直觉模糊熵约束条件的改进及新模糊熵构造.docx
- 文档编号:13718705
- 上传时间:2023-06-16
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:23KB
直觉模糊熵约束条件的改进及新模糊熵构造.docx
《直觉模糊熵约束条件的改进及新模糊熵构造.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《直觉模糊熵约束条件的改进及新模糊熵构造.docx(13页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
直觉模糊熵约束条件的改进及新模糊熵构造
直觉模糊熵约束条件的改进及新模糊熵构造
摘要:
为解决直觉模糊熵的定义和度量不合理问题,提出了一种直觉模糊熵的公理化定义并构造了新的度量方法。
首先分析了现有直觉模糊熵的公理化定义中存在的差异并指出其缺陷和不足;接着提出了一种改进的直觉模糊熵的公理化定义,并构造了新的直觉模糊熵的计算公式;最后,通过实例,将新公式与现有直觉模糊熵公式进行了比较对比。
算例分析表明,所提出的熵公式能够反映直觉模糊集的不确定性和模糊性,并且对直觉模糊集不确定性的区分能力更强。
关键词:
直觉模糊集;直觉模糊熵;隶属度;不确定性
中图分类号:
TP18
文献标志码:
A
Abstract:
Toresolvetheirrationalityinthedefinitionandmeasurementofintuitionisticfuzzyentropy,anewaxiomaticdefinitionforintuitionisticfuzzyentropywasproposed,andanewmeasuringformulawasstructured.Firstly,theexistingdifferencesinresearchofaxiomaticdefinitionforintuitionisticfuzzyentropywereanalyzed,itsdefectsandinsufficiencywerealsopointedout.Secondly,animprovedaxiomaticdefinitionforintuitionisticfuzzyentropyandacalculationformulaofintuitionisticfuzzyentropywereproposed.Finally,thenewformulawascomparedwiththeexistingformulasforintuitionisticfuzzyentropybyexamples.Theresultsoftheexampleanalysisshowthat,theproposedentropyformulacanreflectbettertheuncertaintyandfuzzinessofintuitionisticfuzzysets,andthecapabilitytodiscriminatetheuncertaintyofintuitionisticfuzzysetsisstronger.
英文关键词Keywords:
intuitionisticfuzzyset;intuitionisticfuzzyentropy;membershipdegree;uncertainty
0引言
Zadeh[1]于1965年提出了模糊集的概念,随后学者们先后提出了模糊集的一些推广形式,如Atanassov[2-3]提出直觉模糊集(IntuitionisticFuzzySet,IFS)[2]和区间直觉模糊集(IntervalValuedIntuitionisticFuzzySet,IVIFS)[3],Gau等[4]提出Vague集,Zadeh[5]在普通模糊集的基础上又提出区间值模糊集(IntervalValuedFuzzySet,IVFS),并研究了这些推广形式之间的关系[6-8]。
直觉模糊熵用以刻画直觉模糊集的不确定程度,Burillo等[9]首先提出用直觉模糊熵来刻画直觉模糊集的不确定性。
随后更多学者提出了不同形式的直觉模糊熵计算公式[10-21],其中:
Szimidt等[10]利用直觉模糊集的几何解释,提出了计算直觉模糊熵的公式,该公式能够直观地表达直觉模糊熵的几何意义;文献[15]根据熵公式是否描述直觉模糊集的模糊性和直觉性对现有直觉模糊集、区间值模糊集以及Vague集的熵公式进行了分类和对比研究;文献[20]根据Vague熵约束条件和构造方法中存在的缺陷进行全面分析研究,并提出了各自改进的直觉模糊熵度量方法。
但是,现有的直觉模糊熵研究对于直觉模糊集取极值及直觉模糊熵大小的认识未能全面体现直觉模糊集中模糊性和直觉性对不确定性的影响,也不能区分一些特殊直觉模糊集不确定性的大小。
直觉模糊集作为描述客观世界的一种数据形式,能够较好地描述不确定和模糊性。
直觉模糊熵作为直觉模糊集不确定性的测度,应综合考虑代表已知信息的真、假隶属度不同所产生的模糊性和代表未知信息的犹豫度所引起的直觉性。
本文在分析已有直觉模糊熵的公理化定义中存在的缺陷基础上,对直觉模糊熵的约束条件进行了改进,提出一种改进的公理化定义,并构造了新的直觉模糊熵计算公式。
该定义不仅考虑了直觉模糊集的直觉不确定性和模糊不确定性,而且考虑了未知信息、已知信息分布情况对熵的影响,可以更充分地反映直觉模糊集的不确定性;所构造的熵度量方法也能更精细地区分直觉模糊集的不确定性。
1直觉模糊集预备知识
定义1[2]
设X是一个给定的论域,称A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈X}为X上的直觉模糊集,记为IFS。
其中:
μA(x):
X→[0,1],νA(x):
X→[0,1],且满足条件0≤μA(x)+νA(x)≤1,x∈X。
μA(x)和νA(x)分别为X中元素x属于A的真、假隶属度。
X上所有IFS记为IFS(X),称πA(x)=1-μA(x)-νA(x)为x属于A的犹豫度。
特别地,若πA(x)=0,则A退化为传统的模糊集。
直觉模糊集A的补集定义为:
Ac={〈x,νA(x),μA(x)〉|x∈X}
定义2[10]
如果一个映射E:
IFS(X)→[0,1]满足如下条件,则该映射称为直觉模糊熵。
1)E(A)=0,当且仅当A是一个分明集。
2)当且仅当对于每一个xi∈X,都有μA(xi)=νA(xi)成立。
3)E(A)=E(Ac)。
4)E(A)≤E(B),如果对于任意xi∈X,当μB(xi)≥νB(xi)时,有μA(xi)≥μB(xi),νB(xi)≥νA(xi);
或者,当μB(xi)≤νB(xi)时,有μA(xi)≤μB(xi),νB(xi)≤νA(xi)。
第12期
赵飞等:
直觉模糊熵约束条件的改进及新模糊熵构造
计算机应用第35卷
2现有直觉模糊熵定义中的差异分析
现有直觉模糊熵研究都是基于定义1和定义2,但对熵的公理化定义以及对直觉模糊集不确定性的认识上存在差异,也即在定义熵时的约束条件和对直觉模糊集不确定性构成的认识不同。
差异1
对直觉模糊熵取最小值的认识不同。
文献[10-12,14-18,20-21]认为直觉模糊集在退化为分明集时熵最小为0,而文献[13,19]认为直觉模糊集在退化为普通模糊集时熵最小。
直觉模糊集退化为分明集时熵最小,这符合人们的直觉,但认为直觉模糊集退化为普通模糊集时熵即最小,这忽视了普通模糊集自身所蕴含的模糊性。
差异2
对直觉模糊熵取最大值的认识不同。
文献[10-12,14-16,21]认为在直觉模糊集的模糊性性最大,即真、假隶属度相等时,熵即取最大值1;而文献[13,17-21]认为真、假隶属度均为0、犹豫度为1时熵取最大值1。
认为只要真、假隶属度相等,熵即最大,这符合人们认识问题的直觉却忽视了代表未知信息的犹豫度对熵的贡献,对信息一无所知时不确定性应最大,其最大值为1。
差异3
未知不确定性和模糊不确定性对熵的贡献程度以及二者与熵的映射关系不同,这是熵计算公式存在诸多表现形式的体现。
从直觉模糊集的定义来看,每个直觉模糊熵应该是确定的,不能因为计算方法的不同,熵就不同。
差异4
对于特殊点取值的认知不同,比如对于真、假隶属度相同且犹豫度为0时的熵取值差异很大。
文献[10-12,14-16]认为在该点熵为1,文献[13,19]认为该点熵为0,还有文献[17,20-21]认为该点直觉模糊熵的取值大于或等于0.5但小于1。
直觉模糊集退化为分明集时熵为0,直觉模糊集的信息完全未知时熵为1;直觉模糊集退化为普通模糊集时,其熵的取值应满足普通模糊集的性质,在真、假隶属度相同且犹豫度为0时,此时模糊性达到了最大,因此熵应该为1。
差异5
对于直觉模糊熵的序关系的认识不同。
文献[10-12,14-15]给出了比较熵大小的条件,该条件仅考虑了真、假隶属度之间距离的大小,认为距离大熵就小,显然这忽略了犹豫度对熵的贡献;而文献[13,16-18,20-21]进一步给出了熵的变化规律,认为熵在真、假隶属度之间距离相等时随犹豫度严格单调递增,在犹豫度相等时,熵随真、假隶属度之间距离严格单调递减,但这没有考虑未知信息和已知信息的分布对不确定性的影响。
以上差异是造成熵定义和计算方法形式多样的根本原因,也体现了已有直觉模糊熵的公理化定义及其度量方法中存在的诸多缺陷。
本文认为,度量直觉模糊集的不确定性既要考虑未知信息的直觉性和已知信息的模糊性,还要考虑未知信息和已知信息所占比例的多少。
未知信息对熵的贡献是完全的,换句话说,直觉模糊集的熵必不小于其犹豫度;已知信息的模糊性受真、假隶属度接近程度的影响,同时还受已知信息多少的影响,已知信息的模糊性对熵的贡献是非线性的。
鉴于直觉模糊集形式的特殊性,必须考虑三个趋近:
趋近于完全未知,趋近于分明集,趋近于普通模糊集。
当直觉模糊集退化为分明集时熵为0是显然的;在信息完全未知时,其熵为1也是公认的;当信息完全已知,即犹豫度为0时,直觉模糊集退化为普通模糊集,此时直觉模糊集也应符合普通模糊集的性质。
直觉模糊集在A={〈x,0.5,0.5〉|x∈X}时已知信息量达到了最大,未知信息量为零,此时直觉模糊集的不确定性完全表现为模糊不确定性,且达到了最大值,因此直觉模糊集的熵应为1。
进一步分析可以发现,直觉模糊集的不确定性由未知信息的直觉不确定性和已知信息的模糊不确定性共同构成。
熵为0的点有两个,熵为1的点也有两个,那么代表未知信息的直觉不确定性和代表已知信息的模糊不确定性应该在某点达到平衡。
当未知信息大于该值时,直觉不确定性对熵的贡献占主导,即在模糊性相同的情况下,熵随未知信息的增加而增大;当未知信息小于该值时,模糊不确定性对熵的贡献占主导,即在模糊性相同的情况下,熵随未知信息的减少而增大。
3直觉模糊熵度量的新方法
基于以上文献分析并结合直觉模糊集的特性,提出如下改进的直觉模糊熵约束条件:
约束条件1
当直觉模糊集退化为分明集时,此时熵最小,其值为0。
约束条件2
当直觉模糊集的未知信息最多时,此时熵最大,其值为1;在直觉模糊集退化为普通模糊集时,满足普通模糊集的性质[4],且在未知信息为0,真、假隶属度相等时,熵也达到最大值1。
约束条件3
当犹豫度相同时,直觉模糊熵随隶属度、非隶属度之间距离的减小而增大。
约束条件4
一个直觉模糊集的模糊熵必不小于其犹豫度。
约束条件5 直觉模糊集和它补集的熵是相等的。
根据以上约束条件,给出如下改进的直觉模糊熵公理化定义。
定义3
如果实值函数E:
IFS(X)→[0,1]满足下面条件,则该实值函数称为直觉模糊熵。
1)E(A)=0,当且仅当A是一个分明集;
2)E(A)=1,对任意A∈IFS(X),当μA(x)=νA(x)=0或μA(x)=νA(x)=0.5成立;
3)当πA(x)=πB(x)时,若|μA(x)-νA(x)|≤|μB(x)-νB(x)|,则E(A)≥E(B);
4)E(A)≥πA(x),对任意A∈IFS(X);
5)E(A)=E(Ac)。
根据定义3,构造一个直觉模糊熵的计算公式如式
(1)所示。
定理1
已知一个直觉模糊集A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈X},其中πA(x)=1-μA(x)-νA(x)为x属于A的犹豫度,则:
E(A)=1n∑ni=1μA(xi)?
νA(xi)+π2A(xi)μ2A(xi)+ν2A(xi)-μA(xi)?
νA(xi)+πA(xi)
(1)
式
(1)所得为直觉模糊集的熵。
证明
下面证明它符合定义3的5个条件。
首先,因为μA+νA+πA=1且0≤μA,νA,πA≤1(μA-νA)2+μAνA+πA>0。
1)E(A)=0
μAνA+π2Aμ2A+ν2A-μAνA+πA=μAνA+π2A(μA-νA)2+μAνA+πA=0
μAνA+π2A=0
μAνA=0且π2A=0
μA=0,νA=1,πA=0或μA=1,νA=0,πA=0
为分明集。
2)E(A)=1
μAνA+π2Aμ2A+ν2A-μAνA+πA=μAνA+π2A(μA-νA)2+μAνA+πA=1
(μA-νA)2+μAνA+πA=μAνA+π2A
(μA-νA)2=πA(πA-1)
(μA-νA)2=-πA(μA+νA)或πA=0,μA=νA=0.5
3)πA=πB且|μA-νA|≤|μB-νB|
μAνA≥μBνB,μA+νA=μB+νB
μAνA+π2A≥μBνB+π2B
0<(μA+νA)2+πA-3μAνA≤(μB+νB)2+πB-3μBνB
E(A)=μAνA+π2Aμ2A+ν2A-μAνA+πA≥E(B)=μBνB+π2Bμ2B+ν2B-μBνB+πB
4)用反证法,假设:
E(A)=μAνA+π2Aμ2A+ν2A-μAνA+πA<πA
μAνA+π2Aμ2A+ν2A-μAνA+πA<π2A
μAνA+π2Aμ2A+ν2A-μAνA+πA<π2A(μ2A+ν2A-μAνA+πA)μ2A+ν2A-μAνA+πA
μAνA<π2A(μ2A+ν2A-μAνA-μA-νA)≤0
μAνA<0
这与定义1相矛盾,则假设不成立。
问题得证。
5)因为Ac={[x,νA(x),μA(x)]|x∈X},故E(A)=E(Ac)是显然的。
改进的直觉模糊熵公理化定义及度量方法的优势分析:
条件1)和2)统一了直觉模糊集在趋向分明集、普通模糊集时取得极值的充分必要条件;条件3)表明当犹豫度相同时,直觉模糊熵随真、假隶属度之间的绝对差值的增大而减少;条件4)明确指出了未知信息对直觉模糊集不确定的贡献是完全的。
此外,新构造的直觉模糊熵计算公式为度量直觉模糊集的不确定性提供了统一的框架。
4与现有直觉模糊熵度量方法的对比
实例设有直觉模糊集A1={〈x,0.1,0.9〉|x∈X},A2={〈x,0.1,0.7〉|x∈X},A3={〈x,0.2,0.7〉|x∈X},A4={〈x,0.1,0.5〉|x∈X},A5={〈x,0.2,0.5〉|x∈X},A6={〈x,0.2,0.4〉|x∈X},A7={〈x,0.4,0.5〉|x∈X},A8={〈x,0.3,0.4〉|x∈X},A9={〈x,0.3,0.3〉|x∈X},A10={〈x,0.5,0.5〉|x∈X}。
现使用文献[14,17,20-22]中的熵公式以及本文式
(1)对上述直觉模糊集的熵进行度量,得到的直觉模糊熵如表1所示。
分析表1数据可以看出,本文提出的计算公式更合理,其优越性主要体现在以下几点:
1)式
(1)的计算方法考虑了模糊集中犹豫度对熵的贡献,能更好地区分在真、假隶属度相同情况下熵的大小。
文献[14,22]不能区分A9和A10两种情况的大小,本文方法可以清晰区分。
2)式
(1)的计算方法同时考虑了代表未知信息的犹豫度以及代表已知信息的真、假隶属度的大小对熵的影响,体现了信息对直觉模糊集不确定性的影响。
本文方法对A9和A10计算结果显示当真、假隶属度之间距离相同时,若已知信息因所占比例较大且具有支配作用,此时即使未知信息相对较多,但因所占比例较小,熵也可能较小。
3)式
(1)的计算方法全面考虑了直觉模糊集的一般情形和特殊情形,为直觉模糊集不确定性的度量提供了统一计算方法,其计算结果既符合直觉也符合实际。
文献[17,20-21]方法虽能区分真、假隶属度相等时直觉模糊集的熵,但在A10这个特殊点,其对模糊熵的度量明显不符合普通模糊集的性质,也不符合直觉。
本文方法充分考虑了直觉模糊在信息完全未知、趋向分明集、普通模糊集以及最普通情形时的所有可能。
特别指出,文献[21]对已有直觉模糊熵研究中存在的缺陷分析是充分的,但其在对直觉模糊熵进行公理化定义时并没有提出更合理的约束条件,对特殊点的取值也没有明确。
从表1可以看出,该文所提出的计算公式对直觉模糊熵的度量结果明显违背直觉,也不符合实际。
其计算公式最大的缺陷在于当真、假隶属度之间的绝对差值与犹豫度相同时,熵即相同,而这一点在其公理化定义中没有体现。
5结语
直觉模糊集的不确定性主要由两部分组成:
一个是未知信息的直觉不确定性,直觉不确定性大小受未知信息的多少影响;另一个是已知信息的模糊不确定性,模糊不确定性受已知信息的多少及其分布影响。
本文全面分析了现有直觉模糊熵约束条件、公理化定义和构造方法上存在的差异,指出各直觉模糊熵定义及构造所存在与实际不相符或矛盾的地方。
基于差异分析和直觉模糊集的特性,提出既符合直觉也符合实际的约束条件,重新对直觉模糊熵进行公理化定义,并给出了一个新的熵计算公式;最后通过算例进行了比较分析,证明本文给出的直觉模糊熵度量方法是合理的。
参考文献:
[1]
ZADEHLA.Fuzzysets[J].InformationandControl,1965,8(3):
338-356.
[2]
ATANASSOVK.Intuitionisticfuzzysets[J].FuzzySetsandSystems,1986,20
(1):
87-96.
[3]
ATANASSOVK,GARGOVG.Intervalvaluedintuitionisticfuzzysets[J].FuzzySetsandSystems,1989,31(3):
343-349.
[4]
GAUWL,BUEHRERDJ.Vaguesets[J].IEEETransactionsonSystems,ManandCybernetics,1993,23
(2):
610-614.
[5]
ZADEHLA.Theconceptofalinguisticvariableanditsapplicationstoapproximatereasoning[J].InformationScience,1975,8
(1):
199-249.
[6]
BUSTINCEH,BURILLOP.Vaguesetsareintuitionisticfuzzysets[J].FuzzySetsandSystems,1996,79(3):
403-405.
[7]
CORNELISC,ATANASSOVKT,KERREEE.Intuitionisticfuzzysetsandintervalvaluedfuzzysets:
acriticalcomparison[C]//EUSFLAT03:
Proceedingsofthe3rdEuropeanConferenceonFuzzyLogicandTechnology.Berlin:
Springer,2003:
159-163.
[8]
DESCHRIJVERG,KERREEE.Ontherelationshipbetweensomeextensionsoffuzzysettheory[J].FuzzySetsandSystems,2003,133
(2):
227-235.
[9]
BURILLOP,BUSTINCEH.Entropyonintuitionisticfuzzysetsandonintervalvaluedfuzzysets[J].FuzzySetsandSystems,2001,118(3):
305-316.
[10]
SZMIDTE,KACPRZYKJ.Entropyforintuitionisticfuzzysets[J].FuzzySetsandSystems,2001,118(3):
467-477.
[11]
ZHANGQ,JIANGS.Anoteoninformationentropymeasuresforvaguesetsanditsapplication[J].InformationSciences,2008,178(21):
4184-4191.
[12]
WEIC,GAOZ,GUOT.Anintuitionisticfuzzyentropymeasurebasedontrigonometricfunction[J].ControlandDecision,2012,27(4):
571-574.(魏翠萍,高志海,郭婷婷.一个基于三角函数的直觉模糊熵公式[J].控制与决策,2012,27(4):
571-574.)
[13]
FANP.MeasurementanalysisforfuzzyentropyofVaguesets[J].ComputerEngineeringandApplications,2012,48
(1):
57-59.(范平.关于Vague集模糊熵的度量分析[J].计算机工程与应用,2012,48
(1):
57-59.) [14]
WEIC,LIANGX,ZHANGY.Acomparativeanalysisandimprovementofentropymeasureforintuitionisticfuzzysets[J].JournalofSystemsScienceandMathematicalSciences,2012,32(11):
1437-1448.(魏翠萍,梁霞,张玉忠.直觉模糊集的熵公式比较与改进[J].系统科学与数学,2012,32(11):
1437-1448.)
[15]
WANGJ,WANGP.Intuitionisticlinguisticfuzzymulticriteriadecisionmakingmethodbasedonintuitionisticfuzzyentropy[J].Controla
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 直觉 模糊 约束条件 改进 构造