最新高等数学上册期末考试试题含答案AHE.docx
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最新高等数学上册期末考试试题含答案AHE
2019最新高等数学期末考试试题(含答案)
一、解答题
1.椭圆
上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同?
解:
方程
两边同时对t求导,得
由
.得
代入椭圆方程得:
,
即所求点为
.
2.设
,-∞ ,求 . 解: 先对f(x)作偶延拓到[-1,1],再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f(x)展开成余弦级数而得到s(x),延拓后f(x)在 处间断,所以 3.将 展开成(x+4)的幂级数. 解: 而 又 所以 4. 求下列旋转体的体积: (1)由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转; 解: 求两曲线交点得(0,0),(1,1) .(14) (2)由y=x3,x=2,y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转; 解: 见图14, . (2)星形线绕x轴旋转; 解: 见图15,该曲线的参数方程是: , 由曲线关于x轴及y轴的对称性,所求体积可表示为 (15) 5.计算底面是半径为R的圆,而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17. (17) 解: 以底面上的固定直径所在直线为x轴,过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则底面圆周的方程为: x2+y2=R2. 过区间[R,R]上任意一点x,且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形,若设与x对应的圆周上的点为(x,y),则该等边三角形的边长为2y,故其面积等于 从而该立体的体积为 . 6.求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积: (1)r=a(1+cosθ)及r=2acosθ; 解: 由图11知,两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆,故D=πa2. (11) (2) 及. 解: 如图12,解方程组 得cosθ=0或, 即或. (12) . 7.已知 求 . 解: 原式= 8.求下列不定积分: ; 解: 原式= ; 解: 原式= . ; 解: 原式= ; 解: 原式= ; 解: 原式= ;
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