苏科版初三中考 中考数学一轮复习二次函数的图像和性质.docx
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苏科版初三中考中考数学一轮复习二次函数的图像和性质
中考数学一轮复习-二次函数的图像和性质
【基础知识回顾】
一、二次函数的定义:
一般地如果y=(a、b、c是常数a≠0)那么y叫做x的二次函数
注意1:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的结构特征是:
1、等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是,按一次排列
2、强调二次项系数a0
二、二次函数的同象和性质:
1、二次函数y=kx2+bx+c(a≠0)的同象是一条,其定点坐标为对称轴式
2、在抛物y=kx2+bx+c(a≠0)中:
①、当a>0时,y口向,当x<
时,y随x的增大而,当x时,y随x的增大而增大,
②、当a<0时,开口向当x<
时,y随x增大而增大,当x时,y随x增大而减小
注意2:
注意几个特殊形式的抛物线的特点
1、y=ax2,对称轴定点坐标
2、y=ax2+k,对称轴定点坐标
3、y=a(x-h)2对称轴定点坐标
4、y=a(x-h)2+k对称轴定点坐标
三、二次函数同象的平移
注意3:
二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移,固然要掌握整抛物线的平移,只要关键的顶点平移即可
四、二次函数y=ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系:
a:
开口方向向上则a0,向下则a0;|a|越大,开口越
b:
对称轴位置,与a联系一起,用判断b=0时,对称轴是
c:
与y轴的交点:
交点在y轴正半轴上,则c0负半轴上则c0,当c=0时,抛物点过点
【名师提醒:
在抛物线y=ax2+bx+c中,当x=1时,y=当x=-1时y=,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】
【重点考点例析】
考点一:
二次函数图象上点的坐标特点
例1(2016•常州)已知二次函数y=a(x-2)2+c(a>0),当自变量x分别取
、3、0时,对应的函数值分别:
y1,y2,y3,,则y1,y2,y3的大小关系正确的是( )
A.y3<y2<y1B.y1<y2<y3C.y2<y1<y3D.y3<y1<y2
对应训练
1.(2016•衢州)已知二次函数y=
x2-7x+
,若自变量x分别取x1,x2,x3,且0<x1<x2<x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是( )
A.y1>y2>y3B.y1<y2<y3C.y2>y3>y1D.y2<y3<y1
考点二:
二次函数的图象和性质
例2(2016•咸宁)对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法:
①它的图象与x轴有两个公共点;
②如果当x≤1时y随x的增大而减小,则m=1;
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=-1;
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,则当x=2012时的函数值为-3.
其中正确的说法是.(把你认为正确说法的序号都填上)
对应训练
2.(2016•河北)如图,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=
(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:
①无论x取何值,y2的值总是正数;②a=1;③当x=0时,y2-y1=4;④2AB=3AC;
其中正确结论是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
考点三:
抛物线的特征与a、b、c的关系
例3(2016•玉林)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为x=1,有如下结论:
①c<1;②2a+b=0;③b2<4ac;④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=2,
则正确的结论是( )
A.①②B.①③C.②④D.③④
对应训练
3.(2016•重庆)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示对称轴为x=
.下列结论中,正确的是( )
A.abc>0B.a+b=0C.2b+c>0D.4a+c<2b
考点四:
抛物线的平移
例4(2016•桂林)如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移
个单位后,其顶点在直线上的A处,则平移后的抛物线解析式是( )
A.y=(x+1)2-1B.y=(x+1)2+1
B.C.y=(x-1)2+1D.y=(x-1)2-1
对应训练
4.(2016•南京)已知下列函数①y=x2;②y=-x2;③y=(x-1)2+2.其中,图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有(填写所有正确选项的序号).
【举一反三-真题过关】
一、选择题
1.(2016•白银)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数值y<0时x的取值范围是( )
A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1或x>3
(第1题图)(第2题图)(第5题图)(第6题图)
2.(2016•兰州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k<-3B.k>-3C.k<3D.k>3
3.(2016•德阳)设二次函数y=x2+bx+c,当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,那么c的取值范围是( )
A.c=3B.c≥3C.1≤c≤3D.c≤3
4.(2016•北海)已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为( )
A.(-2,-1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-2,1)
5.(2012•广元)若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a、b为常数)的图象如图,则a的值为( )
A.1B.
C.-
D.-2
6.(2016•西宁)如同,二次函数y=ax2+bx+c的图象过(﹣1,1)、(2,﹣1)两点,下列关于这个二次函数的叙述正确的是( )
A.
当x=0时,y的值大于1
B.
当x=3时,y的值小于0
C.
当x=1时,y的值大于1
D.
y的最大值小于0
7.(2016•巴中)对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是( )
A.图象的开口向下B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.当x<1时,y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=-1
8.(2016•天门)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).对于下列命题:
①b-2a=0;②abc<0;③a-2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有( )
A.3个B.2个C.1个D.0个
9.(2016•乐山)二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(-1,0).设t=a+b+1,则t值的变化范围是( )
A.0<t<1B.0<t<2C.1<t<2D.-1<t<1
10.(2016•扬州)将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数关系式是( )
A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2-2C.y=(x-2)2+2D.y=(x-2)2-2
11.(2016•宿迁)在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( )
A.(-2,3)B.(-1,4)C.(1,4)D.(4,3)
12.(2016•陕西)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-x-6向上(下)或向左(右)平移m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则|m|的最小值为( )
A.1B.2C.3D.6
二、填空题
13.(2016•玉林)二次函数y=-(x-2)2+
的图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界),横、纵坐标都是整数的点有个(提示:
必要时可利用下面的备用图画出图象来分析).
14.(2016•长春)在平面直角坐标系中,点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为.
15.(2012•孝感)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如图所示.对于下列说法:
①abc<0;②a-b+c<0;③3a+c<0;④当-1<x<3时,y>0.
其中正确的是(把正确的序号都填上).
16.(2016•苏州)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上,若x1>x2>1,则(填“>”、“<”或“=”).
17.(2016•成都)有七张正面分别标有数字-3,-2,-1,0,l,2,3的卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a(a-3)=0有两个不相等的实数根,且以x为自变量的二次函数y=x2-(a2+1)x-a+2的图象不经过点(1,0)的概率是.
18.(2016•上海)将抛物线y=x2+x向下平移2个单位,所得抛物线的表达式是.
19.(2016•宁波)把二次函数y=(x-1)2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为.
20.(2016•贵港)若直线y=m(m为常数)与函数y=
的图象恒有三个不同的交点,则常数m的取值范围是 .
21.(2016•广安)如图,把抛物线y=
x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=
x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为.
三、解答题
22.(2016•柳州)已知:
抛物线y=
(x-1)2-3.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴;
(2)函数y有最大值还是最小值?
并求出这个最大(小)值;
(3)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式.
23.(2016•佛山)规律是数学研究的重要内容之一.
初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面.
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题:
(1)写出奇数a用整数n表示的式子;
(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子;
(3)函数的研究中,应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律).
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究:
xi
0
1
2
3
4
5
…
yi
0
1
4
9
16
25
…
yi+1﹣yi
1
3
5
7
9
11
…
由表看出,当x的取值从0开始每增加1个单位时,y的值依次增加1,3,5…
请回答:
①当x的取值从0开始每增加
个单位时,y的值变化规律是什么?
②当x的取值从0开始每增加
个单位时,y的值变化规律是什么?
【备选】
1.(2016•泰安)二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过( )
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限
2.(2016•济南)如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是( )
A.y的最大值小于0B.当x=0时,y的值大于1
C.当x=-1时,y的值大于1D.当x=-3时,y的值小于0
2.D
2.解:
A、由图象知,点(1,1)在图象的对称轴的左边,所以y的最大值大于1,不小于0;故本选项错误;
B、由图象知,当x=0时,y的值就是函数图象与y轴的交点,而图象与y轴的交点在(1,1)点的左边,故y<1;故本选项错误;
C、对称轴在(1,1)的右边,在对称轴的左边y随x的增大而增大,∵-1<1,∴x=-1时,y的值小于x=-1时,y的值1,即当x=-1时,y的值小于1;故本选项错误;
D、当x=-3时,函数图象上的点在点(-2,-1)的左边,所以y的值小于0;故本选项正确.
故选D.
3.(2016•菏泽)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=bx+c和反比例函数
在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
3.C
3.解:
∵二次函数图象开口向下,
∴a<0,
∵对称轴x=
<0,
∴b<0,
∵二次函数图象经过坐标原点,
∴c=0,
∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点,反比例函数
位于第二四象限,
纵观各选项,只有C选项符合.
故选C.
4.(2016•泰安)设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y2>y1D.y3>y1>y2
4.A
4.解:
∵函数的解析式是y=-(x+1)2+a,如右图,
∴对称轴是x=-1,
∴点A关于对称轴的点A′是(0,y1),
那么点A′、B、C都在对称轴的右边,而对称轴右边y随x的增大而减小,
于是y1>y2>y3.
故选A.
5.(2012•烟台)已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列说法:
①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③其图象顶点坐标为(3,-1);④当x<3时,y随x的增大而减小.则其中说法正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.A
5.解:
①∵2>0,∴图象的开口向上,故本小题错误;
②图象的对称轴为直线x=3,故本小题错误;
③其图象顶点坐标为(3,1),故本小题错误;
④当x<3时,y随x的增大而减小,正确;
综上所述,说法正确的有④共1个.
故选A.
6.(2012•日照)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论:
①b2-4ac>0;②2a+b<0;③4a-2b+c=0;④a:
b:
c=-1:
2:
3.其中正确的是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
6.解:
由二次函数图象与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,选项①正确;
又对称轴为直线x=1,即
=1,
可得2a+b=0(i),选项②错误;
∵-2对应的函数值为负数,
∴当x=-2时,y=4a-2b+c<0,选项③错误;
∵-1对应的函数值为0,
∴当x=-1时,y=a-b+c=0(ii),
联立(i)(ii)可得:
b=-2a,c=-3a,
∴a:
b:
c=a:
(-2a):
(-3a)=-1:
2:
3,选项④正确,
则正确的选项有:
①④.
故选D.
7.(2015泰安)将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( )
A.y=3(x+2)2+3B.y=3(x-2)2+3C.y=3(x+2)2-3D.y=3(x-2)2-3
7.A
8.(2012•潍坊)许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料,节约用气是我们日常生活中非常现实的问题.某款燃气灶旋转位置从0度到90度(如图),燃气关闭时,燃气灶旋转的位置为0度,旋转角度越大,燃气流量越大,燃气开到最大时,旋转角度为90度.为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量,在相同条件下,选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太小时,其火力不能够将水烧开,故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90),记录相关数据得到下表:
旋钮角度(度)
20
50
70
80
90
所用燃气量(升)
73
67
83
97
115
(1)请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律?
说明确定是这种函数而不是其它函数的理由,并求出它的解析式;
(2)当旋钮角度为多少时,烧开一壶水所用燃气量最少?
最少是多少?
(3)某家庭使用此款燃气灶,以前习惯把燃气开到最大,现采用最节省燃气的旋钮角度,每月平均能节约燃气10立方米,求该家庭以前每月的平均燃气量.
8.解:
(1)若设y=kx+b(k≠0),
由
,解得
,
所以y=
x+77,把x=70代入得y=65≠83,所以不符合;
若设
(k≠0),由73=
,解得k=1460,
所以y=
,把x=50代入得y=29.2≠67,所以不符合;
若设y=ax2+bx+c,
则由
,解得
,
所以y=
x2-
x+97(18≤x≤90),
把x=80代入得y=97,把x=90代入得y=115,符合题意.
所以二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律;
(2)由
(1)得:
y=
x2-
x+97=
(x-40)2+65,
所以当x=40时,y取得最小值65.
即当旋钮角度为40°时,烧开一壶水所用燃气量最少,最少为65升;
(3)由
(2)及表格知,采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50(升)
设该家庭以前每月平均用气量为a立方米,则由题意得:
a=10,
解得a=23(立方米),
即该家庭以前每月平均用气量为23立方米.
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