高中数学湘教版必修1第一章 集合与函数128.docx
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高中数学湘教版必修1第一章集合与函数128
1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性
[学习目标] 1.能说出奇函数和偶函数的定义.2.会判断具体函数的奇偶性.3.会分析二次函数图象的对称性.4.能求一个二次函数在闭区间上的最值.
[知识链接]
函数y=x的图象关于原点对称,y=x2的图象关于y轴对称.
[预习导引]
1.函数的奇偶性
(1)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=F(x)成立,则称F(x)为偶函数;
(2)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=-F(x)成立,则称F(x)为奇函数.
2.二次函数图象的对称性
(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线x=-
;
(2)如果函数f(x)对任意的h都有f(s+h)=f(s-h),那么f(x)的图象关于直线x=s对称.
要点一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x;
(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;
(3)f(x)=x2+
;
(4)f(x)=
;
(5)f(x)=
+
.
解
(1)函数定义域为R,且f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)=-f(x),所以该函数是奇函数;
(2)函数定义域为R,且f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以该函数是偶函数;
(3)函数定义域是{x|x≥0},不关于原点对称,因此它是非奇非偶函数;
(4)函数定义域是{x|x≠-1},不关于原点对称,因此它是非奇非偶函数;
(5)要使函数有意义,需满足
解得x=±2,即函数的定义域是{2,-2},这时f(x)=0.
所以f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),因此该函数既是奇函数又是偶函数.
规律方法 1.判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:
(1)定义法:
若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性.注意当解析式中含有参数时,要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定.
(2)图象法:
若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.
(3)还有如下性质可判定函数奇偶性:
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:
利用以上结论时要注意各函数的定义域)
2.判断函数奇偶性前,不宜盲目化简函数解析式,若必须化简,要在定义域的限制之下进行,否则很容易影响判断,得到错误结果.
跟踪演练1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
;
(2)f(x)=
;
(3)f(x)=(x2-1)
.
解
(1)函数定义域为R,
且f(-x)=
=
=-f(x).
故该函数是奇函数;
(2)函数定义域为{x|x≠±1},关于原点对称,且f(-x)=
=
=f(x).故f(x)是偶函数.
(3)函数定义域是{x|x≥-1},不关于原点对称,所以是非奇非偶函数.
要点二 函数奇偶性的简单应用
例2
(1)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f
(1)等于( )
A.-3B.-1C.1D.3
(2)若函数f(x)=x3+3x+a是奇函数,则实数a=________.
答案
(1)A
(2)0
解析
(1)因为当x≤0时,f(x)=2x2-x,
所以f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.
又f(x)是奇函数,
所以f
(1)=-f(-1)=-3,选A.
(2)方法一 因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)对任意x∈R都成立,
即-x3-3x+a=-x3-3x-a对任意x∈R都成立.
所以a=0.
方法二 因为f(x)是奇函数且在x=0处有定义.
必有f(0)=0,即03+3×0+a=0,解得a=0.
规律方法 1.利用奇偶性求值时,主要根据f(x)与f(-x)的关系将未知转化为已知求解,若需要借助解析式求值,代入自变量值时,该自变量值必须在该解析式对应的区间上,否则不能代入求值,而应转化.
2.已知函数是奇函数或偶函数,求解析式中参数值时,通常有两种方法:
一是利用奇、偶函数的定义建立关于参数的方程求解,二是采用特殊值法,尤其是在x=0处有定义的奇函数,还可根据f(0)=0求解.
跟踪演练2
(1)已知f(x)是偶函数,且f(4)=5,那么f(4)+f(-4)的值为( )
A.5B.10C.8D.不确定
(2)若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a等于( )
A.-2B.-1C.1D.2
答案
(1)B
(2)C
解析
(1)∵f(x)是偶函数,
∴f(4)+f(-4)=f(4)+f(4)=2f(4)=2×5=10.
(2)∵f(x)是偶函数,
∴f(-x)=f(x)对任意x∈R都成立,
即(-x+1)(-x-a)=(x+1)(x-a).
整理得2(a-1)x=0,
∵x∈R,∴必有a-1=0,即a=1.
要点三 二次函数的区间最值问题
例3 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
用a表示出函数f(x)在区间[-5,5]上的最值.
解 函数f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的图象开口向上,对称轴为x=-a.
①当-a≤-5,即a≥5时,函数在区间[-5,5]上递增,所以f(x)max=f(5)=27+10a,
f(x)min=f(-5)=27-10a;
②当-5<-a≤0,即0≤a<5时,函数图象如图
(1)所示.
由图象可得f(x)min=f(-a)=2-a2,
f(x)max=f(5)=27+10a;
③当0<-a<5,即-5<a<0时,函数图象如图
(2)所示,由图象可得f(x)max=f(-5)=27-10a,
f(x)min=f(-a)=2-a2;
④当-a≥5,即a≤-5时,函数在区间[-5,5]上递减,所以f(x)min=f(5)=27+10a,
f(x)max=f(-5)=27-10a.
规律方法 1.对于定义域为R的二次函数,其最值和值域可通过配方法求解.
2.若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的最值或值域,则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论:
(1)若对称轴不在所求区间内,则可根据单调性求值域;
(2)若对称轴在所求区间内,则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得,比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.
跟踪演练3 求函数f(x)=-x2-mx+6(m<0)在区间[0,2]上的最大值.
解 f(x)=-x2-mx+6=-(x+
)2+
+6,
该函数曲线开口向下,对称轴为直线x=-
.
(1)当-
>2,即m<-4时,f(x)在[0,2]上单调递增,其最大值为f
(2)=2-2m.
(2)当0<-
≤2,即-4≤m<0时,f(x)在[0,2]上的最大值为f(-
)=
+6.
1.下列函数为奇函数的是( )
A.y=|x| B.y=3-x
C.y=
D.y=-x2+4
答案 C
解析 A项和D项中的函数为偶函数,B项中的函数是非奇非偶函数,选C.
2.对于定义在R上的函数f(x),给出下列判断:
(1)若f(-2)=f
(2),则函数f(x)是偶函数;
(2)若f(-2)≠f
(2),则函数f(x)不是偶函数;
(3)若f(-2)=f
(2),则函数f(x)不是奇函数.
其中正确的判断的个数是( )
A.0 B.1C.2 D.3
答案 B
解析
(1)仅有f(-2)=f
(2)不足以确定函数的奇偶性,不满足奇函数、偶函数定义中的“任意”,故
(1)错误;
(2)当f(-2)≠f
(2)时,该函数就一定不是偶函数,故
(2)正确;
(3)若f(-2)=f
(2),则不能确定函数f(x)不是奇函数.如若f(x)=0,x∈R,则f(-2)=f
(2),但函数f(x)=0,x∈R既是奇函数又是偶函数,故(3)错误.
3.函数y=
·
( )
A.是奇函数B.既是奇函数又是偶函数
C.是偶函数D.是非奇非偶函数
答案 D
解析 函数定义域是{x|x≥1},不关于原点对称,是非奇非偶函数,选D.
4.函数f(x)=-2x2+x-1在区间[-1,2]上的值域是( )
A.(-∞,-
]B.[-7,-4]
C.[-7,-
]D.[-4,-
]
答案 C
解析 由于f(x)=-2x2+x-1=-2(x-
)2-
,
而
∈[-1,2],所以f(x)最大值是f(
)=-
,
最小值为f
(2)=-7,故值域为[-7,-
],
故选C.
5.如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)为偶函数,那么a=________.
答案 8
解析 ∵f(x)为区间[3-a,5]上的偶函数,
∴区间[3-a,5]关于坐标原点对称,
∴3-a=-5,即a=8.
1.在奇函数与偶函数的定义域中,都要求x∈D,-x∈D,这就是说,一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域都一定关于坐标原点对称.如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称,那么这个函数就失去了作为奇函数或偶函数的条件.
2.解题中可以灵活运用f(x)±f(-x)=0对奇偶性作出判断.
3.奇函数f(x)若在x=0处有意义,则必有f(0)=0.
4.奇函数、偶函数的图象特点反映了数和形的统一性.
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-
,开口方向由a确定,和x轴的位置关系由判别式Δ=b2-4ac确定.
一、基础达标
1.下列说法错误的个数为( )
①图象关于原点对称的函数是奇函数;
②图象关于y轴对称的函数是偶函数;
③奇函数的图象一定过原点;
④偶函数的图象一定与y轴相交.
A.4 B.3 C.2 D.0
答案 C
解析 ①、②由奇、偶函数的性质知正确;对于③,如f(x)=
,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),它是奇函数,但它的图象不过原点;对于④,如f(x)=
,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),它是偶函数,但它的图象不与y轴相交.
2.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时为增函数,当x∈(-∞,-2]时为减函数,则f
(1)等于( )
A.1 B.9C.-3 D.13
答案 D
解析 由已知得对称轴x=
=-2,
∴m=-8,∴f
(1)=2-m+3=5-m=13.
3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( )
A.-1 B.0C.1 D.2
答案 B
解析 ∵f(x)在R上是奇函数,∴f(0)=0,
又∵f(x+2)=-f(x),∴f
(2)=-f(0)=0,
又∵f(2+2)=-f
(2)=0,
f(4+2)=-f(2+2)=0,∴f(6)=0.
4.若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,则b=________.
答案 6
解析 由题意得-
=1.∴a=-4.
∴
=1,∴b=6.
5.已知函数f(x)=ax2+bx+c(-2a-3≤x≤1)是偶函数,则a=________,b=________.
答案 -1 0
解析 ∵f(x)是偶函数,∴其定义域关于原点对称,
∴-2a-3=-1,∴a=-1.
∴f(x)=-x2+bx+c.
∵f(-x)=f(x),
∴-(-x)2+b(-x)+c=-x2+bx+c.
∴-b=b,∴b=0.
6.已知f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间x∈[1,5]上的最小值为f(5),则a的取值范围为________.
答案 (-∞,-4]
解析 由已知得对称轴方程为x=1-a,
∵区间x∈[1,5]上的最小值为f(5),
∴1-a≥5,得a≤-4.
7.判断函数f(x)=(x-1)
的奇偶性.
解 函数f(x)的定义域为{x|-1≤x<1},不关于原点对称,故此函数既不是奇函数又不是偶函数.
二、能力提升
8.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是( )
A.奇函数B.偶函数
C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数
答案 A
解析 ∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,
∴b=0,∴g(x)=ax3+cx,
g(-x)=-ax3-cx=-g(x),∴g(x)为奇函数.
9.设函数f(x)=
若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( )
A.1 B.2C.3 D.4
答案 C
解析 ∵f(-4)=f(0),∴-
=
=-2,
∴b=4,又f(-2)=-2,
∴4+4×(-2)+c=-2,
∴c=2,∴f(x)=
作图(图略)可知选C.
10.若f(x)=ag(x)+b,a为常数,g(x)为R上的奇函数,且f(-2)=10,则f
(2)=________.
答案 2b-10
解析 ∵f(x)=ag(x)+b,①
∴f(-x)=ag(-x)+b=-ag(x)+b,②
①+②得,f(x)+f(-x)=2b,
∴f(x)=2b-f(-x),∴f
(2)=2b-f(-2)=2b-10.
11.已知函数f(x)=ax2+3a为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求f(x)的最大值与最小值.
解 ∵f(x)=ax2+3a为偶函数,定义域为[a-1,2a],
∴a-1=-2a,∴a=
,∴f(x)=
x2+1,
且定义域为[-
,
],∴f(x)min=f(0)=1,
f(x)max=f(
)=
.
∴函数的最大值为
,最小值为1.
三、探究与创新
12.如果函数f(x)=x2+bx+c,对于任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),比较f
(1)、f
(2)、f(4)的大小.
解 由题意知,对任意实数t,有f(2+t)=f(2-t),
即(2+t)2+b(2+t)+c=(2-t)2+b(2-t)+c,
化简得(2b+8)t=0,∴2b+8=0,∴b=-4,
∴f(x)的对称轴为x=2,故f
(1)=f(3).
∵f(x)在[2,+∞)上是递增函数,
∴f
(2)<f(3)<f(4),即f
(2)<f
(1)<f(4).
13.求函数f(x)=x2-2ax-1在[0,2]上的最值.
解 二次函数f(x)=x2-2ax-1的图象开口向上,对称轴方程为x=a.
当a≤0时,f(x)在[0,2]上是增函数,此时f(x)的最小值为f(0)=-1,最大值为f
(2)=4-4a-1=3-4a;
当0<a≤1时,f(x)在[0,a]上是减函数,在[a,2]上是增函数,此时f(x)的最小值为f(a)=-a2-1,最大值为f
(2)=3-4a;
当1<a<2时,f(x)在[0,a]上是减函数,在[a,2]上是增函数,此时f(x)的最小值为f(a)=-a2-1,最大值为f(0)=-1;
当a≥2时,f(x)在[0,2]上是减函数,此时f(x)的最小值为f
(2)=3-4a,最大值为f(0)=-1.
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