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Maple课程论文
Maple软件及应用课程论文
【摘要】发现问题、分析问题、解决问题是人们迈向科学殿堂的途径,在这个过程中,数学作为工具科学起到了不可代替的重要作用。
数学软件为计算机解决现代科学技术各领域中所提出的数学问题提供了求解手段,Matlab、Mathematica、Maple是现今世界数学软件的三巨头。
与Matlab、Mathematica相比,Maple在代数计算方面很强大,并且是式子直接以数学的形式来输入和输出结果,方便易学。
本文主要从组织结构、版本史、基本功能、计算命令等方面简单介绍Maple软件,并且提供实例来具体体现Maple软件的特色。
【关键词】Maple;代数计算;实例展示;软件应用
1、初识计算机代数系统Maple
1.1Maple简说
1980年9月,加拿大Waterloo大学的符号计算机研究小组成立,开始了符号计算在计算机上实现的研究项目,数学软件Maple是这个项目的产品。
1988年,Waterloo大学成立了自己的公司并直接销售Maple,随着时间的推进,Maple的版本不断升级,功能不断强大。
目前,其最新版本为Maple2015。
Maple是一个具有强大符号运算能力、数值计算能力、图形处理能力的交互式计算机代数系统(Computer Algebra System)。
它可以借助键盘和显示器代替原来的笔和纸进行各种科学计算、数学推理、猜想的证明以及智能化文字处理。
Maple这个超强数学工具不仅适合数学家、物理学家、工程师,还适合化学家、生物学家和社会学家,总之,它适合于所有需要科学计算的人。
1.2Maple结构
Maple软件主要由三个部分组成:
用户界面(Iris)、代数运算器(Kernel)、外部函数库(External library)。
用户界面和代数运算器是用C语言写成的, 只占整个软件的一小部分,当系统启动时, 即被装入,主要负责输入命令和算式的初步处理、显示结果、函数图象的显示等。
代数运算器负责输入的编译、基本的代数运算(如有理数运算、初等代数运算等)以及内存的管理。
Maple的大部分数学函数和过程是用Maple自身的语言写成的,存于外部函数库中。
当一个函数被调用时,在多数情况下,Maple会自动将该函数的过程调入内存,一些不常用的函数才需要用户自己调入,如线性代数包、统计包, 这使得Maple在资源的利用上具有很大的优势,只有最有用的东西才留驻内存,这保证了Maple可以在较小内存的计算机上正常运行。
用户可以查看Maple的非内存函数的源程序,也可以将自己编的函数、过程加到Maple的程序库中,或建立自己的函数库。
1.3Maple输入输出方式
为了满足不同用户的需要,Maple可以更换输入输出格式:
从工具-选项-显示可以选择所需的输入输出格式。
Maple语言是一种结构良好、方便实用的内建高级语言,它的语法和Pascal或C有一定程度的相似,但有很大差别。
它支持多种数据操作命令,如函数、序列、集合、列表、数组、表,还包含许多数据操作命令,如类型检验、选择、组合等。
标准数学记法就是我们常用的数学语言。
启动Maple, 会出现新建文档中的“[>”提示符,这是Maple中可执行块的标志,在“>”后即可输入命令,结束用“;”(显示输出结果)或者“:
”(不显示输出结果)。
但是,值得注意的是, 并不是说Maple的每一行只能执行一句命令, 而是在一个完整的可执行块中健入回车之后,Maple会执行当前执行块中所有命令(可以是若干条命令或者是一段程序)。
如果要输入的命令很长,不能在一行输完,可以换行输入,此时换行命令用“shift+Enter”组合键,而在最后一行加入结束标志“;”或“:
”,也可在非末行尾加符号“\”完成。
1.4Maple联机功能
学会寻求联机帮助是掌握一个软件的钥匙。
Maple有一个非常好的联机帮助系统,它包含90%以上的命令的使用要求。
要了解Maple的功能可用菜单帮助“Help”,它给出Maple内容的浏览表,这是一种树结构的目录表,点击这样的词条后子目录就会出现(也可以用Tab键和up,down选定)。
可以从底栏中看到函数命令全称,例如,我们选graphics, 出现该条的子目录,从中选2D, 再选plot就可得到作函数图象的命令plot的完整帮助信息。
一般帮助信息都有实例,我们可以将实例中的命令部分拷贝到作业面进行计算、演示,由此可了解该命令的作用。
在使用过程中,如果对一个命令把握不准,可用键盘命令对某个命令进行查询。
例如,在命令区输入命令“?
plot”(或help(plot);),然后回车将给出plot命令的帮助信息,或者将鼠标放在选定的要查询的命令的任何位置再点击菜单中的“Help”即可。
2、Maple的基本功能
2.1数值计算
对于普通的数,Maple总是进行精确的计算,这种规则对于有理数和无理数是相同的。
因此对于无理数Maple按照有关的数学规则进行计算,只有当用户需要计算浮点数近似值时,Maple才按照用户要求的精度计算。
从以上例子可以看出,Maple可以对数进行精确的运算,对复数则按照复数的规则进行计算。
除此之外,Maple还能比较数与数之间的大小。
值得注意的是,在输入命令时,切勿忘记运算符号,要严格地按照数学形式输入命令。
特殊的有:
平方根运算符用sqrt()表示,自然对数的底e用exp
(1)表示等等。
数值计算结果可按要求的精度输出。
2.2多项式
符号计算系统的最基本功能是处理符号表达式,多项式则是最基本的符号表达式,Maple可以用各种方式处理多项式、三角表达式、指数与对数等许多数学表达式。
factor为分解因式命令,expand为展开表达式命令,simplify为化简表达式命令。
2.3极限和连续
Maple中的求极限命令limit可以求出极限,也可以用Maple命令画出在不同步长的情况下多个区间上的函数图像,观察函数取值随自变量的变化趋势,直观理解函数趋于某个数的极限值。
下面给出具体例子。
已经知道函数在某点的左极限、右极限和函数值,进一步可以判断函数在该点的连续性,若不连续,则可以判断该点是哪一类型的间断点。
2.4微分与积分
用Maple来求微分是相当容易的,使用diff命令(或极限定义)可求出表达式的导数,包括高阶导数,用implicitdiff命令可求出表达式的偏导数。
例子如下:
导数的应用体现在:
1.求函数在某点的切线方程和法线方程2.求函数极值点、拐点、单调区间和凹凸区间确定函数性质3.解决实际生产问题
在Maple中,用int命令可以求数学表达式的定积分和不定积分,还可以判断广义积分的敛散性。
用定积分求解平面图形的面积、曲线的弧长、旋转体的体积、旋转曲面的面积、曲线的曲率等。
下面展示计算y=x^3,y=2*x-x^2所围成的图形面积。
例:
求抛物线y=x^2/4(x>0)与直线y=1,x=0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转一周形成的旋转体体积。
2.5微分方程
对于不太复杂的常微分方程,Maple可以求出它的符号解。
如果你没有给初始条件,或者给的初始条件或边界条件不全,在解的公式中会带有积分常量。
2.6级数展开
Maple可以对数项级数进行求和、乘积计算,还可以判断级数的敛散性。
在解决复杂函数问题时,往往需要用一个多项式近似代替该函数,用series命令可进行级数展开。
2.7空间解析几何
空间解析几何是在三维坐标系中,用代数方法研究空间曲面和曲线性质的一个数学分支,主要包括线性空间中向量的线性运算,向量内积、外积和混合积,并讨论直线、平面和各类二次曲面。
例1:
空间向量运算
例2:
空间螺旋线
例3:
求两球面x^2+y^2+z^2=1和x^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1的交线在xoy平面上投影曲线的方程。
答案:
所求投影曲线方程为x^2+2*y^2-2*y=0,z=0.
2.8矩阵与行列式
Maple有许多命令可以处理矩阵和向量,需要调用线性代数软件包linalg。
用Maple可以计算行列式、矩阵的幂次、矩阵的秩、矩阵的加法与乘法,还可以求逆矩阵,计算数量与矩阵的乘法,判断向量组的线性相关性等等。
例1:
矩阵的计算
例2:
计算行列式
2.9解方程
用Maple来解简单的方程是毫无问题的,即使是很复杂的方程,例如,线性方程组,Maple也可以用数值计算的方法来处理。
除此之外,在线性代数方面,Maple还能将二次型转换为标准型并判断二次型的正定性。
例1:
解简单方程
例2:
例3:
2.10数据拟合与回归分析
在对工程实践和科学实验的数据处理中,人们除了使用插值的方法揭示数据间的关系以外,使用数据拟合以及回归也能很好的描述数据之间的对应关系。
数据插值是在纯粹的自变量与因变量之间的数量关系上作分析;数据拟合考虑如何选择函数整体逼近所给的数据点列;数据的回归分析考虑随机误差对原始数据的影响,探讨如何选用函数能反映数据之间的关系,又能使整体的误差最小。
在实际中常用最小二乘拟合法,下面举个在Maple中用最小二乘法画拟合曲线的例子。
题目如下:
Maple命令如下:
2.11Maple画图
Maple所提供的二维绘图指令plot可以绘制二维的函数图、参数图、极坐标图、等高线图、不等式图等等。
在画图时直接调用函数命令即可,有些则需要使用with(plots)调用plots函数库才能完成。
三维空间的绘图比二维空间更有变化性和趣味性,其命令函数为plot3d,直接调用命令即可。
Maple具有动画功能,存于plots库中的动画函数分别为animate和animate3d。
要创建一个动画,必须在所需做动画的函数中加入附加参数(时间参数)并简单地告诉animate或animate3d函数需要多少次以及在那个时间内计算曲面,动画函数就可以足够快地播放图形的时间序列,以创建运动的现象。
其命令格式分别如下:
animate (F, x, t); animate3d (F,x,y,t); 其中,F—要绘图的函数,x, y—横轴、纵轴的变化范围,t—结构参数的变化范围。
例1、蝴蝶曲线:
极坐标方程为r=e^cos(θ)-2*cos(4θ)+sin(θ/12)^5.
例2、三维绘图
例3、动画图
2.12Maple编程
Maple不仅可以对数学表达式进行计算,还可以编程。
他的编程语言和其它的结构化编程语言很相似。
Maple以proc开始过程,以endproc结束过程。
3、总结
每一款数学软件都有其存在的价值。
Maple具有强大的实用性,其功能覆盖了代数、几何、微积分、矩阵、数论、组合数学、统计、运筹、集合论及图形等,操作简便,程序设计命令规范,输出结果内容丰富且格式多样。
这些特点使其成为一个功能强大且容易掌握的计算机代数软件。
从Maple诞生以来,它就在不断地发展与完善,功能越来越强大,使用者的数目随之增加。
两天学习Maple软件及其应用的时间让我初步了解该软件的基本使用方法,见识到其强大功能下的冰山一角,我想,熟悉Maple软件会为日后学习数学提供极大的帮助。
参考文献:
[1]何青,王丽芬.Maple教程[EB/OL].
[2]Maple在工科数学分析教学中的应用[EB/OL].
[3]周甄川,吕同斌.Maple的图形功能在高等数学教学中的应用[J].黄山学院学报,2010,12(3).
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