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数学总结
一、研究弹着落点与目标中心距离的偏离程度是设计导弹发射装置的重要工作之一。
对于一类导弹发射装置,假设弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N(µ,σ2),其中σ2=100m2。
现在进行25次发射试验,用S2记这25次试验中弹着点偏离中心的距离的样本方差。
试求S2超过50m2的概率
解:
通过matlab编程求解,并作出相关图形:
>>a=100;
n=25;
s=50;
x1=(n-1)*s/a;
x=0:
40;
y=chi2cdf(x,(n-1));
plot(x,y)
y=chi2cdf(12,24),holdon
plot(12,0.0201,'o')
y=
0.0201
图1函数图形
在上图中标出了相关坐标点,
由此可以求出,S2超过50m2的概率P=1-0.0201=0.9799=97.99%.
设随机变量T~t(25),F~F(8,20),求x使满足
(1)P{T 解: 通过matlab编程求解 >>tinv(0.025,25) ans= -2.0595 (2)P{F>x}=0.01 解: 因为P{F>x}=0.01,所以P{F >>finv(0.99,8,20) ans= 3.5644 二、某种清漆的9个样品,其干燥时间(以h计)分别为 6.05.75.86.57.06.35.66.15.0 设干燥时间总体服从正态分布N(µ,σ2),试就下列情况求µ的置信度为0.95的置信区间。 (1)若由以往经验知σ=0.6(h); (2)若σ为未知。 解: (1)当σ=0.6(h)时 当σ已知时,由概率相关知识可知 ,其中 ,,通过此式可以求出样本平均值。 设 ,z是服从N(0,1)的正态分布,得到 ,从而求得µ的置信区间 , 利用数学方法结合matlab编程结果如下: >>x=[6.05.75.86.57.06.35.66.15.0]; xm=mean(x); s=0.6; n=length(x); z=norminv(0.975,0,1); u1=xm-s*z/sqrt(n),u2=xm+s*z/sqrt(n) u1= 5.6080 u2= 6.3920 (2)当σ未知时 当σ未知时,由概率相关知识可知 ,其中 , ,既可以求出样本平均值和方差。 通过t分布求出 ,就可以求得µ的置信区间为 ,利用matlab编程结果如下: >>x=[6.05.75.86.57.06.35.66.15.0]; xm=mean(x) s=std(x) xm= 6 s= 0.5745 >>x=[6.05.75.86.57.06.35.66.15.0]; xm=mean(x); s=std(x); n=length(x); t=tinv(0.975,n-1); u1=xm-s*t/sqrt(n),u2=xm+s*t/sqrt(n) u1= 5.5584 u2= 6.4416 求σ的置信区间(置信度0.95) x=[6.05.75.86.57.06.35.66.15.0]; xm=mean(x); s=std(x); n=length(x); c1=chi2inv(0.975,n-1); c2=chi2inv(0.025,n-1); s1=sqrt((n-1)*s*s/c1),s2=sqrt((n-1)*s*s/c2) s1= 0.3880 s2= 1.1005 (3)用normfit函数直接求出,进行验算: x=[65.75.86.576.35.66.15.0]; [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x) muhat= 6 sigmahat= 0.5745 muci= 5.5584 6.4416 sigmaci= 0.3880 1.1005 对比可以看出,直接求出的结果和用数学方法编程求出的结果一致 三、为了解不同的工人在四种不同的机器上生产同一种零件的效率,现让3人分别在不同的机器上工作三天,其日产量(单位: 个)如下 日产量 机器B B1 B2 B3 B4 工人A A1 15,15,17(47) 17,17,17 (51) 15,17,16 (48) 18,20,22 (60) A2 19,19,16 (54) 15,15,15 (45) 18,17,16 (51) 15,16,17 (48) A3 16,18,21 (55) 19,22,22 (63) 18,18,18 (54) 17,17,17 (51) 假定日产量服从正态分布,且方差相等。 试分析不同的工人在不同的机器上生产的零件日产量有无显著差异(取α=0.05) 解: (1)函数编程求解 根据检验假设,日产量服从正态分布,本题为双因素的方差分析,这里r=3,s=4,n=3, HA0: α1=α2=α3=0,对立假设: αi至少存在一个不为0; HB0: β1=β2=β3=β4=0,对立假设: βj至少存在一个不为0; HAB0: ρij=0,对立假设: ρij至少存在一对(i,j)使之不为0; >>r=3 s=4 n=3 x=[15,17,15,18;15,17,17,20;17,17,16,22;19,15,18,15;19,15,17,16;16,15,16,17;16,19,18,17;18,22,18,17;21,22,18,17]; he=sum(sum(x)) xpj=mean(mean(x))%就总体平均值 xj=mean(x) r= 3 s= 4 n= 3 he= 627 xpj= 17.4167 xj= 17.333317.666717.000017.6667 >>xi1=mean(x') xi1= 16.250017.250018.000016.750016.750016.000017.500018.750019.5000 >>xi1=[16.2500,17.2500,18.0000;16.7500,16.7500,16.0000;17.5000,18.7500,19.5000] xi=[mean(xi1')] xi1= 16.250017.250018.0000 16.750016.750016.0000 17.500018.750019.5000 xi= 17.166716.500018.5833 >>SA=s*n*sum((xi-xpj).^2)%求SA SB=r*n*sum((xj-xpj).^2)%求SB SA= 27.1667 SB= 2.7500 >>ST=sum(sum((x-xpj).^2))%求ST ST= 144.7500 >>w=[47,51,48,60,54,45,51,48,55,63,54,51] SAB=1/n*sum(w.^2)-1/r/s/n*(627^2)-SA-SB%求SAB w= 475148605445514855635451 SAB= 73.5000 >>SE=ST-SA-SB-SAB%求SE SE= 41.3333 >>n1=r-1,n2=s-1,n3=(r-1)*(s-1),n4=r*s*(n-1),n5=r*s*n-1%求自由度 n1= 2 n2= 3 n3= 6 n4= 24 n5= 35 >>SApj=SA/n1,SBpj=SB/n2%求均方误差 SABpj=SAB/n3,SEpj=SE/n4 SApj= 13.5833 SBpj= 0.9167 SABpj= 12.2500 SEpj= 1.7222 >>FA=SApj/SEpj%求F比 FB=SBpj/SEpj FABpj=SABpj/SEpj FA= 7.8871 FB= 0.5323 FABpj= 7.1129 结果列表如下: 方差来源 平方和 自由度 均方差 F比 因素A(工人) 27.1667 2 13.5833 fA=7.8871 因素B(机器) 2.75 3 0.9167 fB=0.5323 交互作用A×B 73.5 6 12.25 fA×B=7.1129 误差 41.33 24 1.7222 总和 144.75 35 =0.05,查F分布表得临界值 由此可以得出,不同的机器对日产量没有显著的影响,而不同的工人的日产量及不同的工人在不同的机器上生产零件,其日产量均有显著差异。 (2)直接调用函数验证 >>x=[15,17,15,18;15,17,17,20;17,17,16,22;19,15,18,15;19,15,17,16;16,15,16,17;16,19,18,17;18,22,18,17;21,22,18,17]; p=anova2(a,3) p= 0.66450.00230.0002 截图如下: 图1matlab计算结果 比较P值可以得出,不同的机器对日产量没有显著的影响,而不同的工人的日产量及不同的工人在不同的机器上生产零件,其日产量均有显著差异。 结论与上文编程结果一致。 四、某兵器进行某项性能检验,测试误差数值不合格,经过科研人员研究提出了四个可能因素,用24完全析因实验技术来改良兵器质量,见表1. 表1影响实验结果的因素 序号 因素 水平 改进前(-) 改进后(+) A 时间增益控制电路 w1us w2us B 天线随动系统运转情况 正常 正常 C 天线低空限制角度 低空 5.5 D 压窄接收机的频带 S1-S2MHz N1-N2MHz Y表示校正误差数值(由于保密的原因,本文给出量化单位),水平的高低以+,-区分,见表2。 表2析因分析实验结果 试验编号 影响因素 Y A B C D 1 - - - - 42.5 2 + - - - 22.5 3 - + - - 41.25 4 + + - - 22 5 - - + - 41 6 + - + - 18.5 7 - + + - 41 8 + + + - 33.5 9 - - - + 33.5 10 + - - + 17 11 - + - + 31.5 12 + + - + 16.5 13 - - + + 33 14 + - + + 15.5 15 - + + + 15.5 16 + + + + 17 解: 本次试验实现的是4因素2水平的分析运算,一共有16组实验,我们将结果输入STATISTICA软件,如图1所示: 图1数据列表 下面选择Statistics模块中IndustrialStatistics&SixSigma选项,进一步选择ExperimentalDesign(DOE),选择2**(K-P)standarddesigns,如图2所示。 进一步选择Analyzedesign。 图22**(K-P)standarddesigns选择 进一步选择校正误差作为因变量,而自变量选择: 时间增益控制电路、天线随动系统运转情况、天线低空限制角度、压窄接收机的频带,进入分析界面: 图3分析界面 选择方差分析(ANONA): 图4ANOVA分析结果表 可见时间增益控制电路以及压窄接收机的频带对与实验结果的影响很大。 下面进一步选择正态概率图。 五、本厂有三台16吨锅炉,分别安装了三套由气动单元组合仪表构成的串级调节系统,以调节汽包水位。 这套系统投运后,水位一直不稳定,波动幅度达70毫米。 于是。 我们应用了正交试验法进行整定。 对于该调节系统,副调节器需整定比例带P2;主调节器需整定比例带P1;微分器需整定微分时间TD,定为3个因素,根据分析,其因素和水平结果如表1。 表1因素位级表 因素 水平 P2 P1 TD 1 8 40 0.2 2 10 5 5 3 30 10 1 通过曲线波动宽度和超调量进行综合评分,得到结果为75,10,60,85,50,25,90,95,70,通过正交法对于实验结果进行分析。 解: 本试验有4个因素,三个位级,可以构成L9(34)正交表进行分析 表2正交试验表 试验号 因素及水平 综合评分 P2 P1 TD 1 3 (1) 40 (1) 0.2 (1) 75 2 3 5 (2) 5 (2) 10 3 3 10(3) 1(3) 60 4 10 (2) 40 5 85 5 10 5 1 50 6 10 10 0.2 25 7 30(3) 40 1 90 8 30 5 0.2 95 9 30 10 5 70 I 145 250 195 II 160 155 165 III 255 155 200 K 3 3 3 I/K 48.33 83.33 65 II/K 53.33 51.67 55 III/K 85 51.67 66.67 极差 36.67 31.66 11.67 优方案 A3 B1 C3 由上面可以看出,副调节器需整定比例带P2的极差最大,影响也最大。 其次是主调节器需整定比例带P1,影响最小的是微分器需整定微分时间TD。 对于因素A,三个水平的平均值是48.33,53.33,85;因此优先选择第三方案。 对于因素B,三个水平的平均值是83.33,51.67,51.67;因此优先选择第一方案。 对于因素C,三个水平的平均值是65,55,66.67;因此优先选择第三方案。 而通过比较分析,评分最高的最好,因此最好的方案是A3B1C3。 STATISTICA软件分析 将表格输入到STATISTICA软件之中进行分析,所得的列表如图1所示。 其中使用DATA中的TextLabelsEditors设置相关数值。 图1数据列表 下面选择Statistics模块中IndustrialStatistics&SixSigma选项,进一步选择ExperimentalDesign(DOE),选择Taguchirobustdesignexperiments,如图2所示。 进一步选择Analyzedesign。 图2Taguchirobustdesignexperiments选择 将评分作为因变量,主调节器需整定比例带P1;副调节器需整定比例带P2;微分器需整定微分时间TD作为自变量。 图3方差分析 从结果中可以看到,副调节器需整定比例带P2影响最大;其次是主调节器需整定比例带P1;最小的是微分器需整定微分时间TD。 下面通过meanplot进行分析,结果如图: 图4趋势图 从图上可以看出主调节器需整定比例带P1取为40最好;副调节器需整定比例带P2取为30最好;微分器需整定微分时间TD应取为5。 因此应该取为A3B1C3。 图5Marginalmeans图 六、本文采用的预测方法为BP神经网络方法,对于网络输入层中的参数,应选取较易测得的数据。 选取了坡度、坡向、坡面粗糙度、距断层距离、土地利用类型及地层岩性作为研究对象,确定各因素的影响范围。 输入层为6层,隐层数取为13;输出层为2,出现滑坡或者不滑坡,分别为(1,0)、(0,1),25组数据用于网络学习,见表1,同时本人选取了文献中3组数据用预测并检测 表1岩体稳定性训练样本表 编号 震中距 烈度 坡度 高程 坡高 岩性 结果 1 0.000 1.000 0.487 0.634 0.423 0.000 (1,0) 2 0.105 0.333 0.000 1.000 0.070 0.250 (1,0) 3 0.055 0.000 0.359 0.713 0.000 0.750 (1,0) 4 0.138 0.000 1.000 0.621 0.277 0.500 (1,0) 5 0.205 0.333 0.564 0.580 0.297 1.000 (1,0) 6 0.011 1.000 0.179 0.551 0.070 0.000 (0,1) 7 0.172 0.667 0.436 0.499 0.019 1.000 (1,0) 8 0.172 0.667 0.436 0.499 0.019 1.000 (1,0) 9 0.711 1.000 0.333 0.279 0.213 1.000 (1,0) 10 0.181 0.667 0.026 0.492 0.008 1.000 (0,1) 11 0.794 1.000 0.615 0.294 0.247 0.500 (1,0) 12 0.715 1.000 0.436 0.264 0.208 0.750 (1,0) 13 0.223 0.000 0.974 0.810 0.060 0.000 (0,1) 14 0.823 1.000 0.410 0.294 0.020 0.500 (1,0) 15 0.965 0.333 0.333 0.297 0.499 1.000 (1,0) 16 1.000 0.333 0.692 0.441 0.146 0.250 (1,0) 17 0.589 1.000 0.179 0.260 0.320 0.500 (1,0) 18 0.811 1.000 0.308 0.262 0.035 0.500 (1,0) 19 0.357 0.333 0.564 0.798 0.134 0.250 (1,0) 20 0.396 0.667 0.821 0.725 1.000 1.000 (1,0) 21 0.400 0.667 0.821 0.725 1.000 1.000 (1,0) 22 0.387 0.667 0.308 0.343 0.079 1.000 (0,1) 23 0.313 0.000 0.179 0.380 0.029 0.500 (0,1) 24 0.378 0.000 0.256 0.826 0.038 0.250 (1,0) 25 0.264 0.000 0.410 0.753 0.348 0.750 (1,0) 表2岩体稳定性预测样本表 编号 震中距 烈度 坡度 高程 坡高 岩性 结果 1 0.731 0.667 0.744 0.352 0.010 0.250 (1,0) 2 0.968 0.333 0.436 0.303 0.332 1.000 (1,0) 3 0.561 1.000 0.872 0.319 0.499 0.500 (1,0) 一、利用BATCHNET求解 解: 根据本文中提供的数据,25组用于网络学习,另外选取3组用于预测并检验,6个输入节点,隐层数为13,输出层为2,出现滑坡或不滑坡(1,0)和(0,1),每迭代10步显示误差,如误差小于1.0e-5,则网络停止训练学习。 (1)输入训练数据 图1定义train.pat (2)输入测试数据 图2定义test.pat (3)设定批处理程序demo.bat 每迭代10步显示误差,如误差小于1.0e-5,则网络停止训练学习 输入: batchnet-e10–d1.0e-5demo.run 图3设置demo.bat (4)设定DEMO.RUN 训练数据的样本为25,迭代次数为30000,测试数据样本为3,6个输入节点,隐层数为13,输出层为2,学习速率0.15,动量因子0.075。 运行次数设为4。 图4设置demo.run 运算结果 图5运算结果 训练的输出结果 (a)train.out(b)test.out 图6训练及预测结果图 比较两边误差 (a)test.err(b)train.err 图7训练误差图 可见两边的训练误差均很小较小,结果相近且准确,训练结果与预测值基本吻合,因此采用神经网络分析正确。 二、利用Matlab求解 p=[0.0001.0000.4870.6340.4230.000 0.1050.3330.0001.0000.0700.250 0.0550.0000.3590.7130.0000.750 0.1380.0001.0000.6210.2770.500 0.2050.3330.5640.5800.2971.000 0.0111.0000.1790.5510.0700.000 0.1720.6670.4360.4990.0190.250 0.1720.6670.4360.4990.0191.000 0.7111.0000.3330.2790.2131.000 0.1810.6670.0260.4920.0081.000 0.7941.0000.6150.2940.2470.500 0.7151.0000.4360.2640.2080.750 0.2230.0000.9740.8100.0600.000 0.8231.0000.4100.2940.0200.500 0.9650.3330.3330.2970.4991.000 1.0000.3330.6920.4410.1460.250 0.5891.0000.1790.2600.3200.500 0.8111.0000.3080.2620.0350.500 0.3570.3330.5640.7980.1340.250 0.3960.6670.7180.3090.3221.000 0.4000.6670.8210.7251.0001.000 0.3870.6670.30
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