式在同轴线中传播。
MicrowaveTechniqueTE模模TM模模最低波导模式为最低波导模式为TE11模。
模。
)
(2)(201ababncTMcTMmn(TE模式和模式和TM模式的模式的本征值方程为超越方程,本征值方程为超越方程,均需用数值法求解。
)均需用数值法求解。
))(abcTE11单模条件单模条件)(110abcTETEM模模MicrowaveTechnique3.6接地介质板上的表面波两个区域的波方程xdyxekxdxyxekxzzr0),(00),(2202222022两个区域的截止波数20222202khkkrc3.6.1TM模典型化表面波场在远离介质表面时呈指数衰减,但绝大部分场保存在截止里或介质表面附近分界面上切向场对所有z值都匹配MicrowaveTechniquexdyxekxdxyxekxzzr0),(00),(2202222022通解:
xdDeCeedxxkBxkAehxhxzccz0cossin界件边条:
Ez(x,y,z)=0在x=0处Ez(x,y,
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