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初升高经典数学教材
初高中数学衔接教材
第一部分,如何做好高、初中数学的衔接
•第一讲如何学好高中数学•
初中生经过中考的奋力拼搏,刚跨入高中,都有十足的信心、旺盛的求知欲,都有把高中课程学好的愿望。
但经过一段时间,他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学,而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩,有些章节如听天书。
在做习题、课外练习时,又是磕磕碰碰、跌跌撞撞,常常感到茫然一片,不知从何下手。
相当部分学生进入数学学习的“困难期”,数学成绩出现严重的滑坡现象。
渐渐地他们认为数学神秘莫测,从而产生畏惧感,动摇了学好数学的信心,甚至失去了学习数学的兴趣。
造成这种现象的原因是多方面的,但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。
下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。
希望同学们认真吸取前人的经验教训,搞好自己的数学学习。
一高中数学与初中数学特点的变化
1数学语言在抽象程度上突变。
不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,觉得离生活很远,似乎很“玄”。
确实,初、高中的数学语言有着显着的区别。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2思维方法向理性层次跃迁。
高中数学思维方法与初中阶段大不相同。
初中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步;因式分解先看什么,再看什么。
即使是思维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。
因此,初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。
高中数学在思维形式上产生了很大的变化,数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。
当然,能力的发展是渐进的,不是一朝一夕的。
这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应,故而导致成绩下降。
高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡,最后还需初步形成辩证型思维。
3知识内容的整体数量剧增。
高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。
例如:
高一《代数》第一章就有基本概念52个,数学符号28个;《立体几何》第一章有基本概念37个,基本公理、定理和推论21个;两者合在一起仅基本概念就达89个之多,并集中在高一第一学期学习,形成了概念密集的学习阶段。
加之高中一年级第一学期只有七十多课时,辅助练习、消化的课时相应地减少了。
使得数学课时吃紧,因而教学进度一般较快,从而增加了教与学的难度。
这样,不可避免地造成学生不适应高中数学学习,而影响成绩的提高。
这就要求:
第一,要做好课后的复习工作,记牢大量的知识。
第二,要理解掌握好新旧知识的内在联系,使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。
第三,因知识教学多以零星积累的方式进行的,当知识信息量过大时,其记忆效果不会很好,因此要学会对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”。
如表格化,使知识结构一目了然;类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题同构于同一知识方法。
第四,要多做总结、归类,建立主体的知识结构网络。
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
1绝对值:
⑴在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值
⑵正数的绝对值是他本身,负数的绝对值是他的相反数,
a(a0)
a0(a0)
a(a0)
⑶两个负数比较大小,绝对值大的反而小
2乘法公式:
⑴平方差公式:
2,2
ab
(a
b)(a
b)
2
⑵立方差公式:
a3b3
(a
b)(a
ab
b2)
⑶立方和公式:
3,3
ab
(a
b)(a2
ab
b2)
⑷完全平方公式:
(ab)2a22abb2,
⑸完全立方公式:
(ab)3a33a2b3ab2b3
3分解因式:
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法:
①提公因式法,②运用公式法,③分组分解法,④十字相乘法。
4一元一次方程:
⑴在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元
一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤:
去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为1。
⑶关于方程axb解的讨论
1当a0时,方程有唯一解xb;
a
2当a0,b0时,方程无解
3当a0,b0时,方程有无数解;此时任一实数都是方程的解。
5二元一次方程组:
(1)两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
(2)适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。
(3)二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。
(4)解二元一次方程组的方法:
①代入消元法,②加减消元法。
6不等式与不等式组
(1)不等式:
1用符不等号(>、工、<)连接的式子叫不等式。
2不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。
3不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。
4不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。
2)不等式的解集:
1能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
2一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集
3求不等式解集的过程叫做解不等式。
(3)一元一次不等式:
左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
(4)一元一次不等式组:
1关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组。
2一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。
3求不等式组解集的过程,叫做解不等式组。
7一元二次方程:
ax2bxc0(a0)
①方程有两个实数根b24ac0
222
XiX2(XiX2)2XiX2,
Xi
X2
x-ix2)24x1x2
厂Vb4ac
②方程有两根同号
x1x2
③方程有两根异号
x1x2
8函数
(1)变量:
因变量,自变量。
在用图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴上的点自变量,用竖直
方向的数轴上的点表示因变量。
(2)—次函数:
①若两个变量y,x间的关系式可以表示成ykxb(b为常数,k不等于0)的形式,则称y是X的一次函数。
②当b=0时,称y是X的正比例函数。
(3)—次函数的图象及性质
1把一个函数的自变量X与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
2正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线
3在一次函数中,当k0,b0,则经2、3、4象限;当k0,b0时,则经1、
2、4象限;当k0,b0时,则经1、3、4象限;当k0,b0时,则经1、2、
3象限。
(4)
二次函数:
顶点是(-
b4acb2
2a'4a
m,顶点是m,k;
②顶点式:
ya(xm)2k(a0),对称轴是x
③交点式:
ya(xxj(xx2)(a0),其中(x-i,0),(冷0)是抛物线与x轴的交占
八、、
(5)二次函数的性质
①函数yax2bxc(a0)的图象关于直线x—对称
2a
②a
0时,在对称轴(x
—)左侧,y
值随x值的增大而减少;
在对称轴(x
b)
2a
2a
右侧;
y的值随x值的增大而增大。
当x
b时,y取得最小值
4acb2
2a
4a
③a
0时,在对称轴(x
i)左侧,y
值随x值的增大而增大;
在对称轴(x
b)
2a
右侧;y的值随x值的增大而减少。
当x—时,y取得最大值兰乞卫
2a4a
9图形的对称
(1)轴对称图形:
①如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重
合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。
(2)中心对称图形:
①在平面内,一个图形绕某个点旋转180度,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做他的对称中心。
②中
心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
10平面直角坐标系
(1)在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴叫做x轴或横轴,铅直的数轴叫做y轴或纵轴,x轴与y轴统称坐标轴,他们的公共原点0称为直角坐标系的原点。
(2)平面直角坐标系内的对称点:
设M(X1,yJ,M(X2,y2)是直角坐标系内的两点,
1若M和M'关于y轴对称,则有为x2。
*y2
2若M和M'关于x轴对称,则有x1x2。
Y1Y2
3若M和M'关于原点对称,则有x1X2。
%Y2
④若M和M'关于直线yx对称,则有Xl72。
YlX2
⑤若M和M咲于直线xa对称,则有*29X2或X229Xlo
YlY2YlY2
11统计与概率:
(1)科学记数法:
一个大于10的数可以表示成A10N的形式,其中A大于等于1小于10,N是正整数。
(2)扇形统计图:
①用圆表示总体,圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分,扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小,这样的统计图叫做扇形统计图。
②扇
形统计图中,每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360
度的比。
(3)各类统计图的优劣:
①条形统计图:
能清楚表示出每个项目的具体数目;②折线统计图:
能清楚反映事物的变化情况;③扇形统计图:
能清楚地表示出各部分在
总体中所占的百分比。
(5)平均数:
对于N个数x1,x2,L,xN,我们把丄(治x2LxN)叫做这个N个数的
N
算术平均数,记为x。
(6)加权平均数:
一组数据里各个数据的重要程度未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权,这就是加权平均数。
(7)中位数与众数:
①N个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。
③优劣比较:
平均数:
所有数据参加运算,能充分利用数据所提供的信息,因此在现实生活中常用,但容易受极端值影响;中位数:
计算简单,受极端值影响少,但不能充分利用所有数据的信息;众数:
各个数据如果重复次数大致相等时,众数往往没有特别的意义。
(8)调查:
①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查,称为普查,其中所要
考察对象的全体称为总体,而组成总体的每一个考察对象称为个体。
②从总体中抽取部分个体进行调查,这种调查称为抽样调查,其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
③抽样调查只考察总体中的一小部分个体,因此他的优点是调查范围小,节省时间,人力,物力和财力,但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。
为了获得较为准确的调查结果,抽样时要主要样本的代表性和广泛性。
(9)频数与频率:
①每个对象出现的次数为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。
②当收集的数据连续取值时,我们通常先将数据适当分组,然后再绘制频数分布直方图。
(10)数据的波动:
①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。
②方差是各
个数据与平均数之差的平方和的平均数。
③标准差就是方差的算术平方根。
④一般来说,一组数据的极差,方差,或标准差越小,这组数据就越稳定。
(11)事件的可能性:
①有些事情我们能确定他一定会发生,这些事情称为必然事件;有些事情我们能肯定他一定不会发生,这些事情称为不可能事件;必然事件和不可能事件都是确定的。
②有很多事情我们无法肯定他会不会发生,这些事情称为不确定事件。
③一般来说,不确定事件发生的可能性是有大小的。
0来表
0,记
(12)概率:
①人们通常用1(或100%来表示必然事件发生的可能性,用示不可能事件发生的可能性。
②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。
③必然事件发生的概率为1,记作P(必然事件)1;不可能事件发生的概率为作P(不可能事件)0;如果A为不确定事件,那么0P(A)1
第一部分:
整式及方程
⑴平方差公式:
2.2
ab
(a
b)(a
b)
33
⑵立方差公式:
ab
(a
b)(a2
ab
b2)
⑶立方和公式:
3.3
ab
(a
b)(a2
ab
b2)
⑷完全平方公式:
(ab)2a22abb2,
杨辉三角
思考(x+1)5=A1xAn+A2^xn-1>
求A1+A2+A3••….=
例1已知abc4,abbcac4,求a2b2c2的值.
⑸完全立方公式:
(ab)3a33a2b3ab2b3
6、12+22+32+…+n2=!
n(n+1)(2n+1)
6
例2:
1+2+3+…+n二血卫,请看下面的计算:
(n+1)3-n3=3n2+3n+1•••n=1时,23-13=3X12+3X1+1
n=2时,33-23=3X22+3X2+1
n=3时,43-33=3X32+3X3+1
n=n时,(n+1)3-n3=3n2+3n+1
把以上的n个等式相加得:
(n+1)3-1=3(12+22+32+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n
所以,3(12+22+32+…+n2)=(n+1)3-(n+1)-3n(n1),即
2
例求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程X2-7x—1=0各根的相反数.
5.关于x的方程x2+4x+m=0的两根为Xi,X2满足|x1-x?
|=2,求实数m的值.
2
4.已知关于x的方程x2(m2)x—0.
4
(1)求证:
无论m取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根;
(2)若这个方程的两个实数根Xi,X2满足|X2|=|刈+2,求m的值及相应的Xi,X2.
5、解方程x3-x2-6x=0
例2x5+x3+x+c=(2x4+ax2+b)(x+1)求c=
例x2-3x+1=0的两根为a,b也为方程x6-px2+q=0的根,期中p、q为整数,则q
为
函数图形:
]一次函数反比例函数的图象与性质
各种图形变换:
★专题六二次函数的最值问题
【要点回顾】
1.二次函数yax2bxc(a0)的最值.
二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a0时,函数在x—处取
2a
得最小值4a4ab,无最大值;当
a0时,函数在x2a处取得最大值4嘗,无
最小值.
2.二次函数最大值或最小值的求法.
第一步确定a的符号,a>0有最小值,av0有最大值;
第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.
3.求二次函数在某一范围内的最值.
女口:
yax2bxc在mxn(其中mn)的最值.
第一步:
先通过配方,求出函数图象的对称轴:
xxo;
第二步:
讨论:
[1]若a0时求最小值或a0时求最大值,需分三种情况讨论:
1对称轴小于m即x0m,即对称轴在mxn的左侧;
2对称轴mx0n,即对称轴在mxn的内部;
3对称轴大于n即X。
n,即对称轴在mxn的右侧。
[2]若a0时求最大值或a0时求最小值,需分两种情况讨论:
2
②对称轴x,m-,即对称轴在mxn的中点的右侧;
2
说明:
求二次函数在某一范围内的最值,要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置,具体情况,参考例4。
【例题选讲】
例1求下列函数的最大值或最小值.
例3当x0时,求函数yx(2x)的取值范围.
例4当txt1时,求函数y丄X2x5的最小值(其中t为常数).
22
分析:
由于x所给的范围随着t的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的
相对位置.
【巩固练习】
时,图象的顶点在x轴上;当m=时,图象过原点.
2.用一长度为I米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为
(1)将二次项系数先化为正数;
(2)观测相应的二次函数图象.
1如果图象与x轴有两个交点(冷0),(X2,0),此时对应的一元二次方程有两个不
相等的实数根捲必(也可由根的判别式0来判断).贝y
2如果图象与x轴只有一个交点(A,0),此时对应的一元二次方程有两个相等
2a
的实数根XxX2—(也可由根的判别式o来判断).贝y:
2a
3如果图象与x轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根
的判别式0来判断).贝y:
(ii)解一元二次不等式的步骤是:
(1)化二次项系数为正;
(2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积,则求出两根X!
X2.那么“0”
型的解为X禺或XX2(俗称两根之外);“0”型的解为X!
XX2(俗称两根之间);
(3)否则,对二次三项式进行配方,变成ax2bxca(x—)2色机,结合
2a4a完全平方式为非负数的性质求解.
2•简单分式不等式的解法
解简单的分式不等式的方法:
对简单分式不等式进行等价转化,转化为整式不等
式,应当注意分母不为零
3.含有字母系数的
次不等式
一元一次不等式最终可以化为axb的形式.
[1]当a0时,不等式的解为:
xb;
a
[2]当a0时,不等式的解为:
xb;
a
[3]当a0时,不等式化为:
Oxb;
①若b0,则不等式的解是全体实数;②若b0,则不等式无解.
【例题选讲】
例3已知对于任意实数x
kx22xk恒为正数,求实数k的取值范围.
例1解下列不等式:
(1)x2x60⑵
例4解下列不等式:
⑴丝卫0
x1
求关于x的不等式m2x22mx
m的解.
【巩固练习】
1.解下列不等式:
(2)x23x180
(1)2x2x0
(3)
(4)x(x9)3(x3)
x2x3x1
2.解下列不等式:
(2)竺J2(3)
2x1
2x2x1
2x1
12
1
1°
x
x
-0
2
3
5
⑵
3.解下列不等式:
(1)x22x2x22
4.解关于x的不等式(m2)x1m.
5•已知关于x的不等式mx2xm0的解是一切实数,求m的取值范围.
6.若不等式一17的解是x3,求k的值.
kk
7.a取何值时,代数式(a1)22(a2)2的值不小于0?
1已知函数y|82xx2和ykxk(k为常数)则不论k为何值,这两个函数的图像
()
A.只有一个交点B.只有二个交点C.只有三个交点D.只有四个交点
2、x3-2x2-3x-5=0有几个根
12+22+32+…+n2二1n(n+1)(2n+1)
6
类比上述方法,求13+23+33…+n3o
7、求x4+x1得值
例3等推x4-x1的值
例4、,945;
总思路:
几次方就几个根
二次方程
例方程2x2+2x—1=0的两根为X1和X2,则|x1—X2|
3.设a0,当1x1时,函数yx*12axb1的最小值是4,最大值是0,求a,b的值.
4.已知函数yx22ax1在1x2上的最大值为4,求a的值.
5.求关于x的二次函数yx22tx1在1x1上的最大值(t为常数).
★专题七不等式
【要点回顾】
1.一元二次不等式及其解法
[1]定义:
形女口为关于x的
一元二次不等式.
[2]一元二次不等式ax2bxc0(或0)与二次函数yax2bxc(a0)及一元二次方程ax2bxc0的关系(简称:
三个二次).
(i)一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下:
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