矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案.docx
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矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案
习題1解答
1.写出下列曲线的矢長方程,并说明它们規何种曲线。
(1)x=“cos/,y=bsinf
(2)x=3sln/,j=4sinf,z=3cos/
解:
(l)F=“cos〃+"siii{/,其图形是xOy平面上之椭圆。
(2)r=3sinri+4sin//+3coszAr,其图形是平面4x-3j=0与圆柱面x2+z2=32之交线,为一椭圆。
2.设有定圆O与动圆C,半径均为a,动圆在定圆外相切而滚动,求动圆上一定点A/所描曲线的矢■方程。
解:
设M点的矢径为OM^r^xi+yj,厶OC=8,页7与兀轴的夹角为
28—希;因OM=OC+CM^
r=xi+yj=2«cos^+2«sin^+acos(2&—7r)j+asin(2^—/r)j
则x=2acos0-acos28,y=2asin&-asin2&・
故r=(加cos&-acos2&”+(2«sin&-asin2&)
4.求曲线x=r,j=/2,z=|z3的一个切向单位矢。
22,解:
曲线的矢長方程为f=ti+tj+~(k
则其切向矢長为^=i+2tj+2t2k
模为I—-1=J1+4/2+4严=1+2/2'dt
drdri+2(/+2t2k于是切向单位矢長为示/I莎'=i+2八—
6・求曲线x=asint,y=asln2t,z=acost,在心二处的一个切向矢1L
4
解:
曲线矢星方程为r=asin2+«sin2(/^acostk
dr
切向矢星为T=~^
=as\n2ti+2acos2tj-asintk
7•求曲线x=t2+l,y=4t-3.z=2t2-6t在对应于f=2的点M处的切线方程和法平面方程。
dr
在t=2的点M处,切向矢^T=—
dt
4+4j+(4t-6)k]^2=4i+4j+2k
于是切线方程为耳=罕=斗,即耳=
4422
y-5z+4~2S~
解:
由题意得M(5,5,-4),曲线矢長方程为r=(r+1)/+(4/-3)j+(2/2-6f)忍
于是法平面方程为2(x一5)+2(y一5)+(z+4)=0,即
2x+2j+z—16=0
8.求曲^r=ti+t2j+ek±的这样的点,使该点的切线平行于平面x+2y+z=4。
解:
曲线切向矢呈为巧=
y-=i+2(/+3/2Ar,
平面的法矢長为n=i+2j+k,由题知
Tn=^i+2tj+3t2k)\i+2j+k)=l+4t+3t2=0
得/=一1,-£。
将此依次代入⑴式,得
故所求点为(-
习题2解答
1.说出下列数:
B场所在的空间区域,并求出其等值面。
⑴U=Ax+By+Cz+D
(2)w=urcsin—.w+b
解:
(1)场所在的空间区域是除Ar+By+Cz+D=0外的空间。
等值面为
--1--~~=C%x+B_y+Cz+D_丄=0心0为任意常数),这是与平Ax+By+Cz+DC[
^Ax+By+Cz+D=0平行的空间。
(2)场所在的空间区域是除原点以外的z2^x2+j2的点所组成的空间部分。
等值面为才=(x2+j2)sin2c9(x2+j2#0),
当sine工0时,是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外);
当sinc=0时,是除原点外的xQy平面。
2.求数星场“=斗丄经过点必(1,1,2)的等值面方程。
解:
经过点M(1,1,2)等值面方程为
x2+/12+12,
u===1,
Z2
即2=X+b,是除去原点的旋捷抛物面。
3.巳知数畳场“=求场中与直线x+2j-4=0相切的辱值线方租。
解:
设切点为(x0,j0),等值面方程为xy=c=xoyo,因相切,则斜率为
k=-—=-^,即心=2j0
入2
点(x0,j0)在所给直线上,有
兀。
+2儿一4=0
解之得Jo=l,x0=2
故xy=2
4.求矢&A=xy2i+x2yj+zy2k的矢昼线方程。
解矢昱线满足的微分方程为
Ax(lr=O,
dxdydz
或2=~2~=1
xyxyzy
有皿=则,冬=冬・
Xz
解之得\xl~yl=Ci\cx,c2^任意常数v=clx
5•求矢■场A=x2i+y2j+(x+y)zk通过点M(2,1,1)的矢畳线方程。
解矢呈线满足的微分方程为笛=缪=业•
X2y2(x+y)z
按等比定理有
d(x-y)
丄^,即空二观
(x+y)zx-y
•解得x—y=C2z
Z
故矢量线方程为£十5“(2M)求得―斗jl[x-y=C2z
丄丄]
故所求矢彊线方程为•x=y~2.
x-y=z
习題3解答
1•求数星场“=x2z3+2y2z在点M(2,0,-1)处沿xy2j+丈k的方向导数。
解:
因l\M=(2xi-xy2j+3z4/r)|w=4/+3A:
其方向余弦为
COSQ=扌,COS0=0,cosy=
在点M(2g)处有牛
=2xz3=—4,^^=4yz=0^—-=3x2z2+2y2=12,dydz「
所以—=—•(-4)+0«0+—»12=4dl55
2•求数三场w=3x2z-xj+z2在点处沿曲线x=t,y=-t\z=e朝『増大一方的方向导数。
解:
所求方向导数,等于函数"在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导教。
曲线上点
M所对应的参数为f=1,从而在点M处沿所取方向,曲线的切向方向导教为
123
其方向余弦为cos“顶,COS"一帀,COS"祜
duI
又石=⑴□一刃「=7,
M
于是所求方向导数为
du
¥
du
du
y
=(—cosa+—
.W&勿
du
COS/7+—cos/)=7x-^L+(-1)xX+5x2=41
~辰、14、/14<14
dz.
3・求数星场"=*屛在点A/(2.1.-1)处沿哪个方向的方向导数屡大?
解:
因—=(gradw)-/°=|gradu\cos0,dl
当&=0时,方向导数員大。
.du.du•du1.
=(2xyzyi+x2zsj+3x2yz2k^f=-4z-4j+12k,
即函数“沿梯度gradu|w=「Q—4/+1%方向的方向导敌最大
晟大值为|gradu|w|=、丽=4JU。
4.画出平面场“=£(宀丿2)中“=o,£,i,专,2的等值线,并画出场在M](2,、/J)与点乙乙乙
旳2(3八厅)处的梯度矢長,看其是否符合下面事实:
(1)梯度在等值线较密处的模较大,在校稀处的模较小;
(2)在每一点处,梯度垂直于该点的等值线,并指向“增大的方向。
x2—y2=0,x2—y2=1,
解:
所述等值线的方程为:
x2-y2=l,x2-y1其中第一个又可以写为
宀宀4,
x-y=0,x+y==0为二直线,其余的都是以Ox轴为实轴的等轴双曲线
(如下图,
G2=gradu|v/,)
由图可见,其图形都符合所论之事实。
5.用以下二法求数畳场“=弓+W+zr在点卩(1,2,3)处沿其矢径方向的方向导数。
(1)直接应用方向导数公式;
(2)作为梯度在该方向上的投影。
解:
(1)点P的矢径厂=F+2/+3«,其模H=、五.其方向余弦为
1c23
cosa=-^=,cosJ3=-^=,cos/=—=.^
詈广卜+叽=5,詈=(x+z)|p=4,^*+虬=3
dxdyg
=5i+4j+3k,
dii
故寻厂映略•八%靑
di
+4x2+3x亠=豐。
<14、14<14
6,求数畳场w=x2+2y2+3Z2+xy+3x-2y-6z在点0(0,0,0)与点A(l,14)
处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上梯度为0?
解:
gradu=(2x+y+3)i+(4j+x-2)j+(6z-6)k,
gradu|f>=3i一2/-6k,gradu.=6i+3j+0Zc,
其模依次为:
y/32+(-2)2+(-6)2=7^I62+32+O2=3頁
.326
于是gradu\o的方向余弦为cosa=〒cos/?
=—尹cosy=—亍
.21gradu|A的方向余弦为cosa=「亍,cos戸=市,cosy=0.
y/5y/5
2x+y+3=0,
求使gm〃u=O之点,即求坐标满足<
4y+x-2=0,之点,由此解得
6z—6=0
x=-2,y=l.z=i故所求之点为(一2,1,1).
7・通过梯度求曲面+2xz=4上一点M(l,_2,3)处的法线方程。
解:
所给曲面可视为数呈场u=x2y+2xz的一张等值面,因此,场“在点
M处的梯度,就是曲面在该点的法矢長,即
gradu|w=(2xy+2z)i+x2j+2xk\=2i+j+2k,
x—1V4-27—3
故所求的法线方程为—-
8・求数星场“=3x2+5j2-2z在点M(1,1,3)处等值面朝Oz轴正向一方的法线方向导数<。
解:
因gradu=—i+—j+—k=6xz+lOyj-2kdxdy'dz
gradu=6i+10j-2k
M
梯度与z夹角为钝角,所以沿尊值面朝。
轴正向一方的法线方向导数为
=—|gradi/|=—2\/?
5
习题4
1•设S为上半球面X彳+J,?
+才=“2(zn°),求矢畳场广=灯+方+伙向上穿过S的通■
①。
【提示:
注意s的法矢畳!
1与r同指向】
解:
C>=JJr•dS=[札於=JJ|r|t/S=a^dS=a・17iu2=2加'・
ssss
2.设S为曲面X?
+y2+乙2=“2(0 解: 0二JJ(X+y+ZM敢如=-口(兀+丿+兀2+丿2)必心',其中r>为S在X()y面上的 SD 投影区域: 入宀“用极坐标计算,有Q=-^r^se+rsine+r1)rdrd0 1) f2/rx『2兀Qh1) 二一]d0[(厂cos0+/*~siii0+rMr二一[[(cos0+sin0)+——"0二一一方广. ooo342 3.设S是锥面z=yjx2+y2在平面z=4的下方部分,求矢星场A=4xzi+何+3荻向下穿出S的通畳①。 解: 菇 4•求下面矢基场A的散度。 (1)A=(x3+yz)i+(y2+xz)j+(zy+xy)k; (2)A=(2z-3y)i+(3x-z)j+(y-2x)k; (3)A=(1+jsinx)i+(xcosj+ 解: ⑴(ivA=3x2+2y+3z2 (2)divA=0 (3)(livA=jcosx-xsinj+1 5.求divA在给定点处的值: (1)A=x3i+j3j+z^在点M(1,O,-D处; (2)A=4xi-2xyj+z2k在点M(1,1,3)处; (3)A=xyzr(r=xi+yj+z/c)在点M(1,3,2)处; 解: (1)divA|w=(3x2+3j2+3z2)|w=6 (2)divA|w=(4-2x+2z)|a/=8 (3)(livA=xyzdivr+grad(xyz)-r=3xyz+(yzi+xtj+xyk)•(xi+y/+zk) =6xyz,故divA|y=6xyz|w=360 6•已知"=A=x2i4-xzi—2yzk^求div(uA)。 解: divA=2x—2y gradu=j2z3Z+2xyz^j+3xy2z2k 故(liv(uA)=udivA+gradu•A =xy2z\2x-2y)+(y2z3i+2xyz3J+3xy2z2k)(x2i+x^f-2yzk) =2x1y1zi-2x1yizi+x2y2z3+2x2yz4-6xy3z5 =3x2j2z3-8x2y5z^+2x2yz4• 7.求矢畳场A从内穿出所给闭曲面S的通畳<D: (1)A=x5i+y3j+z3lc9S为球ffix2+j2+z2=a2; x2v2z2 (2)A=(X—J+Z)i+(y—Z+x)j+(z—x+yW,S为椭球面一^+Y= abc 解: ⑴(D=rfS=jjjdivAdV=Jff3(x2+j2+z2)rfV sno. 其中G为s所围之球域十+j2+z2V/今用极坐标 x=rsin&cos(p^y=rsin^sinp,z=rcosff计算,有 习题五 cost+costsint)dt=2m 1•求一质点在力场F=-yi-^j+xk的作用下沿闭曲线/: x=“cost,y=asint,z=“(1一cos。 从r=0到f=2兀运动一周时所做的功。 解: 功w=£f*〃= sin21-a2(l-cost)cost+a2costs 2.求矢星场A=-yi+xj+Ck(C为常数)沿下列曲线的环星: (1)區周x2+y2=R29z=0• (2)圆周(x-2)2+J2=/? 2,Z=0o 解: (1)令X=RCOS0,则圆周X2+y2=R\z=0的方程成为 x=Rcosgy=Rsingz=0,于是环星 r=JA•J/=j—ydx+xdy4-Cdz=sin23+R2cos=2nR• l/ (2)令x-2=Kcos&,则圆周(兀一2)2+丿2=r2,z=o的方程成为 x=RcosG+2』=Ksingz=0,于是环昼 r=JA•J/=J—ydx4-xdy+Cdz=("[K? sin2&+(Rcos0+2)Rcos6 (R2+2/? coseyie^luR (1)直接应用环晏面密度的计算公式; (2)作为旋度在该方向上的投影。 又p=x(z-y),Q=y(x-z),R=z(y-x)根据公式,环長面密度 3•用以下两种方法求矢星场A=x(z-y)i+y(x-z)j+z(y-x)k在点M(1,2,3)处沿方向n=i+2j+2k的环星面密度。 A|jW=[(心-GJcosa+(巧-Rx)cosfl+(QX-Pv)cos/]w 2xzoX y22xy0 故有divA=0+0+0=0, (2)rotA|m=[(z+y)i+(x+Z)j+(X+y)k]M=5i+4j+3k,于是 58619 3333 4.用雅可比矩阵求下列矢畳场的散度和旋度。 (1)A=(3x2j+z)i+(j3-xz2)j+2xyzk; (2)A=yz2i+ZX2j+xy2k; (3)A=P(x)i+Q(y)j+R(z)k・ 6xy3x21 s: (1)OA=\-z23J2-2口),故有由'小=: 6号+3屮+2野=(8工+3刃丿, 2yz2xz2xy rotA=4战i+(1-2yz)j-(z2+3x2)k. rotA=x(2y-x)i+y(2z-y)j+z(2x-z)k. >'(x) (3)DA=•0 0 0 Q\y) 0 無: AxB=3y2z2 x20 0 o,,故有divA=P\x)+Q(y)+R\z).R'⑵J 曲A=o。 5•已知"=05,/1=22,+兀2/+,咲,求册uA・ 解: rotuA=«rotA+graduxA, 002z\ da=2xoos有rotA=2yi+2方+2xk,urotA=ex): (2yi+2才+lxk\ °2y0 gradu=exyz(yzi++xyk\graduxA ijk =exyzyzxzxy=exyz[(xy2z-x3y)i+(xyz2-y'z)j+(x2yz-xz‘)幻, z2X2J2 rotuA=exy: [(2y+xy2z一x}y)i+(2z+xyz2-j3z)j+(2x+x1yz-xz3)k] 6•巳知A=3yi+2z2J+xyk,B=x2i-4k,求曲(AxB). xj=-8z2i+(x3j+12y)j-lx2z2k. -4 故有(AxB)=0i+(4xz2—16z)j+3x2yk=4z(xz-4)j+3x2yk. 1证明下列矢■场为有势场,并用公式法和不定积分法求其势函数。 (1)A=ycosxyi+xcosxyj+sinzk; (2)A=(2xcosy-y2slnx)i+(2ycosx-x2siny)j. 则rotA= =0/+0J+[(cosxy-xysinxy)-(cosxy-xysinxy)]k=0 所以A为有势场。 下面用两种方法求势函数卩: 1°公式法: V=一J: P(x,O,O)Jx一[Q{x,y^)dy-£R(x,y,z)dz+C, xcosxydy一£sin沁+Cx =O—sinxy+cosz—1+C]=cosz-sinxj+C. 2°不圭积分法: 因势函数卩满足4=-gradv,即有 vx=-ycosxy^vy=-xcosxyyvz=_sinz. 将第一个方程对x积分,得v=-s\nxy+(p(y,z), 对V求导,得Vv=-xcosxy+ (Py(y,z)=0,于是 再对z求导,得人=/(z),与第三个方程比较,知肖©)=-Sinz,故0z)=cosz+C.所以"=cosz-sinxy+C. (2)记卩=2xcosy-y2sinx^Q=2ycosx-x2slny^R=0. 则 rotA= iIAlarp =Oi+0y+[(-2vsinx-2xsinv)—(-2xsinv-2vsinx)]K=0 所以A为有势场。 下面用两种方法求势函数v: 1°公式法: V=-J: P(x,0,0)Jx-Jo'e(x,j,OX7y一£/? (x,j,zX/z+C =-£Ixdx-£(2ycosx-x2sinyMy-]o〃z+C=-x2-y2cosx-x2cosy+x2+C=-y2cosx-x2cosy+C. 2°不定积分法: 因势函数卩满足A=-gradv,即有 vx=-2xcosy+y2sinx,叭=-2ycosx+x2sin=0, 将第一个方程对X积分,得v=-x2cosy-y2cosx+ 对y求导,得yy=x2sinj-2jcosx+^v(j,z),与第二个方程比较,知(Py(J,z)=0,于是(p{y.z)=P(z),从而V=-x2cosJ-J2cas+#(z)・再对z求导,得Vz=|/'(z),与第三个方程比较,知0‘(z)=O,故#(Z)=C・所以y=-x2cosy-y2cosx+C. 2•下列矢目场A是否保守场? 若是,计算曲线积分: I (1)A=(6xy+z2)i+(3x2-z)j+(3xz2-y)k,/的起点为A(4,0,l),终点为 B(2,l,-1); (2)A=2xzi+2yz2j+(x2+2y2z-l)k,/的起点为A(3,0,l),终点为B(5,-1,3). |6j6x3z21 解: (1)DA=<6x0-1有 3z2-16xzj rotA=[(-1)-(-1)]/+(3z2-3z2V+(6x-6x)k=0,故a为保守场。 因此,存在 A•刃的原函数,。 按公式 『人〃=(3十丿+2-冏*仁=7。 / “=J: P(x,O,O)〃x+[2(x,j,0)Jj+[R(x9y9z)dz (3兀才-j)Jz=3x2j+xz3于是 2z02x (2)DA=•02Z24yzs有曲人二(4兀一4幷"+(2/-2"/+0«二0,故A为保 2x4yz2y2 守场。 因此,存在A•刃的原函数。 按公式 “=一[P(x,O,O)Jx-J: 2(x,j,0)Jy-£R(x,y,z)dz (klx+f■(kly+f(x2+2j2z-1)Jz=x2z+y2Z2一◎于是 =73.o 3•求下列全微分的原国数“: (1)du=(x2-2yz)(lx+(y2-2xz)dy+(z2-2xy)dz; (2)du=(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4yy)dy. 解: 由公式"=[P(x,0,0X7x+J'<2(x,j,0X/y+JR(x,y,z)dz+C (1)w=£x2dx+j^J2^+j^(z2-2xy)dz+C 13131333 =^X
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