河南省开封市届高三第三次模拟考试数学理doc.docx
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河南省开封市届高三第三次模拟考试数学理doc
2018届开封市高三第三次质量检测模拟考试
数学试题(理科)
一、选择题
1.
已知集合A={x|y=lg(1-x)},B={y|y
2x+1},则
A.AB{x|x0}
B.ABR
C.AB{x|x1}
D.AB
【答案】D
2.下面是关于复数z2
i的四个命题:
p1:
|z|5;p2
:
z的共轭复数为2+i;
p3
:
z2
34i
;p4:
1
2
1i.其中真命题为(B)
z
3
3
A.
p1,p2
B.
p2,p3
C.p2,p4
D.
p3,p4
3.已知sin
3,则sin
3
(C
)
4
5
4
A.
4
B.
4
3
D.
3
5
5
C.
5
5
4.
已知函数f(x)
(1)x
ax,a
1
,则f(x)
a
(A)是奇函数,且在
R上是增函数
(B)是偶函数,且在
R上是增函数
(C)是奇函数,且在
R上是减函数
(D)是偶函数,且在
R上是减函数
【答案】C
5.已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和.若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项
5
为4,则S5=(
C)
A.35
B.33
C.31
D.29
6.已知某批零件的长度误差(单位:
毫米)服从正态分布
N0,32
,从中随机取一件,其长度误差
落在区间(3,6
)内的概率为(附:
若随机变量
ξ服从正态分布N
2
,则
P
68.26%,P
2
2
95.44%。
)(B
)
A.4.56%
B.13.59%C.27.18%
D.31.74%
·1·
7.直线l过抛物线C:
x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于
(C
)
4
8
16
2
A.3
B.2
C.3
D.3
8.中国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:
“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?
”现用程序框图
描述,如图所示,则输出结果n
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】B
8.
设函数f
x
+x
2
2
3,若实数a,b满足
x=e
,gx=lnx+x
f
,则(
)D
a=0,gb=0
A.0<ga<fb
B
.fb<ga<0
C.fb<0<ga
D.ga<0<fb
9.设双曲线x2
y2
1(a
0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双
a2
b2
曲线交于B,C两点,过B,C分别作AB,AC的垂线交于D,若D到直线BC的距离不小
于a+c,则该双曲线的离心率的取值范围是(
C)
A.
,
B.
1,2
C.
,
D.
2,+
12
2+
10.
11.如图,网络纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图,
则该几何体的体积为(B)
·2·
A.8B.2C.8D.6
3
12.
已知定义在R上的可导函数
f(x)的导函数为f'(x),若对于任意实数
x,有f(x)
f(x),且
y
f(x)
1为奇函数,则不等式
f(x)
ex
的解集为(B)
A.
B.
C.
4
4
(
0)
(0,
)
(
.
(e,
)
e)D
二、填空题
13.已知非零向量a,b的夹角为60,且
b1,2ab1,则a
.
1
2
x
y
2
0
14.若x,y满足x
y
4
0,则z
y
2x的最大值为.
2
y0
15.甲与其四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是9、0、2、1、5,为遵守当地某月
5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数
的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,
则不同的用车方案种数为.80
16.设数列an是首项为0的递增数列,fnxsin1xan,xan,an1,nN*,满足:
对
n
于任意的b0,1,fnxb总有两个不同的根,则an的通项公式为
nn1
______an_____.
2
三、解答题
17.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,面积为S,已知
3a2
4
3S
3b2
3c2.
(1)求A;
(2)若a
3
,求ABC周长的取值范围.
解:
(1)
S
1bcsinA,
由已知得:
b2
c2
a2
43
S
43
1
bcsinA,
2
3
3
2
·3·
化简得:
b2
c2
a2
3
sinA=cosA
,
tanA
3,
A
,
,A=2
2ab
3
0
3
(2)在ABC中,由正弦定理得:
b
c
3
2
3
sinB
sinC
2
sin
3
b
23sinB,c
23sinC
2
3sin
3
B
,
记ABC周长为y,
y
a
b
c
2
3sinB
2
3sin
B
3
3
化解得:
y
2
3sinB
2
3
3cosB
1sinB
32
3sin
B
3
3
2
2
B
0,
,
周长y
6,3
2
3
3
综上所述:
ABC周长的取值范围
6,3
2
3.
18.如图,在四棱锥
PABCD中,底面ABCD是正方形,
P
ADPD2,PA2
2,二面角PAD
C为120,点E为线
E
段PC的中点,点F在线段AB上.
D
C
(Ⅰ)平面PCD
平面ABCD;
AF
B
(Ⅱ)设平面
DEF
与平面
DPA
,
所成二面角的平面角为
试确定点F的位置,使得
cos
3
.
4
解:
(Ⅰ)∵ADPD2,PA22,∴ADPD,又ADDC,∴AD平面PCD,-----3
分
又AD平面ABCD,∴平面PCD平面ABCD.5分
·4·
(Ⅱ)过
D作DG
DC交PC于点G,则由平面
PCD
平面
ABCD知,DG
平面ABCD,故DA,DC,DG两两垂直,以D为
P
z
原点,以DA,DC,DG所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示空间
E
直角坐标系Oxyz,
7分
D
Cy
∵AD平面PCD,
PDC
120,
A
B
x
F
则A(2,0,0),B(2,2,0)
,C(0,2,0),P(0,
1,3),又E为PC的
中点,E
(0,1,
3)设F(2,t,0),则DE
(0,1,
3),DF
(2,t,0),
2
2
2
2
DP(0,
1,3)
,DA
(2,0,0)
.8分
设平面DEF的法向量为n
(x1,y1,z1),
nDE
0,
1
y1
3
z10,
2
则
∴2
nDF
0,
2x1ty1
0,
取z1
2,可求得平面DEF
的一个法向量n
(
3t,2
3,2),9分
mDP0,
设平面ADP的法向量为m(x2,y2,z2),则
mDA0,
所以
y2
3z20,取m
(0,
3,1)
.
10分
2x2
0,
∴cos
cosm,n
6
2
3
4
3t
12
4
,解得t
2
2
4
3
∴当AF
4
3
时满足cos
.12分
3
4
19.某商场销售某种品牌的空调器,每周周初购进一定数量的空调器,商场每销售一台空调器可获利
500元,若供大于求,则每台多余的空调器需交保管费100元;若供不应求,则可从其他商店调剂供
应,此时每台空调器仅获利润200元。
·5·
(Ⅰ)若该商场周初购进20台空调器,求当周的利润(单位:
元)关于当周需求量n(单位:
台,nN)
的函数解析式f(n);
(Ⅱ)该商场记录了去年夏天(共10周)空调器需求量n(单位:
台),整理得下表:
周需求量n18
19
20
21
22
频数
1
2
3
3
1
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,
若商场周初购进
20台空调器,X表示当周
的利润(单位:
元),求X的分布列及数学期望.
解:
(I)当n20时,f(n)
500
20
200
(n20)
200n
6000---2分
当n19时,f(n)
500n
100
(20
n)
600n2000------------
4分
200n
6000(n
20)
(n
N)------------------------
5分
所以f(n)
2000(n19)
600n
(II)由
(1)得f(18)
8800,f(19)9400,--------------------------
6分
f(20)
10000,f(21)
10200,f(22)
10400,-----------------------
7分
P(X
8800)0.1,P(X
9400)
0.2,
P(X
10000)0.3,P(X10200)
0.3,P(X
10400)
0.1,-------------
9分
X的分布列为
X
8800
9400
10000
10200
10400
P
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
EX
88000.194000.2
10000
0.3102000.310400
0.1
9860.--12分
20.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
x2
y2
1(ab0)的离心率e
3,F1,F2
a2
b2
2
为分别为左、右焦点,过F1的直线交椭圆C于P,Q两点,且PQF2的周长为8.(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点M(3,0)的直线交椭圆C于不同两点A,B,N为椭圆上一点,且满足
OAOBtON(O为坐标原点),当AB3时,求实数t的取值范围.
·6·
2
c2
a2
b2
3
a
2
4b
2
e
a2
a2
4
4a8
a
2.
b2
1
x2
y2
1
4
4
A(x1,y1),B(x2,y2),PN(x,y)y),ABy
k(x
3),
y
k(x
3),
2
2
2
2
x
2
(1
4k
)x
24k
x
36k
4
0.
y2
1,
4
24k2k416(9k2
1)(1
4k2)0k2<1
.
5
x1
x2
24k2
x1
x2
36k2
4.
1
4k2
1
4k2
OA
OB
(x1
x2,y1
y2)
t(x,y),
1
24k2
1
1
6k
x
t(x1
x2)
t(1
4k2),
y
t
(y1
y2)
t
k(x1
x2)
6k
t(1
4k2).
N
(24k2)2
144k2
4,36k2
t2(14k2)8
t2(14k2)2
t2(14k2)2
AB
1k2x1
x2<3,(1k2)(x1
x2)2
4x1x2<3,
x
xxx
(1
k
2
)
242k4
4(36k2
4)
1
2
12
(1
4k2)2
1
4k2
3,
(8k2
1)(16k213)0,
8k2
1
0,k2
1
1<k2<1
8
8
5
k2
t2
3
t2
4
36
4t2
2
t
3
3
t
2
12
21.已知函数
f(x)
x
alnx在x1处的切线与直线
x+2y
0垂直.
(Ⅰ)求实数
a的值;
·7·
g(x)
f(x)
1x2
bxg(x)
b
2
x1,x2(x1
x2)g(x)
b
7
g(x1)g(x2).
2
a
f(x)
x
alnx
f
(x)
1
x
x
2y
0k
f
(1)
1
a
2a
12
g(x)
lnx
1x2
(b
1)x
2
g(x)
1
x
(b
1)
x2
(b
1)x
1
3
x
x
g(x)
0
(0,
)
x
0
(
)
x
2
(
b
1)
x
1
x
b
1
(0)
1
0g(x)
0(0,
)
2
0
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