2422直线与圆的位置关系之切线长定理.pptx
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直线与圆的位置关系之切线长定理,蓬莱大辛店中学徐岩,.,O,A,L,切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径,几何应用:
L是O的切线,OAL,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,几何应用:
2.与半径垂直,1.经过半径的外端;,切线的判定定理:
C,练习1:
已知:
AB是弦,AD是切线,判断DAC与圆周ABC之间的关系并证明.,E,在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长,O,P,A,B,切线与切线长的区别与联系:
(1)切线是一条与圆相切的直线,不可以度量;,
(2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长,可以度量。
切线长概念,若从O外的一点引两条切线PA,PB,切点分别是A、B,连结OA、OB、OP,你能发现什么结论?
并证明你所发现的结论。
PA=PB,OPA=OPB,证明:
PA,PB与O相切,点A,B是切点OAPA,OBPB即OAP=OBP=90OA=OB,OP=OPRtAOPRtBOP(HL)PA=PBOPA=OPB,试用文字语言叙述你所发现的结论,PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
切线长定理,几何语言:
反思:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法,我们学过的切线,常有五个性质:
1、切线和圆只有一个公共点;2、切线和圆心的距离等于圆的半径;3、切线垂直于过切点的半径;4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点;5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
六个,A,P,O,。
B,M,若连结两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?
并给出证明.,OP垂直平分AB,证明:
PA,PB是O的切线,点A,B是切点PA=PBOPA=OPBPAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线OP垂直平分AB,A,P,O,。
B,若延长PO交O于点C,连结CA、CB,你又能得出什么新的结论?
并给出证明.,CA=CB,证明:
PA,PB是O的切线,点A,B是切点PA=PBOPA=OPBPC=PCPCAPCBAC=BC,C,例.PA、PB是O的两条切线,A、B为切点,直线OP交于O于点D、E,交AB于C。
B,A,P,O,C,E,D,
(1)写出图中所有的垂直关系,OAPA,OBPB,ABOP,(3)写出图中所有的全等三角形,AOPBOP,AOCBOC,ACPBCP,(4)写出图中所有的等腰三角形,ABPAOB,(5)若PA=4、PD=2,求半径OA,
(2)写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,。
P,B,A,O,(3)连结圆心和圆外一点,
(2)连结两切点,
(1)分别连结圆心和切点,反思:
在解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形。
1.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
小结:
PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据。
必须掌握并能灵活应用。
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等,例:
如图,ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=8cm,BC=13cm,CA=12cm,求AF、BD、CE的长。
x,12x,x,12x,8x,8x,例题选讲,例.如图,ABC中,C=90,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F,且BD=12,AD=8,求O的半径r.,例.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B,并与圆O的切线分别相交于C、D,已知PA=7cm,
(1)求PCD的周长
(2)如果P=46,求COD的度数,E,1、如图,ABC中,ABC=50,ACB=75,点O是ABC的内心,求BOC的度数。
随堂训练,变式:
ABC中,A=40,点O是ABC的内心,求BOC的度数。
BOC=90+A,2、ABC的内切圆半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积。
(提示:
设内心为O,连接OA、OB、OC。
),O,A,C,B,r,r,r,知识拓展,若ABC的内切圆半径为r,周长为l,则SABC=lr,o,o,o,o,外切圆圆心:
三角形三边垂直平分线的交点。
外切圆的半径:
交点到三角形任意一个定点的距离。
三角形外接圆,三角形内切圆,内切圆圆心:
三角形三个内角平分线的交点。
内切圆的半径:
交点到三角形任意一边的垂直距离。
A,B,C,o,明确,1.一个三角形有且只有一个内切圆;,2.一个圆有无数个外切三角形;,3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点;,4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。
1、如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆O分别相切于点L、M、N、P,求证:
AD+BC=AB+CD,证明:
由切线长定理得,AL=AP,LB=MB,NC=MC,DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即AB+CD=AD+BC,补充:
圆的外切四边形的两组对边的和相等,提高题,2、如图,AB是O的直径,AD、DC、BC是切线,点A、E、B为切点,若BC=9,AD=4,求OE的长.,B,D,E,F,O,C,A,1、如图,ABC的内切圆的半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解:
设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF,,则ODAB,OEBC,OFAC.,SABCSAOBSBOCSAOC,ABODBCOEACOF,lr,设ABC的三边为a、b、c,面积为S,则ABC的内切圆的半径r,结论,有关圆的计算问题,A,B,C,E,D,F,O,如图,RtABC中,C90,BCa,ACb,ABc,O为RtABC的内切圆.求:
RtABC的内切圆的半径r.,设AD=x,BE=y,CEr,O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解:
设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F,连结OD、OE、OF则OAAC,OEBC,OFAB。
结论,A,B,C,E,D,F,O,如图,RtABC中,C90,BC3,AC4,O为RtABC的内切圆.
(1)求RtABC的内切圆的半径.
(2)若移动点O的位置,使O保持与ABC的边AC、BC都相切,求O的半径r的取值范围。
设AD=x,BE=y,CEr,O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解:
(1)设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F,连结OD、OE、OF则OAAC,OEBC,OFAB。
解得,r1,在RtABC中,BC3,AC4,AB5,由已知可得四边形ODCE为正方形,CDCEOD,RtABC的内切圆的半径为1。
(2)如图所示,设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。
A,B,O,D,C,OBBC3,半径r的取值范围为0r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。
基础题:
1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_.2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.3.O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切O于P点,交AB、BC于E、F,则BEF的周长是_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2cm,同学们要好好学习老师期盼你们快快进步!
切线长定理拓展,回顾反思,1.切线长定理,从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
回顾反思,2.三角形的内切圆、内心、内心的性质,知识拓展,拓展一:
直角三角形的外接圆与内切圆,1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在_,半径为_.,2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在_,半径r=_.,a,b,c,斜边中点,斜边的一半,三角形内部,知识拓展,3.已知:
如图,PA、PB是O的切线,切点分别是A、B,Q为O上一点,过Q点作O的切线,交PA、PB于E、F点,已知PA=12cm,P=70,求:
PEF的周长和EOF的大小。
知识拓展,4.RtABC中,C=90,a=3,b=4,则内切圆的半径是_.,1,5.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.,22cm,知识小结,直角三角形的外接圆与内切圆,1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在_,半径为_.,2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在_,半径r=_.,a,b,c,斜边中点,斜边的一半,三角形内部,课前训练,1、已知,如图,PA、PB是O的两条切线,A、B为切点.直线OP交O于点D、E,交AB于C.
(1)写出图中所有的垂直关系;
(2)如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.,知识拓展,2.已知:
两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线,PC、PD是小圆的两条切线,A、B、C、D为切点。
求证:
AC=BD,
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- 2422 直线 位置 关系 切线 定理