ppp
-444
所以
ppp3ppp
2a-=,或2a-=,所以a=,或a=.---------------12分
444442
18.(本小题共12分)
解:
(Ⅰ)该间教室两次检测中,空气质量均为A级的概率为
339
?
.,,,,,,2分
4416
该间教室两次检测中,空气质量一次为A级,另一次为B级的概率为
,,,,,,,,,,4分
313
2创=.
4816
设“该间教室的空气质量合格”为事件E.则,,,,,5分
33313
P(E)=?
2创=.,,,,,,,,,,,6分
44484
答:
估计该间教室的空气质量合格的概率为
3
4
.
(Ⅱ)由题意可知,的取值为0,1,2,3,4.,,,,,,,,,,7分
第1页
P=i=
()
33
ii4-i
C()(1-)
4
44
(i=0,1,2,3,4).随机变量的分布列为:
01234
P1
3272781
2566412864256
,,,,,,,11分
解法一:
∴
13272781
E=0?
1?
2创+3+4?
3.,,,,,,,12分
2566412864256
解法二:
3
~(,),∴
B4
4
3
E=4?
3.,,,,,,,,12分
4
19.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)取AC的中点O,连结OS,OB.SASC,ABBC,
ACSO,ACOB.又平面SAC平面ABC,且平面SAC平面ABCAC,
SO平面ABC.故SB在平面ABC内的射影为OB,ACSB.,,,,6分
(Ⅱ)取OB的中点D,作NECM交CM于E,连结DE,ND.
在△SOB中,N,D分别为SB,OB的中点,DN∥SO.又SO平面ABC,
DN平面ABC,由NECM得DECM.
故NED为二面角NCMB的平面角.,,,,,,8分
设OB与CM交于G,则G为△ABC的中心,
S
1
GD
GB
4
DE∥MB,
.又DECM,BMCM,
11
DEMB.
42
O
C
G
N
在△SAC中可得SO22,
D
E
1
在△SOB中,NDSO2,
2
AMB
2
在Rt△NDE中,tanNED22.NEDarctan22.
1
2
二面角NCMB的大小为arctan22.,,,,12分
解法二:
(Ⅰ)取AC的中点O,连结OS,OB.
SASC,ABBC,ACSO,ACOB.
第2页
z
S又平面SAC平面ABC,且平面
SAC平面ABCAC,SO平面ABC.
N
C
如图所示建立空间直角坐标系Oxyz,O
则
AMB
y
x
A.
(2,0,0),B(0,23,0),C(2,0,0),S(0,0,22),M(1,3,0),N(0,3,2)
ACSB.则ACSB0,ACSB.,,,,6分
(4,0,0),(0,23,22)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得CM(3,3,0),MN(1,0,2).设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,
CMn3x3y0,
取z1,得x2,y6.MNn-x2z0,
n(2,-6,1).又OS(0,0,22)为平面ABC的法向量,
cos<nOS>=
n
n
OS
OS
1
3
.二面角NCMB的大小为
1
arccos.,,,,,12分
3
20.(本小题共12分)
解:
(Ⅰ)函数fx的定义域为xxa.,,,,,,,1分
fx
x
xxexa
exae1
22
xaxa
1
.,,,,,,,3分
由fx0,解得xa1.由fx0,解得xa1且xa.
∴fx的单调递增区间为a1,,单调递减区间为,a,a,a1.,,6分
(Ⅱ)由题意可知,a0,且
fx
x
e
xa
在a,0上的最小值小于等于
1
2
时,存在实数xa,0,使
得不等式
1
fx成立.,,,,7分若a10即a1时,
2
xa,a1a+1a1,0
0+
fx
↘极小值↗
fx
第3页
∴fx在a,0上的最小值为
a1
fa1e.
则
a
11
e,得
2
1
aln1.,,,,,,,,9分
2
若a10即a1时,fx在a,0上单调递减,则fx在a,0上的最小值为
f0
1
a
.
由
11
a2
得a2(舍).,,,,,,,,,,,11分
综上所述,
1
aln1.,,,,,,,,,,,12分
2
21.(本小题共12分)
解:
(I)由已知a3,b1,c22,则F1(22,0),F2(22,0),设M(x,y),,2分
8
22
MF1MF(22x)(22x)yx7x[3,3],,4分
2
9
所以当
x0时,MFMF有最小值为-7;
12
当x3时,MF1MF2有最大值为1。
,6分
(II)设点A(x1,y2),B(x2,y2)直线AB方程:
ykx2
ykx2
22
2kxkx
2
(19)36
x9y9
270,
,※
有
2
36k279k4
xx,xxyy,,8分
121212
222
19k19k19k
因为AOB为钝角,
2
279k4
所以0
OAOB0,即xxyy0,,10分
1k
212
22
19k19
解得
2313131
kk或k<-,此时满足方程※有两个不等的实根
933
故直线l的斜率k的取值范围
3131
,
33
,12分
22.(本题满分14分)
11
2
解:
(1)a2(1a),且a(0,1),由二次函数性质可知a(0,).
1
12
22
a
3
1
2
(1
2
2
a
)
及
a
2
(0,
1
2
)
a
3
3
8
(
1
2
).
3
分
第4页
31
(2)证明:
①在
(1)的过程中可知n3时,a,
3
82
则
1
8
3
8
(21)
a(21)
3
1
2
(
2
1)
1
8
于是
当
n3时,|a(21)|
n
1
n
2
成立
.
11
②假设在n3)时,|an(21)|(*)成立,即|a(21)|.
k(k
k
nk
22
则当
nk1时,
|
a(22)||
k1
1
2
1
2
2
k
a
(
2
1)
|,
1
2
|
a(21)|
k
|a21
k
|,
其中
0
a212(21)
k
1
k
2
1(
k
3)
于是
|
a(21)|
k1
1
2
|a(21)|
k
2
1
k
1
从而nk1时(*).
式得证
1
综合①②可知:
n3,nN时|a(21)|.,,,,,,9分
n
n
2
1
(3)由|a(21)|(n3)
n变形为:
n
2
|
1
2
1
1
a
n
|
1
n
2
(
2
1
1)
|
a
n
|
2
n
2
1
|
1
a
n
|
而由
21
1
n
2
a21
n
1
n
2
(n
3,
n
N
)
可知
:
21
1
8
a2
n
1
1
8
在
n
3
上恒成立
于是
1
a
n
2
1
1
1
8
2
a
n
121
2
1
1
8
12,
又
|
a(21)|
n
1
n
2
|
1
a
n
(
2
1)
|
12
n
2
从而原不等式
|b(21)|
n
12
n
2
(
n
3,
n
N)
得证
.
14分
第5页