九年级一元二次方程专题复习doc.docx
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一元二次方程专题复习
【知识回顾】
1.灵活运用四种解法解一元二次方程:
一元二次方程的-•般形式:
做2+bx+c=0(dH0)
四种解法:
直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,公式法:
(戸一4必$0)
注意:
(1)一定要注意QHO,填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进;
(2)掌握一元二次方程求根公式的推导;
(3)主要数学方法有:
配方法,换元法,“消元”与“降次”•
2.根的判别式及应用(A=&2-4ac):
(1)一元二次方程ax2+加+c=0(a工0)根的情况:
1当A>0时,方程有两个不相等的实数根;
2当△=()时,方程有两个相等的实数根;
3当时,方程无实数根.
(2)判定一元二次方程根的情况;
(3)确定字母的值或取值范围。
3.根与系数的关系(韦达定理)的应用:
bc
韦达定理:
如一元二次方程ax1+Z?
x+c=0(«^0)的两根为,则西+无=——,占•匕=—a~a
适用题型:
(1)已知一根求另一•根及未知系数;
(2)求与方程的根有关的代数式的值;
(3)己知两根求作方程;
(4)已知两数的和与积,求这两个数;
(5)确定根的符号:
(西,召是方程两根);
(6)题冃给出两根Z间的关系,如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根
是/?
/△的两直角边求斜边等悄况.
注意:
(1)%]2+=(X]+兀2)~—2兀]•X,
(2)(x,-x2)2=(Xj+x2)2-4^-x2;x}-x2=+x2)2-4x,-x2
A>0
(3)①方程有两正根,贝iJ
-x2>0
A>0
2方程有两负根,贝IJ西+兀;
xl-x2>0
[A>0
3方程冇一正一负两根,贝叽“
[xA-x2<0
[A>0
4方程一根人于1,另一根小于1,贝几仃.、八
[(x,—l)(x2-l)<0
(4)应用韦达定理时,要确保一元二次方程有根,即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时,一•般把所求作得方程的二次项系数设为1,即以西,吃为根的一元二次方程为X2-U.十兀2)兀+西*2=0;求字母系数的值时,需使二次项系数QH0,同时满足△》();求代数式的值,常用整体思想,把所求代数式变形成为含有两根Z和坷+乞,两根Z积旺的代数式的形式,整体代入。
4.用配方法解一元二次方程的配方步骤:
例:
用配方法解4x2-6x+1=0
31
第一步,将二次项系数化为1:
x2--x+l=0,(两边同除以4)
24
第二步,移项:
x2--x=--
24
第三步,两边同加一次项系数的一半的平方:
兀2_?
兀+(丄)2=_丄+(?
)2
2444
35
第四步,完全平方:
(兀—2)2=丄
416
笫五步,直接开平方:
X———±-^-,HP:
Xj=+-^―+—,——4-—
44|44~44
5.一元二次方程的应用:
解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程。
最后还要注意求出的未知数的值,是否符合实际意义。
【中考考点】①利用一元二次方程的意义解决问题;
2用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形(换元法);
3考杳配方法(主要结合函数的顶点式来研究);
4一元二次方程的解法;
5一元二次方程根的近似值;
6建立一元二次方程模型解决问题;
7利用根的判别式求方程屮字母系数的值和利用根与系数关系求代数式的值;
8与一元二次方程相关的探索或说理题;
9与其他知识结合,综合解决问题。
一元二次方程的定义与解法
>【要点、考点聚焦】
1.加深理解一元二次方程的有关概念及一元二次方程的一般形式or?
+bjc+c=O(dHO);
2.熟练地应用不同的方法解方程;直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法;并体会“降幕法”在解方程中的含义.(其屮配方法很重要)
>【课前热身】
1.当€/=时,方程ax2+3x4-1=0是一元二次方程.
2.已知x=l是方程#+妙+2=0的一个根,则方程的另一根为.
3.一元二次方程x(x-\)=x的解是.
4.若关于兀的一元二次方程祇2+^+c=0(gH0),一rid+b+c=O,则方程必有一根为・
5.用配方法解方程x2-4x+2=0,则下列配方正确的是()
A.(x—2尸=2B.(x+2)2=2C.(x-2)2=-2D.(x-2)2=6
>【典型例题解析】
1、关于兀的一元二次方程(or-l)(or-2)=〒-2兀+6中,求。
的取值范围.
2、己知:
关于兀的方程x2-6%+m2-3m-5=0的一个根是-1,求方程的另一个根及加的值。
3、用配方法解方程:
2x2-x-1=0
>【考点训练】
1、关于兀的一元二次方程(a-l)x2+x+a2-\=0的一个根是0,则d的值为()
A.1B.—1C.1或一1D.—
2
2、解方程3(12%-1)2=4(12x-1)的最适当的方法()
A.直接开平方法B.配方法C.因式分解法D.公式法
3、若a-b+c=0,贝ij一元二次方程“+bx+c=0有一根是()
A.2B.1C.0D.-1
4、当k时,伙2一9庆+仗_5)兀_3=0不是关于兀的一元二次方程.
5、已知方程3/-2尤+1=4,贝I」代数式12x2-8x+3=・
6、解下列方程:
(1)(乂一1)~=4;
(2)x~—2x—3=0(3)2t~—7t—4=0(用配方法)
一元二次方程根的判别式
>【要点、考点聚焦】
1.一元二次方程做$+以+C=0(67H0)根的情况与△的关系;
2.一元二次方程根的判别式的性质反用也成立_,即己知空]情况:
可以得到一个等響不等式,从血确定系数的
值或取值范围'〜匕切记:
不要忽略d一
>【课前热身】
1.若关于X的一元二次方程x2-2x+l=0有实数根,则加的取值范围是()
A.m<1B.加<1且加HOC.mC1D.mW1且加HO
2.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为()
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根
3.已知关于兀的一元二次方程x2+4x+m-l=0.请你为加选取一个合适的整数,当加=时,得
到的方程有两个不相等的实数根;
4.若关于兀的方程兀2+(2—1)卄疋_?
=0有两个相等的实数根,求£的取值范围。
>【典型考题】
1.已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-l)x+m+l=0,当加为何非负整数时:
(1)方程只有一个实数根;
(2)方程有两个相等的实数根;(3)方程有两个不等的实数根.
2.已知a,b,c是三角形的三条边,求证:
关于兀的方程b2x2+(b2+c2-a2)x-^-c2=0没有实数根.
【课时训练】
1、一元二次方程^-2x-l=°的根的情况为()
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根
2、已知关于兀的一元二次方程x2-m=2x有两个不和等的实数根,则加的取值范囤是()
A.m>-1B.m<-2C.m0D.m 3、一元二次方程(1-幻无2一2兀_i=o冇两个不相等的实数根,则R的取值范围是. 4、求证: 关于兀的方程兀2+0+1)兀+—1=0有两个不相等的实数根。 强化训练 一、填空题 1、关于兀的方程(m-3)x2-V3x-2=0是一元二次方程,则加的取值范围是. 2、若b(b0)是关于兀的方程2〒+b+b=0的根,则2b+c的值为. 3、方程x2-3x+1=0的根的情况是・ 4、写出一个既能直接开方法解,又能用因式分解法解的一元二次方程是. 5、在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a^b=a(a-by根据这个规则,方程(x+2)*5=0的解为 6、如果关于兀的一元二次方程总'―2兀-1=0有两个实数根,则£的取值范围是o 7、设西,兀? 是—元二次方程gF+bx+c=0的两个根,则代数式d(彳+兀;)+方(彳+x;)+c(兀]+花)=0的值为 二、选择题 1、关于兀的方程x2-kx+k-2=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定 2、已知方程j^4-Ax+a=0有一个根是p(a#Q),则下列代数式的值恒为常数的是() A>abB>—C^D、a—A b 3、方程3x2+27=0的解是() A.x=±3B.X=-3C.X=0D.无实数根 4、若关于兀的一元二次方程2x(总—4)—兀2+6=0没有实数根,那么£的最小整数值是() A.1B.2C.3D."I 5、如果。 是一元二次方程x2-3x+/h=0的一个根,一。 是一元二次方程x2+3x-m=0的一个根,那么Q的值是() A、1或2B、0或一3C、一1或一2D、0或3 6、设加是方程x2+5x=0的綾人的一根,〃是方程x2-3x+2=0的綾小的一根,则m+n=() A.-4B.-3c.1D.2 三、解答题 1、用配方法解下列方程: 3x2-\=4xax2+abx—2=Q(a>0)a(x-b)2+c=0(a丰0) 2、已知方程2x2+伙-9)兀+伙2+3k+4)=0有两个相等的实数根,求R值,并求出方程的根。 3、已知是AABC的三条边长,且方程(a2+/72)x2-2cx+l=0有两个相等的实数根,试判断AABC的形 状。 4^己知关于兀的一元二次方程十-2nvc-3m2+Sm-4=0. (1)求证: 原方程恒有两个实数根; (2)若方程的两个实数根一个小于5,另一个大于2,求加的取值范围. 5、方程(2008x)2-2007x2009%-1=0的较人根为q,方程%2-2008%-2009=0的较小根为b,求 (a+疔009的值. 综合测试 基础部分: 1若关于x的二次方程(m+l)x2-3x+2=0有两个相等的实数根,则m二 2设方程x2+3x-4=°的两根分别为西,花,则坷+勺二,州・勺二 Xj2+兀[兀2+3兀[二 3若方程x2-5x+m=o的一个根是1,则m= 4两根之和等于一3,两根Z积等于一7的最简系数的一元二次方程是 5已知方程2x2+(k-l)x-6二0的一个根为2,则k二 6若关于x的一元二次方程mx2+3x-4二0有实数根,则m的值为 7方程kx2+l=x-x2无实根,则k 8如果x2・2(m+l)+m2+5是一个完全平方公式,则m=。 9若方程x2+mx-15二0的两根之差的绝对值是8,则nF。 10若方程x2-x+p=0的两根Z比为3,则p二。 11在实数范围内分解因式: x2-2x-l= 12方程(兀一1)(兀+3)=12化为ax2+hx+c=0形式后,a>b>c的值为 (A)1,-2,-15(B)1,一2,15 (C)-h2,15(D)-1,2,-15 13方程(^2+一2)=0的解的个数是 14方程ax2+bx+c=°的两个根是xl,x2,则cix2+bx+c分解因式的结果是(A)ax2+Z? x+c=(x-x1)(x-x2) (B)处2+b兀+c=(仮_兀|)(仮_兀2) (C)CLX2+/? x+c=<7(X+XjX^+-V2) (D)+Z? %+c=a(x-x1)(x-x2)15方程2(加2-1)兀+3加=。 的两个根是互为相反数,则m的值是 (A)加=±1(B)m=-l(C)加=1(D)m=O 16若方程2x(kx-4)—x2+6二0没行实数根,则k的最小整数值是 A、x2—6x—7=0 B>x2—6x+7二0 17—元二次方程一根比另一根人8,且两根之和为6,那么这个方程是 C、x2+6x—7=0D、x2+6x+7二0 18若方程x2+px+q=0的两根之比为3: 2,则p,q满足的关系式是 (A)3p2=25q(B)6p2=25q(C)25p2=3q(D)25p2二6q 丄an+—bm+c 19方程ax2+bx+c二0(a^O)的两根Z和为m,两根平方和为n,则22的值为 A^0B>m2+n2C>m2D、n2 20若一元二次方程的两根xl>x2满足下列关系: xlx2+xl+x2+2二0,xlx2-2xl-2x2+5二0.则这个元二次方程是 () A、x2+x+3二0x2-x-3=0C、x2-x+3=0D、x2+x~3=0 (-x+2)2-4=0 解方程: 1、2 2、x2+6x+6=0 3、 (2兀_3)~—5(2兀一3)+6=0 4、(3兀+2)2=4(兀-3)2 5、12x2-x+6=0 6(x-—4x+12—4^/3 综合部分: EI兀2 1.方程3X2-X-1=°的两个根是Xl,x2,求代数式兀2+1E+1的值。 2.已知坷'兀2是一元二次方程2x2+3x-1=0的两根,求以兀1+兀2必•兀2为根的方程。 3、一元二次方程也'-(2'-1)兀+'+2=0,当k为何值时,方程冇两个不相等的实数根? •已知关于x的方程x2+2x+m-l=0 (1)若1是方程的一个根,求加的值 (2)若方程有两个不相等的实数根,求加的取值范围 2 6.关于x的方程(d+c)“+bx-(2c-a)=°的两根之和为—i,两根之差为1 (1)这个方程的两个根 (2)求a: b: c 7.已知a,B是方程4x2+(mT)x+3二0的两根,且(a-p)2=16,m<0.求证: 11 1 &已知Xl,X2是关于X的方程x2-(2m+3)x+m2二0的两个实数根,求证: 西=1时沪3 9.一元二次方程8x2-(m-l)x+m-7=0,(l)m为何实数时,方程的两个根互为相反数? ⑵m为何实数时,方程的一个根为零? ⑶是否存在实数ni,使方程的两个根互为倒数? 拓展部分: 1已知方程x2-4x-2m+8=0的两根一个人于1,另一个小于1,求m的取值范围. 10.—元二次方程(m+l)x2+加x+m-3二0有两个不相等的实数根,并且这两个根乂不互为相反数, (1)求m的取值范围; (2)当m在取值范围内取得最小偶数吋,方程的两根为xl,x2,求(3x12)(1-4x2)的值. 3 11.关于x的方程x2-mx-4叶1=0①与2x2-(ni+6)x-m2+4=0②,若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根,求m的值. 12.若方程m2x2-(2m-3)x+l=0的两个实数根的倒数和是s,求s的取值范围. 13.已知: AABC的两边AB,AC是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2二0的两个实数根,第三边BC的长为 5,(l)k为何值时,AABC是以BC为斜边的直角三角形; (2)k为何值时,AABC是等腰三角形,并求出此时ZXABC的周长. 14.关于x的方程"-2°-1)兀+疋=0有两个实数根xl,x2・ (1)求k的取值范围; (2)若1舛+兀2卜恥2-1,求k的值。 15.关于的一元二次方程x2+2x+k+l=0的实数解是xl和x2. (1)求k的取值范围; (2)如果xl+x2-xlx2<一1且k为整数,求k的值。 16.已知关于x的方程疋+2«-1)兀+/—7Q-4=0的两根为旺、乙,且满足召兀2-3召-3兀2-2=0.求 4a+2 (1+) ”-4a的值。 17.(2011台北市中考)若一元二次方程式d(x+D+(x+l)(x+2)+加(兀+2)=2的两根为°、2,则卩卅刎Z 值为何? ()(A)2(B)5(C)7(D)8 18已知二次方程x2-3x+l=0的两根为a,B,求: 丄+丄 (1)"0 (2)"-0|(3)W(4)宀 ⑶八0: ⑷刃+0’ 19.关于X的方程X+(2—I)m=0只有整数根,关于y的一元二次方程伙一1))'-3)'+心0的两个实数根 为X、儿。 (1)当*为整数时,确定k的值。 (2)在 (1)的条件下,若m=2,求*+〉',的值。
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