解析几何试题及答案.docx
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解析几何试题及答案
解析几何
1.(21)(本小题满分13分)
设,点的坐标为(1,1),点在抛物线上运动,点满足,经
过点与轴垂直的直线交抛物线于点,点满足
求点的轨迹方程。
(21)(本小题满分13分)本题考查直线和抛物线的方程,平面向量
的概念,性质与运算,动点的轨迹方程等基本知识,考查灵
活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学
素养.
解:
由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直
线上,故可设
①
再设
解得②,将①式代入②式,消去,得
③,又点B在抛物线上,所以,
再将③式代入,得
故所求点P的轨迹方程为
2.(17)(本小题满分13分)
设直线
(I)证明与相交;
(II)证明与的交点在椭圆
(17)(本小题满分13分)本题考查直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证明,点在曲线上的判断与证明,椭圆方程等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力.
证明:
(I)反证法,假设是l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2,代入k1k2+2=0,得此与k1为实数的事实相矛盾.从而相交.
(II)(方法一)由方程组,解得交点P的坐标为,而
此即表明交点
(方法二)交点P的坐标满足,
,整理后,得
所以交点P在椭圆
.已知椭圆G:
,过点(m,0)作圆的切线l交椭圆G于A,B两点。
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(2)将表示为m的函数,并求的最大值。
(19)解:
(Ⅰ)由已知得所以
所以椭圆G的焦点坐标为,离心率为
(Ⅱ)由题意知,.当时,切线l的方程,
点A、B的坐标分别为此时
当m=-1时,同理可得
当时,设切线l的方程为
由;设A、B两点的坐标分别为,则;
又由l与圆
所以
由于当时,因为
且当时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.
.(本小题共14分)
已知椭圆的离心率为,右焦点为(,0),斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).
(I)求椭圆G的方程;(II)求的面积.
(19)解:
(Ⅰ)由已知得解得,又
所以椭圆G的方程为
(Ⅱ)设直线l的方程为
由得
设A、B的坐标分别为AB中点为E,
则;因为AB是等腰△PAB的底边,
所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。
此时方程①为解得所以
所以|AB|=.此时,点P(—3,2)到直线AB:
的距离
所以△PAB的面积S=
.(本小题满分13分)
已知直线l:
y=x+m,m∈R。
(I)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切与点P,且点P在y轴上,求该圆的方程;
(II)若直线l关于x轴对称的直线为,问直线与抛物线C:
x2=4y是否相切?
说明理由。
17.本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。
满分13分。
解法一:
(I)依题意,点P的坐标为(0,m)
因为,所以,
解得m=2,即点P的坐标为(0,2)
从而圆的半径
故所求圆的方程为
(II)因为直线的方程为所以直线的方程为
由,
(1)当时,直线与抛物线C相切
(2)当,那时,直线与抛物线C不相切。
综上,当m=1时,直线与抛物线C相切;当时,直线与抛物线C不相切。
解法二:
(I)设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为
依题意,所求圆与直线相切于点P(0,m),
则解得所以所求圆的方程为
(II)同解法一。
.(本小题满分12分)
如图,直线l:
y=x+b与抛物线C:
x2=4y相切于点A。
(Ⅰ)求实数b的值;
(Ⅱ)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程。
18.本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,
考查函数与方程思想、数形结合思想,满分12分。
解:
(I)由,(*)
因为直线与抛物线C相切,所以解得b=-1。
(II)由(I)可知,
解得x=2,代入故点A(2,1),因为圆A与抛物线C的准线相切,
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即
所以圆A的方程为
.(本小题满分14分)
设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切.
(1)求C的圆心轨迹L的方程.
(2)已知点且P为L上动点,求的最大值及
此时点P的坐标.
19.
(1)解:
设C的圆心的坐标为,由题设条件知
化
简得L的方程为
(2)解:
过M,F的直线方程为
,将其代入L的方程得
解得
因T1在线段MF外,T2在线段MF内,故
,若P不在直线MF上,在中有
故只在T1点取得最大值2。
8.
(2)设是定点,其中满足.过作的两条切线,切点分别为,与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明:
;
21.解:
(1),
直线AB的方程为,即,
,方程的判别式,
两根或,
,,又,
,得,
.
(2)由知点在抛物线L的下方,
①当时,作图可知,若,则,得;
若,显然有点;.
②当时,点在第二象限,
作图可知,若,则,且;
若,显然有点;
.
根据曲线的对称性可知,当时,,
综上所述,(*);
由(1)知点M在直线EF上,方程的两根或,
同理点M在直线上,方程的两根或,
若,则不比、、小,
,又,
;又由(1)知,;
,综合(*)式,得证.
(3)联立,得交点,可知,
过点作抛物线L的切线,设切点为,则,
得,解得,
又,即,
,设,,
,又,;
,,.
.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,直线交轴于点A,设是上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP
(1)当点P在上运动时,求点M的轨迹E的方程;
(2)已知T(1,-1),设H是E上动点,求+的最小值,并给出此时点H的坐标;
(3)过点T(1,-1)且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线的斜率k的取值范围。
21.(本小题满分14分)
解:
(1)如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线,交OP于点Q,
因此即①
另一种情况,见图2(即点M和A位于直线OP的同侧)。
MQ为线段OP的垂直平分线,
又
因此M在轴上,此时,记M的坐标为
为分析的变化范围,设为上任意点
由(即)得,
故的轨迹方程为②
综合①和②得,点M轨迹E的方程为
(2)由
(1)知,轨迹E的方程由下面E1和E2
两部分组成(见图3):
;
当时,过T作垂直于的直线,垂足为,交E1于。
再过H作垂直于的直线,交
因此,(抛物线的性质)。
(该等号仅当重合(或H与D重合)时取得)。
当时,则
综合可得,|HO|+|HT|的最小值为3,且此时点H的坐标为
(3)由图3知,直线的斜率不可能为零。
设
故的方程得:
因判别式
所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。
又由E2和的方程可知,若与E2有交点,
则此交点的坐标为有唯一交点,从而表三个不同的交点。
因此,直线的取值范围是
.(本小题满分14分)
平面内与两定点,连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹,加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程,并讨论的形状与值得关系;
(Ⅱ)当时,对应的曲线为;对给定的,对应的曲线为,设、是的两个焦点。
试问:
在撒谎个,是否存在点,使得△的面积。
若存在,求的值;若不存在,请说明理由。
20.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想。
(满分14分)
解:
(I)设动点为M,其坐标为,
当时,由条件可得
即,又的坐标满足
故依题意,曲线C的方程为
当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆;
当时,曲线C的方程为,C是圆心在原点的圆;
当时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的椭圆;
当时,曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。
(II)由(I)知,当m=-1时,C1的方程为
当时,C2的两个焦点分别为
对于给定的,C1上存在点使得的
充要条件是
由①得由②得
当或时,存在点N,使S=|m|a2;
当或时,不存在满足条件的点N,
当时,
由,
可得令,
则由,
从而,
于是由,可得
综上可得:
当时,在C1上,存在点N,使得
当时,在C1上,存在点N,使得
当时,在C1上,不存在满足条件的点N。
11.(本小题满分13分)
如图7,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。
(Ⅰ)求,的方程;
(Ⅱ)设与轴的交点为M,过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.
(i)证明:
;
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问:
是否存在直线,使得=?
请说明理由。
解析:
(I)由题意知,从而,又,解得。
故的方程分别为。
(II)(i)由题意知,直线的斜率存在,设为,则直线的方程为.
由得,
设,则是上述方程的两个实根,于是。
又点的坐标为,所以
故,即。
(ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由解得或,则点的坐标为,又直线的斜率为,同理可得点B的坐标为.于是
由得,解得或,
则点的坐标为;又直线的斜率为,同理可得点的坐标为
于是
因此
由题意知,解得或。
又由点的坐标可知,,所以
故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和。
.已知平面内一动点到点F(1,0)的距离与点到轴的距离的等等于1.
(I)求动点的轨迹的方程;
(II)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点,与轨迹相交于点,求的最小值.
解析:
(I)设动点的坐标为,由题意为
化简得当、
所以动点P的轨迹C的方程为
(II)由题意知,直线的斜率存在且不为0,设为,则的方程为.
由,得
设则是上述方程的两个实根,于是
.
因为,所以的斜率为.设则同理可得:
故
当且仅当即时,取最小值16.
.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,M、N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,
过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设
直线PA的斜率为k.
(1)当直线PA平分线段MN时,求k的值;
(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;
(3)对任意k>0,求证:
PA⊥PB.
答案:
(1)由题意知M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),
直线PA平分线段MN时,即直线PA经过M、N的中点,又直线PA经过原点,所以.
(2)直线,由得,,
AC方程:
即:
所以点P到直线AB的距离
(3)法一:
由题意设,
A、C、B三点共线,
又因为点P、B在椭圆上,,两式相减得:
.
法二:
设,
A、C、B三点共线,又因为点A、B在椭圆上,
两式相减得:
法三:
由得
,直线
代入得到,解得,
解析:
本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质,直线的斜率及其方程,点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断.另外还考查了解方程组,共线问题、点在曲线上,字母运算的运算求解能力,考查推理论证能力.
(1)
(2)是容易题;(3)是考察学生灵活运用、数学综合能力是难题.
.(本小题满分13分)
是双曲线:
上一点,,分别是双曲线的左、右顶点,直线,的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于、两点,为坐标原点,为双曲线上一点,满足,求的值.
【解析】
(1)点是双曲线:
上,有
,由题意又有,可得,
则
(2)联立,得,设,
则,设,,即
又为双曲线上一点,即,有
化简得:
又,在双曲线上,所以,
由
(1)式又有
得:
,解出,或
.(本小题满分12分)
已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于()两点,且.
(1)求该抛物线的方程;
(2)为坐标原点,为抛物线上一点,若,求的值.
解析:
(1)直线AB的方程是
所以:
,由抛物线定义得:
,所以p=4,
抛物线方程为:
(2)、由p=4,化简得,从而
从而A:
(1,),B(4,)
设=,又,即8(4),即,解得
20.(本小题满分12分)
如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,
椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1
交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.
(I)设,求与的比值;
(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.
.解:
(I)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设
设直线,分别与C1,C2的方程联立,求得
………………4分
当表示A,B的纵坐标,可知
………………6分
(II)t=0时的l不符合题意.时,BO………………12分
17(20)(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足,,M点的轨迹为曲线C。
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。
(20)解:
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
所以=(-x,-1-y),=(0,-3-y),=(x,-2).
再由题意可知(+)• =0,即(-x,-4-2y)• (x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=x-2.
(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C:
y=x-2上一点,因为y=x,所以的斜率为x
因此直线的方程为,即。
则O点到的距离.又,所以
当=0时取等号,所以O点到距离的最小值为2.
17.(20)(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上.
(I)求圆C的方程;
(II)若圆C与直线交于A,B两点,且求a的值.
(20)解:
(Ⅰ)曲线与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为
(
故可设C的圆心为(3,t),则有解得t=1.
则圆C的半径为所以圆C的方程为
(Ⅱ)设A(),B(),其坐标满足方程组:
消去y,得到方程
由已知可得,判别式
因此,从而①
由于OA⊥OB,可得又所以
②;由①,②得,满足故
.(本小题满分14分)
已知动直线与椭圆C:
交于P、Q两不同点,且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
(Ⅰ)证明和均为定值;
(Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求的最大值;
(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G,使得?
若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由.
【解析】22.(I)解:
(1)当直线的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称,
所以因为在椭圆上,因此①
又因为所以②;由①、②得
此时
(2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为
由题意知m,将其代入,得,
其中即…………(*)
又
所以
因为点O到直线的距离为所以
,又
整理得且符合(*)式,
此时
综上所述,结论成立。
(II)解法一:
(1)当直线的斜率存在时,由(I)知
因此
(2)当直线的斜率存在时,由(I)知
所以
所以,当且仅当时,等号成立.
综合
(1)
(2)得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二:
因为
所以
即当且仅当时等号成立。
因此|OM|·|PQ|的最大值为
(III)椭圆C上不存在三点D,E,G,使得
证明:
假设存在,
由(I)得
因此D,E,G只能在这四点中选取三个不同点,
而这三点的两两连线中必有一条过原点,与矛盾,
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D,E,G.
19.(22)(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若∙,(i)求证:
直线过定点;
(ii)试问点,能否关于轴对称?
若能,求出此时
的外接圆方程;若不能,请说明理由.
(I)解:
设直线,
由题意,
由方程组得,由题意,所以
设,
由韦达定理得所以由于E为线段AB的中点,
因此此时所以OE所在直线方程为
又由题设知D(-3,m),令x=-3,得,即mk=1,所以
当且仅当m=k=1时上式等号成立,此时由得
因此当时,取最小值2。
(II)(i)由(I)知OD所在直线的方程为将其代入椭圆C的方程,并由
解得,又,由距离公式及
得
由因此,直线的方程为所以,直线
(ii)由(i)得,若B,G关于x轴对称,则
代入即,解得(舍去)
或
所以k=1,此时关于x轴对称。
又由(I)得所以
A(0,1)。
由于的外接圆的圆心在x轴上,可设的外接圆的圆心为(d,0),
因此故的外接圆的半径为
,
所以的外接圆方程为
.(本小题满分12分)
如图,设P是圆上的动点,点D是P在轴上投影,
M为PD上一点,且.
(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.
【分析】
(1)动点M通过点P与已知圆相联系,所以把点P的坐标用点M的坐标表示,然后代入已知圆的方程即可;
(2)直线方程和椭圆方程组成方程组,可以求解,也可以利用根与系数关系;结合两点的距离公式计算.
【解】
(1)设点M的坐标是,P的坐标是,
因为点D是P在轴上投影,
M为PD上一点,且,所以,且,
∵P在圆上,∴,整理得,
即C的方程是.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程是,设此直线与C的交点为,,
将直线方程代入C的方程得:
,化简得,∴,,所以线段AB的长度是:
,即所截线段的长度是.
17.(本小题满分12分)
设椭圆:
过点(0,4),离心率为.
(1)求的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被所截线段的中点坐标.
【分析】
(1)由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组,解方程组即可,也可以分步求解;
(2)直线方程和椭圆方程组成方程组,可以求解,也可以利用根与系数关系;然后利用中点坐标公式求解.
【解】
(1)将点(0,4)代入的方程得, ∴b=4,
又得,即, ∴,∴的方程为
(2)过点且斜率为的直线方程为,
设直线与C的交点为A,B,将直线方程代入C的方程,得,即,解得,,
AB的中点坐标,,
即所截线段的中点坐标为.注:
用韦达定理正确求得结果,同样给分.
.(本大题满分18分,第1小题满分4分,第二小题满分6分,第3小题满分8分)
已知平面上的线段及点,任取上一点,线段长度的最小值称为点到线段的距离,记作
(1)求点到线段的距离;
(2)设是长为2的线段,求点的集合所表示的图形面积;
(3)写出到两条线段距离相等的点的集合,其中,是下列三组点中的一组.
对于下列三种情形,只需选做一种,满分分别是①2分,②6分,③8分;若选择了多于一种情形,则按照序号较小的解答计分.
①.
②.
③.
23、解:
⑴设是线段上一点,则
,当时,。
⑵设线段的端点分别为,以直线为轴,的中点为原点建立直角坐标系,
则,点集由如下曲线围成
,
其面积为。
⑶①选择,
②选择。
③选择。
.(本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)
已知椭圆(常数),是曲线上的动点,是曲线上的右顶点,定点的坐标为
(1)若与重合,求曲线的焦点坐标;
(2)若,求的最大值与最小值;
(3)若的最小值为,求实数的取值范围.
22、解:
⑴,椭圆方程为,
∴左、右焦点坐标为。
⑵,椭圆方程为,设,则
∴时;时。
⑶设动点,则
∵当时,取最小值,且,∴且
解得。
.(本小题共l2分)
椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.
(Ⅰ)当时,求直线l的方程;
(Ⅱ)当点P异于A、B两点时,求证:
为定值.
本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识,考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力.
解:
(Ⅰ)因椭圆的焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为
,
由已知得,,所以,则椭圆方程为.
直线l垂直于x轴时与题意不符.
设直线l的方程为,联立得,
设,,则,,,
.
由已知得,解得,
所以直线l的方程为或.
(Ⅱ)直线l垂直于x轴时与题意不符.
设直线l的方程为(且),所以P点的坐标为.
设,,由(Ⅰ)知,,
直线AC的方程为:
,直线BD的方程为:
,
方法一:
联立方程设,解得,
不妨设,则
,
因此Q点的坐标为,又,∴.
故为定值.
方法二:
联立方程消去y得,
因为,所以与异号.
又,
∴与异号,与同号,∴,解得.
因此Q点的坐标为,又,∴.
故为定值.
.(本小题共l2分)
过点C(0,1)的椭圆的离心率为,椭圆与x轴交于两点、,过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.
(I)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;
(Ⅱ)当点P异于点B时,求证:
为定值.
本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识,考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力.
解:
(Ⅰ)由已知得,解得,所以椭圆方程为.
椭圆的右焦点为,此时直线的方程为,代入椭圆方程得
,解得,代入直线的方程得,所以,
故.
(Ⅱ)当直线与轴垂直时与题意不符.
设直线的方程为.代入椭圆方程得.
解得,代入直线的方程得,
所以D点的坐标为.
又直线AC的方程为,又直线BD的方程为,联立得
因此,又.
所以.
故为定值.
.(本小题满分分)已知椭圆的离心率.连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点.已知点的坐标为,点在线段的垂直平分线上,且.求的值.
【解】(Ⅰ)由得,再由得.
因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为,
所以,则,
解方程组得.所以椭圆的方程.
(Ⅱ)解法1.由(Ⅰ)得.设点的坐标为,
由题意直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为。
于是两点的坐标满足方程组
由方程组消去并整理得,
因为是方程的一个根,则由韦达定理有:
,
所以,从而。
设线段的中点为,则的坐标为.
下面分情况讨论:
(1)当时,点的坐标为,线段的垂直平分线为轴.
于是,,由得.
(2)当时,线段的垂直平分线方程为
.
令得,由,,
.整理得..所以
.
综上,或.
解法2.若轴,则,;
若直线的中垂线斜率存在,设,
则直线中垂线方程:
.
令,则,
因为在椭圆上,则,
因此.
.
整理得,解得,(舍).
,所以.
于是.综上,或.
.(本小题满分分)
已知椭圆的离心率.连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点.已知点的坐标为.
(ⅰ)若,求直线的倾斜角;
(ⅱ)点在线段的垂直平分线上,且.求的值.
【解】(Ⅰ)由得,再由得.
因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为,
所以,则,
解方程组得.所以椭圆的方程.
(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)得.设点的坐标为,
由题意直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为。
于是两点的坐标满足方程组由方程组消去并整理得
,因为是方
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