数海探奇精.docx
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数海探奇精.docx
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数海探奇精
数海探奇
数字海洋是一个绚丽多彩的万花筒。
它浩瀚无垠,深不知底,广不见岸。
其中蕴藏着无穷奥秘。
在这个海洋里,几千年来,人类一直在不停地探索、研究,虽然已经揭开它的部分面纱,但是背后隐藏的奥妙,还深邃莫测。
当数字中蕴含的某些奇妙特性被揭示出来,当运算中发现了某种奇异现象,惊诧赞叹之感便油然而生。
那些规律性的运算现象,那些象形性的数字排列,更激发了人们研究探索的热情。
人们已经发现各种各样非常奇特的数:
音乐数、奇异数、魔术数……还发现运算中出现的数字山、数字塔、数字黑洞、数字旋涡……
走进数海便如同进入魔宫,那五彩缤纷绚丽多姿的数字奇景,令人目不暇接,留连忘返。
数字奇观,是人类在数海遨游中发现的奇特风景,它仅仅是数学海洋这个奇妙世界的一小部分。
毫无疑问那些隐藏在数海深处的秘密,还有待于后来者进一步地探索、发现。
然而,仅这些已发现的数字奇景,也足以令人惊诧叫绝。
1.对称数
文学作品有“回文诗”,如“山连海来海连山”,不论你顺读,还是倒过来读,它都完全一样。
有趣的是,数学王国中,也有类似于“回文”的对称数!
先看下面的算式:
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
……
由此推论下去,12345678987654321这个十七位数,是由哪两数相乘得到的,也便不言而喻了!
瞧,这些数的排列多么像一列士兵,由低到高,再由高到低,整齐有序。
还有一些数,如:
9461649,虽高低交错,却也左右对称。
假如以中间的一个数为对称轴,数字的排列方式,简直就是个对称图形了!
因此,这类数被称作“对称数”。
对称数排列有序,整齐美观,形象动人。
那么,怎样能够得到对称数呢?
经研究,除了上述11、111、1111……自乘的积是对称数外,把某些自然数与它的逆序数相加,得出的和再与和的逆序数相加,连续进行下去,也可得到对称数。
如:
475
15851便是对称数。
再如:
7234
对称数也出现了:
1136311。
对称数还有一些独特的性质:
1.任意一个数位是偶数的对称数,都能被11整除。
如:
77÷11=71001÷511=91
5445÷11=495310013÷11=28183
2.两个由相同数字组成的对称数,它们的差必定是81的倍数。
如:
9779-7997=1782=81×22
43234-34243=8991=81×111
63136-36163=26973=81×333
……
2.完全数
一个数恰好与它自身全部因数的和相等,这种数叫做“完全数”。
如:
6=1×2×3=1+2+3
6的全部因数是1、2、3,这些因数相加所得的数,恰好也等于6。
6,便是完全数。
自然数无穷无尽,在整个自然数中,完全数也仅仅似沧海一粟。
这样,如何寻找完全数便成了数学家的研究课题。
大数学家欧几里德,曾得出一个科学的论断:
如果2p-1是质数,那么(2p-1)·2p-1
便是一个完全数。
按照这个公式,我们先对6进行验证:
当p=2时:
2p-1=22-1=3,3是质数,则:
(2p-1)·2p-1=(22-1)·22-1=6
符合公式要求,所以6是完全数。
假如p=3呢?
代入式子:
(2p-1)·2p-1=(23-1)×23-1=28
28也是完全数。
不过,你不要以为完全数是很容易发现的。
经过许多数学家的辛勤努力,至今才仅仅找到30个完全数,而且都是偶数。
奇数中难道没有完全数吗?
许多人作了耐心的探索。
有人把长达36位以内的自然数全部验证了一遍,仍没有发现一个奇数完全数!
但是,能不能就此断定奇完全数根本不存在呢?
谁也不敢说。
验证的数,虽然很多,但是在自然数的茫茫大海中,仍仅仅是“一粟”而已!
完全数仍然是没有解开的谜!
3.音乐数
弹三弦或拉二胡总是要手指在琴弦上有规律地上下移动,才能发出美妙的声音来。
假如手指胡乱地移动,便弹不成曲调了。
那么,手指在琴弦上移动对发声有什么作用呢?
原来声音是否悦耳动听,与琴弦的长短有关。
长度不同,发出的声音也不同。
手指的上下移动,不断地改变琴弦的长度,发出的声音便高低起伏,抑扬顿挫。
如果是三根弦同时发音,只有当它们的长度比是3∶4∶6时,发出的声音才最和谐,最优美。
后来,人们便把奇妙的数3、4、6叫做“音乐数”。
所以,古时候人们把音乐也作为数学课程的一部分进行教学。
音乐数3、4、6,是古希腊的大数学家毕达哥拉斯发现的。
相传,毕达哥拉斯一次路过一家铁匠铺,一阵阵铿铿锵锵的打铁声吸引了他。
那声音高高低低,富有节奏。
他不禁止步不前,细心观察,原来那声音的高低变化是随着铁锤的大小和敲击的轻重而变化的。
受此启发,回家后他进行很多次试验,寻找使琴弦发声协调动听的办法。
最后终于发现:
乐器三弦发音的协调、和谐与否,与三弦的长度有关,而长度比为3∶4∶6为最佳。
从此,人们便把3、4、6称作音乐数。
4.相亲数
人们常用“你中有我,我中有你”来表达两个人的亲密关系。
令人惊奇的是:
在无声无息的数字群体中,竟然也有这样关系密切的“相亲数”!
220与284就是这种“你中有我,我中有你”的相亲数,它们的特点是:
彼此的全部约数和(本身除外)都与另一方相等。
把220的全部约数(除掉本身)相加是:
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
同样,把284的全部约数(除掉284本身)相加的和是:
1+2+4+71+142=220
相亲数,使古今中外的数学爱好者产生了极大的兴趣。
大数学家弗尔马、笛卡尔和欧拉等人也都进行过研究。
特别是欧拉,他在1750年一口气向公众宣布了60对相亲数,这使人们大开眼界!
此后,关于相亲数的话题,冷了一百多年。
人们普遍认为:
相亲数研究的“顶峰”,已经被大数学家欧拉占领了,其他人不会再有新的突破了!
可是,令人惊奇的是:
一个年仅16岁的意大利青年巴格尼尼却惊世骇俗地宣称:
1184与1210是仅仅比220与284稍大的第二对相亲数!
原来,尽管欧拉算出了长达几十位、天文数字般的相亲数60对,却偏偏遗漏了近在身边的第二对。
当时已是1866年,大数学家欧拉早已长眠于地下了!
5.喀氏数
喀氏,指的是印度数学家喀普利卡。
一天,喀普利卡从铁道经过,一个偶然的现象,引起了他的思考:
一块里程指示牌被龙卷风拦腰折断。
那上面写着的3025公里,四位数字被一分为二:
3025。
见此景象,喀普利卡心里一亮:
“这个数好奇怪呀!
30+25=55,而552=3025,原数不是又再次重现了吗?
”
此后,他便研究、搜寻这类数字,竟然发现了一大批具备这种特点的数。
如:
2025
20+25=45452=2025
9801
98+1=99992=9801
人们把这种怪数命名为“喀普利卡数”,简称“喀氏数”,也有称为“分和累乘再现数”。
喀氏数不仅存在于四位数,其他位数的数也有。
如美国数学家亨特,发现了一个八位数的喀氏数:
60481729
6048+1729=7777 77772=60481729
瞧,把它拦腰切断,再揉合一起,最后只要翻个身(自乘),便又完好无损地站到我们面前了。
这简直如“分尸再续”的魔术一般,令人惊奇、赞叹!
6.圣经数
153被称作“圣经数”。
这个美妙的名称出自圣经《新约全书》约翰福音第21章。
其中写道:
耶稣对他们说:
“把刚才打的鱼拿几条来。
”西门·彼得就去把网拉到岸上。
那网网满了大鱼,共一百五十三条;鱼虽这样多,网却没有破。
奇妙的是,153具有一些有趣的性质。
153是1~17连续自然数的和,即:
1+2+3+……+17=153
任写一个3的倍数的数,把各位数字的立方相加,得出和,再把和的各位数字立方后相加,如此反复进行,最后则必然出现圣经数。
例如:
24是3的倍数,按照上述规则,进行变换的过程是:
24→23+43→72→73+23→351→33+53+13→153
圣经数出现了!
再如:
123是3的倍数,变换过程是:
123→13+23+33→36→33+63→243→23+43+33→99→93+93→1458→13+43+53+83→702→73+23→351→33+53+13→153
圣经数这一奇妙的性质是以色列人科恩发现的。
英国学者奥皮亚奈,对此并作了证明。
《美国数学月刊》对有关问题还进行了深入的探讨。
7.自守数
任何两个整数相乘,只要它们的末位都是5或6,那么,乘积的末位数字也必然是5或6。
5或6就像一条甩不掉的“尾巴”,始终与它们形影相随!
人们称这样的数为“自守数”。
例如:
5×5=25
6×6=36
25×25=625
76×76=5776
625×625=390625
376×376=141376
从上式可见:
两位的自守数是25和76,它们分别是一位的自守数5和6的“伸长”。
三位的自守数也正好是一对:
625和376。
它们又分别是两位的自守数25和76的“伸长”。
自守数从5和6出发。
可以无限伸长,它的位数不受限制。
十位的两个自守数是:
8212890625和1787109376
有人已经用计算机算出了长达五百位的自守数,并且已经找到了求自守数的方法了。
有趣的是,自守数的伸长,还存在一种普遍的规律,即:
5+6=10+1
25+76=100+1
625+376=1000+1
……
数中奥秘真是无穷无尽!
8.自我生成数
一个数,将它各位上的数,按照一定规则经过数次转换后,最后落在一个数上,再作转换,便不再产生新数了,任你按规则反复演变它仍是“自己”,我们把这个数称作“自我生成数”。
如:
任写一个数字不相同的三位数(数字相同的111、222、333、……999除外),将组成这个数的三个数字重新组合,使它成为由这三个数组成的最大数和最小数,而后求出这新组成的两个数的差,再对求得的差重复上述过程,最后必然生成“495”。
以213为例,按上述规则,转换过程是:
321-123=198
981-189=792
972-279=693
963-369=594
954-459=495
↓
954-459=495
对于四位数也按上述操作规则会怎样呢?
以7642为例,转换过程应是:
7642-2467=5175
7551-1557=5994
9954-4599=5355
5553-3555=1998
9981-1899=8082
8820-0288=8532
8532-2358=6174
↓
7641-1467=6174
四位数的自我生成数是6174。
9.勾股弦数
三个自然数,如果其中两个自然数的平方和,恰等于第三个数的平方,这样的三个数叫做“勾股弦数”。
如:
32+42=52
52+122=132
72+242=252
上面的每组三个数,都是勾股弦数。
勾、股、弦本是直角三角形三个边的名称。
较短的直角边称“勾”,较长的直角边称“股”,斜边称“弦”。
我国古代有“周三径一,方五斜七”的说法,意思是:
周长为3的圆,直径约是1;边长为5的正方形,它的对角线约为7。
尽管这是不精确的,却是我国劳动人民的一大发现。
“方五斜七”,已经表明了直角边与斜边间的关系了!
在自然数群体中,能组成勾股弦数的,很多,很多。
下列各组数都是勾股弦数:
8、15、17;20、21、29;
9、40、41;20、99、101;
11、60、61;……
总之,当m是奇数时,那么能构成勾股弦的另两个数,便分别:
是
如,m=13,另两个数分别是:
即:
132+842=852
10.魔术数
有一些数字,只要把它接写在任一个自然数的末尾,那么,原数就如同着了魔似的,它连同接写的数所组成的新数,就必定能够被这个接写的数整除。
因而,把接写上去的数称为“魔术数”。
我们已经知道,一位数中的1,2,5,是魔术数。
1是魔术数是一目了然的,因为任何数除以1仍得任何数。
用2试试:
12、22、32、……、112、172、……7132、9012……这些数,都能被2整除,因为它们都被2粘上了!
用5试试:
15、25、35、……115、135、……3015、7175……同样,任何一个数,只要末尾粘上了5,它就必须能被5整除。
有趣的是:
一位的魔术数1,2,5,恰是10的约数中所有的一位数。
两位的魔术数有10、20、25、50,恰是100(102)的约数中所有的两位数。
三位的魔术数,恰是1000(103)的约数中所有的三位数,即:
100、125、200、250、500。
四位的魔术数,恰是10000(104)的约数中所有的四位数,即1000、1250、2000、2500、5000。
那么n位魔术数应是哪些呢?
由上面各题可推知,应是10n的约数中所有的n位约数。
四位、五位直至n位魔术数,它们都只有五个。
11.奇异数
有些自然数,将它的平方数截成两个相同位数的自然数(如果平方数是奇数位,就在数首补0,凑成偶数位后,再截),截成的两个数和,仍等于原来的数。
如:
92=81 8+1=9
452=2025 20+25=45
2972=88209 088+209=297
50502=25502500 2550+2500=5050
……
这种奇妙现象,激起了人们的浓厚兴趣,人们把具有这种特性的奇异数,从茫茫数海中一个个挑了出来。
一位的奇异数是:
1,9
两位的奇异数是:
45,55,99
三位的奇异数是:
297,703,999
四位的奇异数是:
4950,5050,2728,7272,2223,7777,9999
五位的奇异数是:
22222,77778,99999
六位的奇异数是:
499500,500500,999999
……
奇怪的是,如果把99、999、9999……这些由同一个数字9组成的奇异数除外,在各个数位段中出现的奇异数,都是偶数个,并且每一对奇异数的和都是10的n次方。
如:
1与9 1+9=101
45与55 45+55=102
297与703 297+703=103
2728与7272 2728+7272=104
2223与7777 2223+7777=105
499500与500500 499500+500500=106
……
所以,如果自然数A是n位的奇异数,那么,10n-A也是n位数的奇异数。
如:
已知297是三位数的奇异数,按照上述公式:
A=297 n=3
10n-A=103-297
=1000-297=703
703也必定是三位数中的奇异数。
12.地球数
地球围绕太阳旋转一周,便是一年。
一年是365天(平年),因此,我们把365称为地球数。
在自然数中,10、11、12三个数的平方和,恰是365!
102+112+122=100+121+144=365
有趣的是,13与14的平方和,也是365。
132+142=169+196=365
因此,人们把下列算式称作地球数算式:
这种算式使人们倍感兴趣:
102+112+122=132+142
瞧,组成算式的五个数,恰是10~14五个连续的自然数;等式左端三个数,右端两个数。
这使人们想到勾股弦数:
32+42=52
这个式子是左两项、右一项。
3、4、5也是连续数。
要是左四项、右三项呢?
这几个连续数也被找到了:
212+222+232+242=252+262+272
项数更多一些呢?
362+372+382+392+402=412+422+432+442
原来,这些等式可以无止境地写下去。
等式的右端是m项,则左端是(m+1)项。
一连串自然数最中心的一个数,应该是2m(m+1)。
找到了中心数,如上述各式中的4,12,24,40,其他各数便可依次写出了。
13.逆序数
将组成一个数的数字,按原顺序逆转排列所组成的新数,叫做原数的逆序数。
如376的逆序数是673。
一位数不存在逆序数。
两位以上的数,都有逆序数。
逆序数也有一些有趣的特性:
一个数与它的逆序数的和除以它各位上的数字和,所得的商在同一个数位段是一定的。
如,
在两位数中:
(85+58)÷(8+5)=143÷13=11
(45+54)÷(4+5)=99÷9=11
(93+39)÷(9+3)=132÷12=11
……
瞧,商总是11。
在三位数中,如:
(567+765)÷(5+6+7)=1332÷18=74
(432+234)÷(4+3+2)=666÷9=74
(987+789)÷(9+8+7)=1776÷24=74
……
但这局限于三位数,而且必须为连续自然数。
14.角谷猜想
角谷静夫是日本的一位著名学者。
他提出了两条极简单的规则,可以对任何一个自然数进行变换,最终使它陷入“4-2-1”的死循环。
角谷提出的变换法则是:
1.当N是奇数时,下一步变为3N+1;
2.当N是偶数时,下一步变为N/2。
人们把它称为“角谷猜想”。
任举几个例子试试看:
当N是一位数6时,按规则应变为:
6→6÷2→3→3×3+1→10→10÷2→5→5×3+1→16→16÷2→8→8÷2→4→4÷2→2→2÷2→1→1×3+1→4→4÷2→2→2÷2→1→……
最后落入“4-2-1”的死循环。
当N为两位数,如46,应变换为:
46→46÷2→23→23×3+1→70→70÷2→35→35×3+1→106→106÷2→53→53×3+1→160→160÷2→80→8O÷2→40→40÷2→20→20÷2→10→10÷2→5→5×3+1→16→16÷2→8→8÷2→4→4÷2→2→2÷2→1→……
又落入了“4-2-1”的死循环。
不必列举更多的例子,迄今为止,人们还没有遇到例外情况,试验过的数,最终都停留在一个永无休止的循环圈:
但是,自然数浩如烟海,对角谷猜想,目前谁也不能证明,更不能否定。
15.7来8往
任取一个大于5的自然数,先把它分解质因数,再将全部质因数相加,最后,将所得和再加1,得出新数。
对新数重复上述过程,继续转换下去,奇迹便出现了!
取9,按上述规则,转换过程是:
9=3×3 (3+3)+1=7
7=7 7+1=8
8=2×2×2 (2+2+2)+1=7
7=7 7+1=8
结果成为7
8,反复往来。
取46:
46=2×23 (2+23)+1=26
26=2×13 (2+13)+1=16
16=2×2×2×2 (2+2+2+2)+1=9
9=3×3 (3+3)+1=7
7=7 7+1=8
结果仍是“7来8往”,循环不已!
三位数如何?
如:
216。
216=2×2×2×3×3×3 (2+2+2+3+3+3)+1=16
16=2×2×2×2 (2+2+2+2)+1=9
9=3×3 (3+3)+1=7
7=7 7+1=8
同样,最终落入“7-8”陷阱!
有人对2520也作上述处理,这个数是考古学家从埃及的一座金字塔墓碑上发现的象形文字。
结果也是“8-7”循环。
自然数中这个奇异现象,是美国数学家罗伯兹发现的。
16.数字黑洞
人们都知道太平洋中的百慕大三角是一个巨大的陷阱,飞机、禽鸟、帆船、军舰……只要踏落进去,便永不返回。
令人惊奇的是:
在自然数王国里,竟然也存在与此相似的“陷阱”,数字一旦堕人,便只能在谷底苦苦挣扎,永远也逃脱不出。
你可以任写一个三位数,然后进行如下操作:
将三个数字的和乘以2,得数作为重组三位数的百位数和十位数;将原数的十位数字与个位数字的和(若得两位数,再将数字相加得出和),作为新三位数的个位数。
此后,再对重组的三位数重复这一过程,你将看到,必有一数堕落陷阱。
如,任写一个数843,按要求,其转换过程是:
(8+4+3)×2=30……作新三位的百位、十位数。
4+3=7……作新三位数的个位数。
组成新三位数307,重复上述过程,继续下去是:
307→207→187→326→228→241→145→209→229→262→208→208→……
结果,208落入“陷阱”。
再如:
411,按要求,其转换过程是:
411→122→104→104→……
结果,104落入了陷阱。
假如将三位数按照下面的规则运算下去,同样会出现数字“陷阱”。
1.若是3的倍数,便将该数除以3。
2.若不是3的倍数,便将各数位的数加起来再平方。
如:
126
结果进入“169-256”的死循环,再也跳不出去了!
再如:
368
结果,1进入了“黑洞”。
另有一种方法,可以把任何一个多位数,迅速地推入“陷阱”。
操作方法是:
第一步:
数出多位数含有偶数(包括0)的个数,并以它作新数的百位数;
第二步:
数出多位数含有奇数的个数,并以它作新数的十位数。
第三步:
将位数所含数字作新数的个位数。
组成新数后,对新数重复上述过程。
如:
7432581
接下去便总是:
123→123→……
最后,落入123“陷阱”。
17.数字回家
落入陷阱的数,只能在原地打转,去而不返。
可是,当我们变换方式,也可以叫一些已经走出去的数,再循着原路返回去,它好像一个外出旅行的人,跑了许多路,最后还是回家了。
操作方法是:
将原三位数的百位数、十位数、个位数分别扩大2倍的积,作为新三位数的百位、十位和个位数。
如果某位上的数2倍后是两位数,就将其数字相加的和,作为所在位上的数。
以后,对每次新组成的三位数,都重复上述过程。
这样,你将看到原来的三位数又出现在面前。
如:
546
5×2=101+0=1(作新三位数的百位数)
4×2=8(作新三位数的十位数)
6×2=12 1+2=3(作新三位数的个位数)
组成新数:
183,继续上述过程,即:
结果,又回到了原来的546!
再如:
327,按同样方法得:
可见,至多六步便回到了原来的地方。
18.数字波涛
自然数从1开始,延伸扩展,漫无边际,恰如大海,表面平静如常,实质奥秘无穷!
当我们深入其中,进行一番运作,它便顿起波澜。
数字海洋竟然也有滚滚浪花、幽幽黑洞。
我们先来观察数字波涛吧!
任取一数,先求出它的数字平方和,再求和的数字平方和,反复进行下去,一种怪异的景象便出现了!
1.取47
舍去中间环节,各个数字或大或小,最后又落到“37”上循环往复,恰如大海波涛,起伏翻滚,永无休止。
2.取412
舍去中间的计算环节,412后依次出现的数字是21-5-25-29-85-89-145-42-20-4-16-3
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