高中数学选择性必修三75 正态分布.docx
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高中数学选择性必修三75正态分布
7.5 正态分布
基础过关练
题组一 正态曲线及其特点
1.(2020山东潍坊临朐一中高三阶段检测)设随机变量X~N(μ,7),若P(X<2)=P(X>4),则( )
A.E(X)=3,D(X)=7
B.E(X)=6,D(X)=
C.E(X)=3,D(X)=
D.E(X)=6,D(X)=7
2.设X~N(μ1,
),Y~N(μ2,
),X和Y的正态密度曲线如图所示,则下列结论正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
D.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
3.(多选)(2020山东青岛胶州一中高二上期末)已知三个正态密度函数fi(x)=
(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.σ1=σ2B.μ1>μ3
C.μ1=μ2D.σ2<σ3
4.(多选)(2020湖南师大附中高二上期末)甲、乙两类水果的质量(单位:
kg)分别近似服从正态分布N(μ1,
)、N(μ2,
),其正态密度曲线如图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲类水果的平均质量μ1=0.4kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近
5.(2020山东菏泽一中高二月考)已知正态总体的概率密度函数为f(x)=
(x∈R),则总体的平均数和标准差分别是 , .
题组二 正态分布的概率计算
6.(2020重庆巴蜀中学高三适应性考试)已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X<1)=0.1,则P(3≤X≤5)=( )
A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4
7.(2020福建厦门高三线上质量检查)设随机变量X~N(μ,σ2),若P(X≤1)=0.3,P(1 A.1B.2C.3D.4 8.在某市的高二期末考试中,理科学生的数学成绩X~N(90,σ2),已知P(70 9.设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X (1)求c的值; (2)求P(-4≤X≤8). 附: 若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545. 题组三 正态分布的应用 10.已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量,在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ]和[μ-3σ,μ+3σ]内取值的概率分别约为68.3%,95.4%和99.7%.某大型国有企业为10000名员工定制工作服,设员工的身高(单位: cm)服从正态分布N(173,52),则适合身高在[163,183]范围内员工穿的工作服大约要定制( ) A.6830套B.9540套 C.9520套D.9970套 11.某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管,其口径误差X(单位: 微米)服从正态分布N(1,32),从已经生产出的枪管中随机取出一只,则其口径误差在区间(4,7]内的概率为( ) (若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.45%) A.31.74%B.27.18%C.13.59%D.4.56% 12.(2020四川德阳高三二模)随着国力的发展,人们的生活水平越来越好,我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状,合理制订学校体育卫生工作发展规划,某市进行了一次全市高中男生身高统计调查,数据显示全市30000名高中男生的身高X(单位: cm)服从正态分布N(172,σ2),且P(172≤X≤180)=0.4,试估计该市身高高于180cm的高中男生人数. 13.某工厂生产某款机器零件,因为要求精度比较高,所以需要对生产的一大批零件进行质量检测.首先由专家根据各种系数制定了质量指标值,从生产的大批零件中选取100件作为样本进行评估,根据评估结果作出如图所示的频率分布直方图. (1)(i)根据频率分布直方图求a及这100件零件的质量指标值的平均数μ; (ii)以样本估计总体,经过专家研究,零件的质量指标值X~N(μ,225),试估计10000件零件中质量指标值在[185,230]内的件数; (2)设每件零件利润为y元,质量指标值为x,利润y与质量指标值x之间满足函数关系y= 假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,试估算该批零件每件的平均利润.(结果四舍五入,保留整数) 参考数据: 若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. 能力提升练 题组一 正态分布及其概率计算 1.(多选)( )设随机变量X~N(0,1),f(x)=P(X≤x),其中x>0,则下列等式成立的有( ) A.f(-x)=1-f(x) B.f(2x)=2f(x) C.P(|X|≤x)=2f(x)-1 D.P(|X|>x)=2-f(x) 2.(2020广东佛山高三统一调研测试, )测量某一目标的距离时,所产生的随机误差X服从正态分布N(20,102),如果独立测量3次,至少一次测量误差在[0,30]内的概率是 . 附: 若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.95,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.99,0.1852≈0.03,0.1853≈0.006,0.8152≈0.66,0.8153≈0.541. 题组二 正态分布的应用 3.(2020海南海口第四中学高三上月考, )某市高三理科学生有30000名,在一次调研测试中,数学成绩X服从正态分布N(100,σ2),已知P(80≤X<100)=0.45,若按分层随机抽样的方式抽取200份试卷进行成绩分析,则应从120分以上的试卷中抽取( ) A.5份B.10份 C.15份D.20份 4.(2020河南名校高三线上联考, )某单位有800名员工,工作之余,工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动.经调查统计,得到全体员工近段时间日均健步走步数(单位: 千步)的频率分布直方图如图所示.根据直方图可以认为,该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布,计算得其方差为6.25.由此估计,在这段时间内,该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步(含2千步和4.5千步)的人数约为( ) 附: 若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.同一组的数据用该组区间的中点值代表. A.103B.105C.107D.109 5.(2020山东烟台高二下期中, )为了解高三复习备考情况,某校组织了一次阶段考试.高三全体考生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上的学生有80人,则此次参加考试的学生成绩在82.5分以下的概率为 ,如果成绩在135分以上的为特别优秀,那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有 人. (若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.96) 6.(2020湖南三湘名校联盟高三联考, )某学校为了解全校学生的体重情况,从全校学生中随机抽取了100人的体重数据,得到如下频率分布直方图,以样本的频率作为总体的概率. (1)估计这100人体重数据的平均值μ和方差σ2;(结果取整数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (2)从全校学生中随机抽取3名学生,记X为体重在[55,65)的人数,求X的分布列和数学期望; (3)由频率分布直方图可以认为,该校学生的体重Y近似服从正态分布N(μ,σ2).若P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)>0.9545,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常,并说明理由. 答案全解全析 7.5 正态分布 基础过关练 1.A ∵随机变量X~N(μ,7),且P(X<2)=P(X>4), ∴σ2=7,μ=3,∴E(X)=3,D(X)=7. 故选A. 2.D A项,由题图可知,直线x=μ1为X的正态密度曲线的对称轴,直线x=μ2为Y的正态密度曲线的对称轴,μ1<μ2,所以P(Y≥μ2)= P(X≤σ1),故B错;C项,对任意正数t,P(X>t) t),即有P(X≥t) t) t),因此有P(X≤t)≥P(Y≤t),故D正确.故选D. 3.AD 根据正态曲线关于直线x=μ对称,且μ越大,图象越靠近右边,所以μ1<μ2=μ3,B、C错误; 又σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,所以σ1=σ2<σ3,A、D正确.故选AD. 4.ABC 由题图可知,甲类水果的平均质量μ1=0.4kg,乙类水果的平均质量μ2=0.8kg,σ1<σ2,则A、B、C都正确,D不正确.故选ABC. 5.答案 0;2 解析 ∵正态总体的概率密度函数为f(x)= (x∈R),∴总体的平均数为0,标准差为2. 6.D ∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2),∴正态曲线关于直线x=3对称, 又P(X<1)=0.1,∴P(X>5)=0.1, ∴P(3≤X≤5)= = =0.4,故选D. 7.C 由于随机变量X~N(μ,σ2),满足P(X≤1)=0.3,P(1 因此P(X≥5)=1-0.3-0.4=0.3=P(X≤1),根据正态曲线的对称性可知μ= =3. 故选C. 8.答案 0.85 解析 ∵X~N(90,σ2),∴μ=90, 又P(70 ∴P(90≤X<110)=0.35, ∴P(X≥110)= =0.15, 则P(X<110)=1-0.15=0.85. ∴该学生的数学成绩小于110分的概率为0.85. 9.解析 (1)由X~N(2,9)可知,正态曲线关于直线x=2对称, 因为P(X>c+1)=P(X 所以2-(c-1)=(c+1)-2, 解得c=2. (2)由X~N(2,9)得μ=2,σ=3, 所以P(-4≤X≤8)=P(2-2×3≤X≤2+2×3)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545. 10.B 设身高为X,则X~N(173,52), ∴P(163≤X≤183)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954, 工作服大约要定制0.954×10000=9540套. 11.C P(4 [P(-5≤X≤7)-P(-2≤X≤4)] ≈ ×(0.9545-0.6827)=0.1359. 故选C. 12.解析 全市30000名高中男生的身高X(单位: cm)服从正态分布N(172,σ2),且P(172≤X≤180)=0.4, 则P(X>180)= =0.1, 所以该市身高高于180cm的高中男生人数大约为30000×0.1=3000. 13.解析 (1)(i)由10×(a+0.009+0.022+0.033+0.024+0.008+a)=1, 得a=0.002. μ=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200. (ii)由(i)知X~N(200,152), 所以P(185≤X≤230)≈ + =0.8186. 10000×0.8186=8186, 所以10000件零件中质量指标值在[185,230]内的件数约为8186. (2)由题意得 y=0.8×170×0.02+0.8×180×0.09+0.8×190×0.22+0.8×200×0.33+(0.16×210+200)×0.24+(0.16×220+200)×0.08+(0.16×230+200)×0.02=181.536≈182, 所以估计该批零件每件的平均利润为182元. 能力提升练 1.AC ∵随机变量X服从正态分布N(0,1), ∴正态曲线关于直线x=0对称, ∵f(x)=P(X≤x)(x>0), ∴根据正态曲线的对称性可得f(-x)=P(X>x)=1-f(x),所以A正确; f(2x)=P(X≤2x),2f(x)=2P(X≤x),所以B错误; P(|X|≤x)=P(-x≤X≤x)=1-2f(-x)=1-2[1-f(x)]=2f(x)-1,所以C正确; P(|X|>x)=P(X>x或X<-x)=1-f(x)+f(-x)=1-f(x)+1-f(x)=2-2f(x),所以D错误.故选AC. 2.答案 0.994 解析 由题意可知,在一次测量中误差在[0,30]内满足μ-2σ≤X≤μ+σ, 其概率P= P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)+ P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈ ×(0.95+0.68)=0.815, 测量3次,每次测量误差均不在[0,30]内的概率为(1-0.815)3=0.1853≈0.006, ∴独立测量3次,至少一次测量误差在[0,30]内的概率是1-0.006=0.994. 3.B 由题得P(X>100)=0.5, P(100 ∴P(X>120)=P(X>100)-P(100 ∴应从120分以上的试卷中抽取200×0.05=10份.故选B. 4.D 由频率分布直方图估计该单位员工日均健步走步数的均值μ=1×0.04+3×0.08+5×0.16+7×0.44+9×0.16+11×0.1+13×0.02=6.96≈7, 设日均健步走步数为X(单位: 千步),则X~N(7,6.25), ∴σ=2.5,则μ-σ=4.5,μ-2σ=2,∴P(2≤X≤4.5)≈ (0.9545-0.6827)=0.1359, ∵800×0.1359≈109,∴日均健步走步数在2千步至4.5千步(含2千步和4.5千步)的人数约为109,故选D. 5.答案 0.16;10 解析 P(X<82.5)=P(X<μ-σ)=0.5- ≈0.16, P(X>117.5)=P(X>μ+σ)=0.5- ≈0.16, 因为成绩在117.5分以上的学生有80人, 所以高三考生总人数约为 =500, P(X>135)=P(X>μ+2σ)=0.5- ≈0.02, 所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有500×0.02=10人. 6.解析 (1)μ=(47.5+72.5)×0.004×5+(52.5+67.5)×0.026×5+(57.5+62.5)×0.07×5=60. σ2=[(47.5-60)2+(72.5-60)2]×0.02+[(52.5-60)2+(67.5-60)2]×0.13+[(57.5-60)2+(62.5-60)2]×0.35≈25. (2)由题图可得从全校学生中随机抽取1名学生,其体重在[55,65)的概率为0.7. 随机抽取3人,相当于3重伯努利试验,随机变量X服从二项分布B(3,0.7), P(X=0)= ×0.70×0.33=0.027, P(X=1)= ×0.7×0.32=0.189, P(X=2)= ×0.72×0.3=0.441, P(X=3)= ×0.73×0.30=0.343, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 E(X)=3×0.7=2.1. (3)由题意知Y服从正态分布N(60,25), 则P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)=P(50≤Y≤70)=0.96>0.9545, 所以该校学生的体重是正常的.
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