高数大一上学期知识要点概要.docx
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高数大一上学期知识要点概要
总复习(上
一、求极限的方法:
1、利用运算法则与基本初等函数的极限;
①、定理若lim
(,lim(fxAgxB==,则(加减运算lim[((]fxgxAB
+=+
(乘法运算lim((fxgxAB
=
(除法运算(0,lim
(
fxAB
gxB
≠=若
推论1:
lim(,lim[(][lim(]n
n
n
fxAfxfxA===(n为正整数
推论2:
lim
([lim(]cfxcfx=
②结论
结论2:
(fx是基本初等函数,其定义区间为D,若0xD∈,则
0lim((xxfxfx→=
2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质;
①定义1:
若
lim(0xx
fx→=或(lim(0xfx→∞=
则称
(fx是当0xx→(或x→∞时的无穷小.
定义2:
αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小:
若lim
1βα
=,则称α与β是等价无穷小,记为α
β
.
②性质1:
有限个无穷小的和也是无穷小.性质2:
有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1:
常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2:
有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理2(等价无穷小替换定理设~,~ααββ'',
且lim
βα''
存在,则
(因式替换原则
常用等价无穷小:
sin~,tan~,arcsin~,arctan~,xxxxxxxx
((2
12
1cos~
1~,11~,ln1~,x
xxexxxxxμ
μ--+-+
1~ln,x
axa-(0→x
3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则;
①准则I(夹逼准则若数列,,n
nnxyz(n=1,2,…满足下列条件:
(1(,,,nnnyxzn≤≤=123;
(2
limlimnnnnyza
→∞
→∞
==,
则数列n
x的极限存在,且lim
nnxa→∞
=.
②准则II:
单调有界数列必有极限.
4、利用两个重要极限。
sinlim
1xxx
→=1
lim(1
x
xxe→+=1lim(1x
xex
→∞
+
=
5、利用洛必达法则。
未定式为0,,,0,00∞∞∞-∞⋅∞∞
类型.①定理(x
a→时的
型:
设
(1lim
(lim(0xa
xa
fxFx→→==;
(2在某(,Uaδ
内,(fx及(Fx都存在且(0Fx≠;
((3lim
(
xa
fxFx→''存在(或为无穷大
二、求导数和微分:
1.定义
①导数:
函数(yfx=在0xx=处的导数:
00000
((
((
(lim
lim
.xxxfxfxfxxfxfxxxx
→∆→-+∆-'==-∆
函数
(yfx=在区间I上的导函数:
((
(lim
.xfxxfxdyfxx
dx
∆→+∆-==
∆
②函数的微分:
(.dyfxdx'=
2.导数运算法则(须记住P140导数公式
①函数和差积商求导法则:
函数(ux、(vx可导,则:
(((((uxvxuxvxαβαβ'''+=+
(((((((.uxvxuxvxuxvx'''=+
(
2
((0
uuvuvvxvv
''-''=≠
②反函数求导法则:
若(xyϕ=的导数存在且(
0yϕ'≠,
则反函数
(yfx=的导数也存在且为
1
(.(
fxyϕ'=
'
③复合函数求导法则(链式法则:
(uxϕ=可导,(yfu=可导,
则
((yfxϕ=可导,且
.dydydudx
dudx
=
④隐函数求导法则:
⑤参数方程求导法则:
(,(
xtytϕψ=⎧⎨=⎩
若(
0tϕ'≠则
((
dytdx
tψϕ'=
'.
2
2
((
(
1(
tdydddytdxdxdx
dx
dt
dt
ψϕ''=
=⋅
3.微分运算法则
三、求积分:
1.概念:
原函数、不定积分。
定积分是一个数,是一个和的极限形式。
1
(lim
(n
biia
ifxdxfxλξ→∞
==∆∑
⎰
性质1:
(0,((aa
ba
b
a
fxdxfxdxfxdx
=-
=
⎰
⎰
⎰
性质2:
[((]((b
bba
a
a
fx
gxdxfxdxgxdx
+=
+
⎰
⎰
⎰
性质3:
((,(.b
b
a
a
kfxdxkfxdxk=⎰
⎰是常数
性质4:
(((cc
bba
a
fxdxfxdxfxdx=
+
⎰
⎰
⎰
(去绝对值,分段函数积分
性质5:
ba
dxba
=-⎰
2.计算公式:
P186基本积分表;P203常用积分公式;
①第一换元法(凑微分:
(
(
(((((((uxuxfxxdxfxdxfuduϕϕϕϕϕϕ==⎡⎤'=
=
⎣⎦⎰
⎰
⎰
2
1
arcsinarccos,
111
(,2
dxdxdx
dxddxd
xx
==-
=-=
②第二换元法:
(
2.((((
xt
fxdxfttdt
ϕ
ϕϕ
=
'
=
⎰⎰
③分部积分法:
3.((((((uxvxdxuxvxuxvxdx''=-⎰⎰
udvuvvdu
=-⎰⎰(反对幂指三”,前,后uv'
④有理函数积分:
混合法(赋值法+特殊值法确定系数
循环解出;递推公式分部化简;
⑤牛顿莱布尼茨公式:
4.((([(](((b
b
a
a
fxdxFbFaFxFxfx'=-==⎰其中
⑥定积分换元法:
5.
((((((ba
fxdxfttdt
abβ
α
ϕϕϕαϕβ'=
⎰
⎰=(=
(换元换限,配元(凑微不换限
⑦定积分分部积分法:
[]6.((((((bb
b
aa
a
uxvxdxuxvxuxvxdx
''=-⎰
⎰
⑧结论(偶倍奇零:
①若函数(fx为偶函数,则
(2(aa
a
fxdxfxdx
-=⎰⎰。
②若函数(fx为奇函数,则
(0a
a
fxdx-=⎰
注意:
1.利用“偶倍奇零”简化定积分的计算;
2.定积分几何意义求一些特殊的积分(如2
4
aaπ=
⎰
⑨变限积分求导
四、微分和积分的应用
1.判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形
①判断单调性:
第一步:
找使
(0fx'=的点和不可导点。
第二步:
以驻点和不可导点划分单调区间,在每个区间上讨论
(fx'的正负,(0,fx'>函数递增,
(0,fx'<
函数递减。
②判断凹凸性:
第一步:
找使
(0fx''=的点和不可导点。
第二步:
以这些点划分定义区间,在每个区间上讨论(fx''的正负,(0fx''>,是凹区间,
(0fx''<,是凸区间。
(拐点:
左右两边(fx''的符号相反
③判断函数极值:
第一步:
找使
(0fx'=的点和不可导点。
第二步:
判断这些点两边(fx'的正负,若左正右负极大值点
左负右正极小值点。
2.1定积分的几何应用---求面积,体积和弧长
所求图形的面积为:
[((]ba
S
fxf
xdx
=
-⎰
下
上
所求图形的面积为:
[((]d
c
Syydyϕϕ=
-⎰
右左
y+y+
-
旋转体:
由连续曲线y=f(x、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体。
旋转体:
由连续曲线(xyϕ=、直线y=c、y=d及y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体
2
[(]d
c
Vydy
πϕ=
⎰
⎰b
a
[f(x]2
πdx=π⎰b
a
[f(x]2
dx。
2.3定积分的物理应用
变力沿直线做功;水(侧压力;引力
思路:
建立坐标系,选取积分变量(如x,在[x,x+dx]上给出微元
第六空间解析几何1.
向量xyzaaiajak
=++
在坐标轴上的投影分别为:
,xyz
aaa;在坐标轴上的分量分别为:
,xyzaiajak
。
||a→
=
(cos,cos,cos||
a
aeaαβγ==
2.利用坐标作向量的线性运算
(,,,xyzaaaa=
(,,,xyzbbbb=ab±=
(,,xxyyzzababab±±±,
aλ=
(,,xyzaaaλλλ,
数量积(数:
||||cos(,xxyyzzabababababab∧⋅=++=
向量积(向量
x
yzx
y
z
ijkabaaabbb⨯=
aba
⨯⊥,abb⨯⊥
且ab
⨯,
ab
构成右手系,
rrrrrÙr|a´b|=|a||b|sin(a,b(几何意义:
平行四边形的面积3.向量之间的关系rrrra^bÛa×bÛaxbx+ayby+azbz=0rrrraxayaza//bÛ==(Ûa´b=0Ûaxbxbybzbx4.平面图形及其方程平面的法向量:
和平面垂直的非零向量。
①点法式方程:
rirjaybyrkaz=0)bzr设平面过点M0(x0,y0,z0法向量n=(A,B,C(其中A,B,C不全为0,则平面的方程为A(x-x0+B(y-y0+C(z-z0=0Ax+By+Cz+D=0②一般方程:
[当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;当A=0时,By+Cz+D=0表示平行于x轴的平面;Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面;Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面Cz+D=0表示平行于xoy面的平面;Ax+D=0表示平行于yoz面的平面;By+D=0表示平行于zox面的平面]ur设平面∏的法向量为n=(A,B,C1,11uu1r平面∏的法向量为n2=(A,B2,C2,212则两平面夹角q的余弦为:
cosq=平面外一点n1×n2n1n2。
P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:
d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C25.空间直线及其方程①一般方程:
直线可视为两平面交线,其一般式方程为:
11
ìA1x+B1y+C1z+D1=0íîA2x+B2y+C2z+D2=0方向向量:
②点向式方程rrrs=n1´n2xr-x0y-y0z-z0==n=p方向向量:
sm(m,n,pìx=x0+mt③参数方程(求交点ïíy=y0+ntïz=z+pt0î④.线与线的关系x-x1y-y1z-z1直线L1:
==,s1=(m1,n1,p1m1n1p1x-x2y-y2z-z2直线L2:
==,s2=(m2,n2,p2m2n2p2L1^L2s1×s2=0m1m2+n1n2+p1p2=0m1n1p==1m2n2p2L1//L2s1´s2=0夹角公式:
cosj=s1×s2s1s2⑤面与线间的关系平面P:
Ax+By+Cz+D=0,n=(A,B,Cx-xy-yz-z直线L:
==,s=(m,n,pmnpmnp==L⊥Ps´n=0ABCL//Ps×n=0mA+nB+pC=012
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