《椭圆》方程典型例题20例含标准答案doc.docx
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《椭圆》方程典型例题20例含标准答案doc
典型例题一
例1椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.分析:
题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.
解:
(1)当A(2,0)为长轴端点时,。
=2,b=l,
22
椭圆的标准方程为:
'+匕=1;
(2)当A(2,0)为短轴端点时,b=2,。
=4,
椭圆的标准方程为:
土+匕
416
说明:
椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.
典型例题二
例2—个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.
说明:
求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求Q,求C,再求比.二是列含q和c的齐次方程,再化含e的方程,解方程即可.
典型例题三
例3已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=。
交于A、B两点、,M为AB中点,0M的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.
h由题意,设椭圆方程为二+),2=1,
工+顶一1=0
+),2=1
得(1+〃)宇一2疽乂=0,
=hL=_L=L
知】4
—+y2=1为所求.
4-
说明:
(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;
(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.
典型例题四
/V2(9、
例4椭圆一+上=1上不同三点人3,y),B4,-,C(x2,力)与焦点F(4,0)的
259k5/
距离成等差数列.
(1)求证工]+x2=8;
(2)若线段AC的垂直平分线与工轴的交点为T,求直线BT的斜率证明:
(1)由椭圆方程知a=5,b=3,c=4.
由圆锥曲线的统一定义知:
—?
匕—=上,
cra
AF=a-ex}=5-—^.
4
同理CF=5一一七.
5一
9
•/\AF\+|CF|=2|BF|,且BF=—,
即X]+x2=8.
(2)因为线段AC的中点为,所以它的垂直平分线方程为
I2)
),-心1=也二%-4).
2>1->,2
又..•点『在人轴上,设其坐标为(工0,0),代入上式,得
寸4=若当
2代一易)
又,点A(xryj,B(x2,%)都在椭圆上,
55-/u'h-
9一259一252%
将此式代入①,并利用凡+易=8的结论得
』36
"4=-云
#上一。
町一1"4
典型例题五
2,2
例5已知椭圆j+:
=1,鸟、%为两焦点,问能否在椭圆上找一点M,使M
到左准线/的距离mm是回司与|的等比中项?
若存在,则求出点"的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
假设泌存在,设m(和乂),由已知条件得
a=2,b=4z,c=1,e=—.
2
..•左准线/的方程是x=-4,
「・MN=4+m.
又由焦半径公式知:
|Afg|=q-cx^=2——X],
\MF2\=a-\-ex}=2+—x,.
整理得5云+32^+48=0.
解之得工i二一4或尤|=——・①
另一方面一V2.②
则①与②矛盾,所以满足条件的点M不存在.
说明:
(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.
(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.
(3)本例也可设M(2cosQa厅sin。
)存在,推出矛盾结论(读者自己完成).
典型例题六
2/1|X
例6已知椭圆—+/=!
求过点P且被P平分的弦所在的直线方程.
2^21)
分析一:
已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为人,利用条件求妃
解法一:
设所求直线的斜率为则直线方程为y-1=4.—■*■)・代入椭圆
2I2)
方程,并整理得
(1+2摩)『-(2妃一2小+顼-化+兰=0.
2k2-2k
由韦达定理得X,+易=——三.
121+2炉
「P是弦中点,%!
+X2=1.故得#=一?
・
所以所求直线方程为2工+4),-3=0・
分析二:
设弦两端坐标为3,乂)、(易,>2),列关于凡、易、)‘】、力的方程
组,从而求斜率:
至二典.
%!
~X2
解法二:
设过的直线与椭圆交于人3,乂)、B&2,力),则由题意得
I22)
2
X.2[
+乂=1,2八
①
必4.2_1
■y+>2=1,
②
Xj+x2=1,
③
)']+%T・
④
①一②得与苴
将③、④代入⑤得至二A=—1,即直线的斜率为—L.x}-x222
所求直线方程为2工+4〉-3=0.
说明:
(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:
过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.
(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.
(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:
“韦达定理应用"及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.
典型例题七
例7求适合条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6):
(2)
22
求出
6T
在工轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.
分析:
当方程有两种形式时,应分别求解,如
(1)题中由
2222
a2—148,/?
2=37,在得方程—F—=1后,不能依此写出另一方程——=1.
1483714837
2222
解:
(1)设椭圆的标准方程为匚+;=1或二+二=1.
a2b2a2b2
由已知ci=2b.①
又过点(2,-6),因此有
22(一6尸券(—6)222|
由①、②,得疽=148,屏=37或疽=52,人2=13.故所求的方程为
2222
H=1F—
148375213
22
求方程为—+=1.
189
说明:
根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于
2222
焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程%+云=1或土+去=1・
典型例题八
\AM\+2\MF\^I最小值时,求点M的坐标.
分析:
本题的关键是求出离心率e=!
,把2\MF\转化为M到右准线的距离,
从而得最小值.一般地,求\AM\+-\MF\均可用此法.
解:
由已知:
。
=4,c=2.所以e=-,右准线2
/:
x=8.
过A作AQ11,垂足为Q,交椭圆于故
MQ\=2\MF\.显然\AM\+2\MF\的最小值为,
即M为所求点,因此归=用,且以在椭圆上.故勺=2后,所以M(2^3,73).
说明:
本题关键在于未知式|AM|+2MF|中的“2”的处理.事实上,如图,
《=Fp\MF\是M到右准线的距离的一半,即图中的MQ,问题转化为求椭圆
上一点M,使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值.
典型例题九
2
例9求椭圆y+/=l上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值.
分析:
先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.
解:
椭圆的参数方程为
x-73cos6,设椭圆上的点的坐标为(7^cos0,sin0),y=sin6.
则点到直线的距离为
原"一sin°+6|2蜀七胃+6
V272
当sin=一1时,d最小值=2很.
说明:
当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.
典型例题十
^3(3^
例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在工轴上,离心率e=—,已知点P0,-
2I2;
到这个椭圆上的点的最远距离是J7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点p的距离等于的点的坐标.
分析:
本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求d的最大值时,要注意讨论的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.
4《C~-O,Ore
由广=二=—=1一一可得aacr
—=Jl—疽=1——=—,即a=2b•
aV42
设椭圆上的点(加时到点P的距离是则
a(|V
=4/?
2-3y2-3^+-=-3y+—+4/^+3
4\2^
其中一b 如果b<^,则当y=-b时,d2(从而H)有最大值. 由题设得(V? )"=/? +—,由=,与b<—矛盾. 12)222 因此必有b>-成立,于是当y=-~时,d2(从而H)有最大值.22 由题i殳得戚=4人之+3,可得Z? =l,a=2. 22 ..•所求椭圆方程是土+匕=1. 41 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点-V3,-- I2/ 点po,-的距离是J7. I2j 解法二: 根据题设条件,可取椭圆的参数方程是 x=acosd_,尸膈成'其中“对>°‘ 待定,Q京蜀兀,。 为参数. ( 设椭圆上的点(x,y)到点P0,-的距离为d,则 I 2J V=a2cos2bsin3—— 2j q =4b2-3b2sin2-3Z? sin^+- 2 =-3b2sin^+—+4胪+3 4 2b) 如果—>1,即b<~,则当sin6=—l时,d2(从而d)有最大值.2b2 由题设得S7=[/? +: ],由此得人=”—: >;,与/7<|矛盾,因此必有上G成立. 2b 于是当sine=-4时"2(从而〃)有最大值. 2h 由题]殳次口=4胪+3,.・.z? =],。 =2. ..•所求椭圆的参数方程是Jx=2*'. =sin6 cos^=±—, 可得椭圆上的是 (1\ -V3,-l 2 k2J <2J 由sin^=-—, 2 典型例题十一 例11设x,yeR,lx1+3>,2=6x,求x2+y2+2x的最大值和最小值. 分析: 本题的关键是利用形数结合,观察方程2x2+3/=6x与椭圆方程的 结构一致.11x2+y2+2x=m,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值. 解: 由2F+3),=6x,得 3丫X—— 2 9 可见它表示一个椭圆,其中心在-,0点,焦点在X轴上,且过(0,0)点 和(3,0)点. 设x2+y2+2x=m,则 (x+1)2+y~=〃? +1 它表示一个圆,其圆心为(一1,0)半径为Vm+1(m>-1). 在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即J〃z+1=1,此时秫=0;当圆过(3,0)点时,半径最大, 即Vm+1=4,m=\5. •e.x2+y2+2x的最小值为0,最大值为15. 典型例题十二 2,2 例12已知椭圆C: 二+八=1(。 >/? >0),A、B是其长轴的两个端点.a~b~ (1)过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP',求证: 不论。 、人如何变化, ZAP服120°. (2)如果椭圆上存在一个点Q,使ZAQB=\20°,求。 的离心率e的取值范围. 分析: 本题从已知条件出发,两问都应从ZAP8和的正切值出发做出估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第 (2)问中,其关键是根据什么去列出离心率e满足的不等式,只能是椭圆的固有性质: |x| 根据 £4QB=120°得到一=-V3,将x2=a2-^y2代入,消去x,用。 、b、x-erb~' c表示y,以便利用\y\ 解: (1)设尸(c,0),A(—",0),6(。 0)・ b2 屏 于是幻p q(c+q),瞄a{c-a) ZAPB是AP到BP的角. •.•tanAAPB<-2 由于对称性,不妨设y>0,于是是04到QB的角. 整理得V3(X2+),2一a2)+2ay=0 2 .22Q2 .x=a——y b2• .•.73V+2qv=o •2ab~ V3c2 : .4? +44Z2c2-4«4>0,3疽+4凌一420 e2>-或疽V—2(舍),: .^ 2 3 典型例题十三 27[ 例13已知椭圆W—+二=1的离心率e=-9求&的值.R+892 分析: 分两种情况进行讨论. F: 当椭圆的焦点在人轴上时,疽=人+8,b2=99得c2=k—\.由e=— lab<应, 4a2(a2-c2)<3c2 2 当椭圆的焦点在y轴上时,a2=9,屏=k+8,得c2=l-k. 由e=—9得-~~-=—,即R=—°・2944 ..・满足条件的k=4或k=-\ 4 说明: 本题易出现漏解•排除错误的办法是: 因为&+8与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在尤轴上,也可能在y轴上.故必须进行讨论. 典型例题十四 22 例14已知椭圆二+J=1上一点户到右焦点凡的距离为b0>1),求F到左4b~b~~ 准线的距离. 分析: 利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解. 22 解法一: 由-^—7+J=1,得a=2去,c=,e—・ 4屏b22 由椭圆定义,|PR|+|户E|=2o=4",得 PF}\=4h-\PF2\=4h-h=3h. 由椭圆第二定义,也=7,4为P到左准线的距离, d\ /.织=———=2^b, e 即P到左准线的距离为2面. 解法二: : 阻=《,弘为P到右准线的距离,e=-=—,d2a2 又椭圆两准线的距离为2—=^b. c3 : .P到左准线的距离为巨b—^~b=2的b. 33 说明: 运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解. 椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如.一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义. 典型例题十五 例15设椭圆 X=4cosa,E,、一兀 厂(。 为参数)上一点P与X轴正向所成角Z.POx=— 2j3sina.3 求p点坐标. 分析: 利用参数。 与ZPOx之间的关系求解. F: 设P(4cosa,2V3sina),由P与人轴正向所成角为生, .712V3sin6^口,c ..tan—=,即tan。 =2. 3 sinZ, 4cosq 而sino>0,cosq>0,由此得到以治。 =工 ・d上人%/4V54 ..p点坐林为(,). 典型例题十六 22 例16设P(x。 ,%)是离心率为g的椭圆;+[=1(。 >/? >0)上的一点,P到左a~b~ 焦点与和右焦点E的距离分别为*和〜求证: *=。 +以0,r2=a-ex 分析: 本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离. 解: P点到椭圆的左准线/: x=的距离, 由椭圆第二定义, 「・*=e\PQ\=a+ex(),由椭圆第一定义,r2=2a-=a-exQ. 说明: 本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在〉轴上的焦半径公式. 典型例题十七 例17已知椭圆—+=1内有一点A(l,l),F】、%分别是椭圆的左、右焦点, 95 点P是椭圆上一点. 求|PA|+"|的最大值、最小值及对应的点P坐标; 2 求冏|+-性|的最小值及对应的点P的坐标. 分析: 本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法: 一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解. 解: ⑴如上图,2。 =6,%(2,0),AF2=41,设P是椭圆上任一点,由 PA\+\PF}\>\PF^\PF2\-\AF2\=2a-\AF2\=6-42,等号仅\PA\=\PF2\-\AF.2\时成立,此时P、A>凡共线. 由IPA\<\PF2\-^\AF2\,・・.|PA|+|PFjv|PFj+|P匀+|AF2|=2q+|AEJ=6+很,等号仅^\PA\=\PF2\+\AF2\时成立,此时P、A、E共线. 建立A、E的直线方程尤+),一2=0,解方程组 工+V一2=0,g,」 ;,得两交点5亍+9>2=45 P(2_J515^p(9+15^5_15^ 出71/,71/)、隼71/,71/)• 综上所述,P点与匕重合时,|PA|+|P*|取最小值6-V2,P点与R重合时, PA\+\PF2\取最大值6+V2. (2)如下图,设P是椭圆上任一点,作PQ垂直椭圆右准线,Q为垂足,由 。 =3,c=2,.■・ =;.由椭圆第二定义知万成=°=: ,"0=jp—d, : .\PA\^-\PF2\=\PA\+\PQ\9要使其和最小需有A、P、Q共线,即求A到右准2 9 线距离.右准线方程为%= 2 7 二A到右准线距离为一•此时尸点纵坐标与A点纵坐标相同为1,代入椭圆2 得满足条件的点P坐标(仔,1). 说明: 求|PA|+J|PE|的最小值,就是用第二定义转化后,过A向相应准线作 垂线段.巧用焦点半径与点准距|PQ|互化是解决有关问题的重要手段. 典型例题十八 v2v2 例18 (1)写出椭圆—+=1的参数方程; 94 (2)求椭圆内接矩形的最大面积. 分析: 本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题. x=3cos。 (关R). y=2sin。 ⑵设椭圆内接矩形面积为S,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x轴和), 轴,设(3cos0,2sin0)为矩形在第一象限的顶点,(0<0<—), 2 贝"S=4x3cos^x2sin0=12sin2。 <12 故椭圆内接矩形的最大面积为12. 说明: 通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便. 典型例题十九 例19已知氏,F? 是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,且匕氏尸%=60。 . (1)求椭圆离心率的取值范围; (2)求证△PF}F2的面积与椭圆短轴长有关. 分析: 不失一般性,可以设椭圆方程为 r2v2 —+p-=l(a>b>Q),P(xl,y{)(一>0). 思路一: 根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即 K_k tan60°=——=73,设P0,凹),鸟(一c、,0),%(c,0),化简可得 1+KgKg _2,2 73^2+V3V12--a/3c2=0.又W+2=l,两方程联立消去/得 a~b~ 疽站+2屏少一J5//=0,由乂£(0,人],可以确定离心率的取值范围;解出凹可以求出的面积,但这一过程很繁. 思路二: 利用焦半径公式|PR|=O+S,|P吗|=。 -吒,在中运用余 弦定理,求X],再利用Xjg[-a,a],可以确定离心率。 的取值范围,将1X]代入椭圆方程中求y,便可求出的面积. 思路三: 利用正弦定理、余弦定理,结合|PFj+|PE|=2〃求解. 解: (法1)设椭圆方程为二+;=1(。 >人〉0),P(x,,,与(一€? 0), erb~ EC,。 ),c>0, 贝']|PFj=a+ex},PF2-a-ext. 在中,由余弦定理得 (。 +cm)~+(。 一锻])~—4c~ ⑴•.・x,2g(0,^2], :
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