初中数学学科知识.docx
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初中数学学科知识
1.1实数
第一章数与代数
核心考点提示
1.了解实数、有理数、无理数、代数式、整式、分式等概念,并掌握其相应的运算法则。
2.掌握基本的因式分解的方法:
提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法、分组分解法。
3.掌握解方程的基本方法,会解一元一次方程、二元一次方程。
第一节实数
一、实数的概念★★
(一)实数的组成
实数有理数整数
正整数零负整数
分数正分数负分数有限小数或无限循环小数
无理数正无理数负无理数无限不循环小数
(二)数轴
画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。
任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。
数轴上面一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。
(三)相反数
如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。
在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且到原点的距离相等。
(四)绝对值
|a|=a(a>0)
|a|=0(a=0)
|a|=-a(a<0)
1.在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
2.正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。
两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
(五)倒数
乘积为1的两个数互为倒数。
1.a的倒数是1/a(a≠0)。
2.0没有倒数。
3.若a与b互为倒数,则ab=1。
二、实数的运算★★
(一)加法
1.同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。
2.异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3.一个数与0相加,仍得这个数。
(二)减法
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
(三)乘法
1.两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。
2.任何数与0相乘得0。
3.乘积为1的两个有理数互为倒数。
(四)除法
1.除以一个数等于乘一个数的倒数。
2.0不能作除数。
(五)乘方
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,a叫底数,n叫次数。
(六)混合顺序
在同一个式子里,先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。
1.2代数式
第二节代数式
一、代数式★
(一)代数式的概念
用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式(单个的数字或单个字母也是代数式)。
(二)代数式的值
用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。
(三)代数式的分类
代数式有理式整式单项式多项式分式
无理式(二次根式)
二、整式★★★
(一)整式基本概念
1.整式
不含除法运算或分数,以及虽含有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数式者,称为整式。
2.整式的分类
整式单项式(定义系数次数)
多项式(按同类项次数升或降幂排列)
3.单项式
只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
一个单项式中所有字母指数的和叫做这个单项式的指数.。
4.多项式
几个单项式的和,叫做多项式。
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
多项式中的符号,看作各项的性质符号。
一元n次多项式最多有n+1项。
多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
(1)把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列。
(2)把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
5.同类项
所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项,叫做同类项。
掌握同类项的概念时应注意:
(1)判断几个单项式或项是否是同类项,要掌握两个条件:
①所含字母相同。
②相同字母的指数也相同。
(2)同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关。
(3)所有常数项都是同类项。
(4)合并同类项。
①合并同类项的概念
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
②合并同类项的法则
同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
③合并同类项步骤
准确地找出同类项;逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变;写出合并后的结果。
④合并同类项应注意事项
如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0。
不要漏掉不能合并的项。
只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式)。
1.3方程与方程组
第三节方程与方程组
一、一元一次方程★★
(一)基本概念
含有未知数的等式叫做方程。
在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。
通常形式是ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)。
其中a是未知数的系数,b是常数。
等式性质:
1.等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式,等式仍然成立。
2.等式两边同时乘一个数或除以同一个不为0的数,等式仍然成立。
3.等式两边同时乘方(或开方),等式仍然成立。
解方程一般依据等式的这三个性质。
(二)方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
1.解一元二次方程的一般步骤
(1)去分母——等式的性质2
(2)去括号——分配律
(3)移项——等式的性质1
(4)合并——分配律
(5)系数化为1——等式的性质2
(6)验根——把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等
2.解一元一次方程的注意事项
(1)分母是小数时,根据分数的基本性质,把分母转化为整数;
(2)去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,此时不含分母的项切勿漏乘,分数线相当于括号,去分母后分子各项应加括号;
(3)去括号时,不要漏乘括号内的项,不要弄错符号;
(4)移项时,切记要变号,不要丢项,应先合并再移项,以免丢项;
(5)系数化为1时,方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数,不要弄错符号;
(6)不要生搬硬套解方程的步骤,具体问题具体分析,找到最佳解法。
(三)列方程解应用题的一般步骤
1.审题
分析题意,弄清哪些是已知量,哪些是未知量及它们之间的数量关系。
2.设未知数
设未知数有直接和间接两种,恰当地设未知数有利于列方程和解方程。
3.找等量关系
根据已知条件找出等量关系列方程或方程组。
4.列方程
5.解方程
6.检验
7.写出答案
2.1不等式及其基本性质
第二章不等式
核心考点提示
1.掌握不等式的基本性质,以及不等式证明的基本方法,熟记常见的重要不等式。
2.掌握求解常见不等式方程(分式不等式、绝对值不等式、一元二次不等式、指数不等式、对数不等式等)的基本方法。
3.了解不等式的基本应用以及简单的线性规划问题的基本方法。
第一节不等式及其基本性质
一、不等式的概念★
用不等号“>”“<”“≥”“≤”或“≠”连接两个代数式表示不等关系的式子叫不等式。
不等式分为严格不等式和非严格不等式。
二、不等式的基本性质★
1.如果x>y,那么yy;(对称性)
2.如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)
3.如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z;(加法法则)
4.如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz 5.如果x>y,z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y,z<0,那么x÷z 6.如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;(充分不必要条件) 7.a>b,ab>01/a<1/b;(倒数法则) 8.a>b,ab>0an>bn(n∈N*且n>1);(乘方法则) 9.含有绝对值不等式的性质: (1)|a|+|b|≥|a+b|; (2)|a|-|b|≤|a+b|; (3)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|。 三、不等式的证明★★★ (一)比较法 比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。 1.差值比较法 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质: “若a-b≥0,则a≥b;若a-b≤0,则a≤b”。 其一般步骤为: (1)作差: 观察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体; (2)变形: 把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段; (3)判断: 根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论。 应用范围: 当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 2.商值比较法 商值比较法的理论依据是: “若a,b∈R+,ab≥1,则a≥b;ab≤1,则a≤b”.其一般步骤为: (1)作商: 将左右两端作商; (2)变形: 化简商式到最简形式; (3)判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1。 应用范围: 当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法。 (二)综合法 从已知条件或已经证明的不等式出发,根据不等式的性质、基本不等式或函数单调性直接证出待证不等式。 (三)分析法 从待证的不等式出发分析使这个不等式成立的充分条件,直至使不等式成立的条件都已具备,就可确定待证不等式成立,这种思想通常简单地称为“执果索因”。 (四)缩放法 2.2解不等式 第二节解不等式 一、分式不等式的解法★ (一)化分式不等式为标准型 方法: 移项,通分,右边化为0,左边化为f(x)g(x)的形式。 (二)将分式不等式转化为整式不等式求解 具体解法如下: 1.f(x)g(x)>0f(x)g(x)>0; 2.f(x)g(x)<0f(x)g(x)<0; 3.f(x)g(x)≥0f(x)g(x)≥0, g(x)≠0; 4.f(x)g(x)≤0f(x)g(x)≤0, g(x)≠0. 例1解不等式: x-3x+7<0。 解法1: 化为两个不等式组来解: ∵(x-3)*(x+7)<0 ∴x-3>0,x+7<0,或x-3<0,x+7>0, 由x-3>0,x+7<0,得x∈, 由x-3<0,x+7>0,得-7 ∴原不等式的解集是{x|-7 解法2: 化为二次不等式来解: ∵(x-3)(x+7)<0,∴-7 ∴原不等式的解集是{x|-7 第三节二元一次不等式(组)与简单线性规划问题 一、二元一次不等式(组)与平面区域★★ (一)基本概念 1.二元一次不等式 含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式。 2.二元一次不等式组 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 3.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。 注意: 有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标。 于是,二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合。 (二)二元一次不等式的表示区域 二元一次不等式Ax+By+C>0(<0)在直角坐标系中表示Ax+By+C=0某侧所有点组成的平面区域.直线叫做这两个区域的边界。 若是“>”号,则区域不包括边界,直线画为虚线.若是“≥”号,则区域包括边界,直线画为实线。 判断二元一次不等式表示平面区域的方法: 直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同,只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域,C≠0时,常把原点作为特殊点。 例1画出下列不等式表示的区域 (1)(x-y)(x-y-1)≤0; (2)x≤|y|≤2x. 解: (1)原不等式可化为x-y≥0,x-y-1≤0, 0≤x-y≤1或x-y≤0 x-y≥1矛盾无解, 故点(x,y)在一带形区域内(含边界)。 (2)由x≤2x,得x≥0;当y>0时,有x-y≤0, 2x-y≥0,点(x,y)在一三角形区域内(含边界); 当y≤0,由对称性得出。 例2画出不等式组x-y+5≥0, x+y≥0, x≤3,表示的平面区域. 解: 不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合,x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合,x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域为三角形区域。 3集合与简易逻辑 第一节集合的概念及表示方法 一、集合的概念★★ 集合: 某些指定的对象集在一起就成为一个集合.构成集合的每个对象(或成员)称为集合的元素. 空集: 不含任何元素的集合叫做空集. 全集: 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集. 子集: 对于两个集合A与B,如果A中任何一个元素都是集合B的元素,则集合A是B的一个子集.记作: AB,或BA. 真子集: 对于两个集合A与B,若A是B的子集且B中至少存在一个元素不属于A,则称A是B的真子集,记作: AB,或BA. 交集: 由n个元素所组成的集合,其子集个数为2n个,真子集的个数为2n-1个. 空集是任何集合的子集.这个结论在解题时容易忽略. 集合通常用英语大写字母A、B、C…表示,它们的元素通常用英语小写字母a、b、c…表示. 如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A,读作“a属于A”.如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA,读作“a不属于A”. 常用的数集及其符号: N: 非负整数集(或自然数集) N*或N+: 正整数集(或自然数集去掉0) Z: 整数集 Q: 有理数集 R: 实数集 二、集合的表示方法★ 1.列举法 把集合的元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是: 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 3.区间表示法和图示法 4.韦恩(Venn)图 用一条封闭曲线(内部区域)直观地表示集合及其关系的图形称为韦恩图. 注: 有限集常用列举法表示,而无限集常用描述法或区间表示法表示. 例用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合; (3)由大于10小于20的整数组成的集合. 解: (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)方程x2-2=0有两个实数根2,-2,因此,用列举法表示为: A={2,-2}. (3)大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为: B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}. 第二节集合的运算 一、交集★ 由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集,记为A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}. 说明: 两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的公共元素组成的集合. 二、并集★ 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的并集,记为A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}. 说明: 两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A与B的元素组成的集合(重复元素只看成一个元素). 第三节简易逻辑 一、四种命题的基本概念★★ 1.在数学中,用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆命题. 3.如果原命题为“若p,则q”,则它的否命题为“若,则”. 4.四种命题之间的关系 5.四种命题的真假性 (1)原命题为真,它的逆命题不一定为真; (2)原命题为真,它的否命题不一定为真; (3)原命题为真,它的逆否命题一定为真. 例1把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题. (1)正三角形的三内角相等; (2)全等三角形的面积相等; (3)已知a,b,c,d是实数,如果a=b,c=d,那么a+c=b+d. 解: (1)原命题: 若一个三角形是正三角形,则它的三个内角相等. 逆命题: 若一个三角形的三个内角相等,则这个三角形是正三角形(或写成: 三个内角相等的三角形是正三角形). 否命题: 若一个三角形不是正三角形,则它的三个内角不全相等. 逆否命题: 若一个三角形的三个内角不全相等,那么这个三角形不是正三角形(或写成: 三个内角不全相等的三角形不是正三角形). (2)原命题: 若两个三角形全等,则它们的面积相等. 逆命题: 若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等(或写成: 面积相等的两个三角形全等). 否命题: 若两个三角形不全等,则这两个三角形面积不相等(或写成: 不全等的两个三角形的面积不相等). 逆否命题: 若两个三角形面积不相等,则这两个三角形不全等. (3)原命题: 已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d. 逆命题: 已知a,b,c,d是实数,若a+c=b+d,则a与b,c与d分别相等. 否命题: 已知a,b,c,d是实数,若a与b,c与d不分别相等,则a+c≠b+d. 逆否命题: 已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a与b,c与d不分别相等.
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