一元一次方程的经典考题docx.docx
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一元一次方程的经典考题
[教学目标]
1.经历从具体问题中的数量相等关系,列出方程的过程,体会并认识到方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2.了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念,了解方程的基本变形及其在解方程中的作用。
3.会解一元一次方程,并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想,了解一元一次方程解法的一般步骤,并能正确、灵活运用。
4.会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解,能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
5.通过实践与探索过程,体会数学建模思想,提高分析和解决实际问题的能力。
【典型例题】
例1.已知(加+3)十"1二2003是关于兀的一元一次方程,求m的值。
解:
由一元一次方程的定义可知:
|旳一2=1,冃-加+3H0
rll1777)-2=1,得|加|=3,则m=±3
又由刃+3H0,4导血工—3
m=3
小结:
方程仮+"=且Q、"为已矢口数)是关于x的一元一次方程,这里包
含有
(1)未知数只有一个,且未知数的最高次数是“1”。
(2)未知数的系数合并后不能为零。
(3)它必须是等式。
233
x=—3(m——x)+—x=5m
例2.已知3是一元一次方程42的解,则m的值是多少?
233
x=—3(mx)+—x=5m
解:
因为3是方程42的解,
3232
3(/77一一X—)+—X—=5加
所以4323
3/7:
-—+1=5m
即2
1
m=——
解得4
2
X——
小结:
方程的解是指满足方程两边相等的未知数的值,3是原方程的解,则把原方
程屮的X换成亍后等式仍然成立。
从而可以得到另一个关于m的方程求解。
例3.解下列方程:
(1)5x+2=6x—3
(2)0.4x—0.8=6—L3x
zox30%x+70%(x+4)=-40%x
(4)
古(厂―
9327
—x+—=—x
⑸7575
2113
—(x-3)+-(3-x)=-(x-3)+6
(6)424
兀+4%-3i/
=-1.6
(7)0.205
解:
(1)5x+2=6x-3
移项得:
2+3=6兀一5兀
合并同类项得:
5=x
x=5
(2)由方程04x-0.8=6-13%两边同时乘以10得:
4x—8=60—13%
4x4-13^=60+8
17x=68
x=4
(3)30%兀+70%(x+4)=-40%x
方程两边都乘以100得:
30x+70(x+4)=T0x
3x+7(x+4)=-4x
3x+7x+28+4x=0
14x=—28
x=—2
32x
⑷古「7*2
去中括号得:
X
(——l)-3-x=2
4
9HZI—H寸
9HQIX)寸
寸Z寸
9—141x)7141x)^1
CLLc
寸z寸
9+(EIX)mH(XIE)T+(E—Y)E
8—2
6r-
X9IH6I「寸◎寸IX2H6IY9S寸—HEI&E
。
一}§00
e・6—HH
97Z—役
9」IH9+xe—0e+x「
soxez.ox「
(Tx)zI(寸+x)「
36=4x
x=9
3n-—=3(%+ri)一2n
由题意可知x=9是方程4的解
3n-—=3(9+n)一2n则:
4
3n=27+3/2一2n
4
2/?
=27+-
4
109
n=
8
当"罟时心沽(罟-3討“0—00
(n-3-y=100即8
2r-32
竺二=兰兀_3得:
x=9解法
(2):
解方程53
3n=3(x+斤)一2n解方程4
3/1—=3x+3n—2/1
4
21
x=—n
・・・312
又因为两个方程的解相同
021
9=—n
所以:
312
2109
—YI=
312
109n=
8
(n-3-)2=100
8
例5.已知关于x的方程恋-4=()的解为整数,求整数k的取值。
解:
由恋-4=0可知,当k=0时,原方程无解,不符合题意,所以kHO
则由d-4=0,得:
4
x=—
k
因为原方程的解为整数,故整数k为4的约数,所以k=±l,±2,±4都满足题意。
即:
k=±l,±2,±4
例6.已知,=5,不解方程求代数式3F—5兀+21的值,
解法
(1):
因为/=5
所以X’——5x+21
=X1•x-3•x2-5x+21
=5x—3X5—5兀+21
=21-15=6
即—3x~—5x+21=6
解法
(2):
因为十=5,贝lJ5=x_
所以——5x+21
—兀‘—3%2—x~•x+21
=x3-3x2-x3+2\
=-3x2+21
=-3X5+21
=6
解法(3):
由/=5得
%2-5=0
所以—3x~—5x+21
=x3-5x-3x2+21
=x(x2-5)-3x2+21
=x•0-3x2+21
=21—3/
=21-3X5
=6
—(x+72)=—(x+m)例7.解关于x的方程:
34
分析:
对于方程ax=b
bX——
(1)当aHO时,方程有唯一解:
ao
(2)当a=0,且bHO时,方程无解。
(3)当a=0,且b=0时,方程有无数个解。
%+心(十)
解:
由34可得:
4m(x+n)=3(兀+ni)
4twc+4mn=3尢+3m(4m一3)x=3m一4m/?
4加一3H0,当
3m-4mn
3亠3
m=—n壬一当4,4时,方程无解。
33
m=—,n=—当44时,方程有无数解。
例&某校初一年级甲、乙两个班,决定到市森林公园去搞一次野外写生活动,森林公
园的门票价格如下表:
购票人数
1~50人
51〜100人
100人以上
每人门票价
4.57G
4元
甲、乙两班共103人,(其中甲班人数多于乙班人数),如果两班都以班为单位分别购票,则一共需付486元
(1)如果两班联合起來,作为一个团体购票,则可节约多少钱?
(2)两班各有多少学生?
解:
(1)V103>100
・・・两班联合购票的门票价为4元
・••总票额为103X4=412元,可节省486-412=74(元)
即可节约74元钱。
(2)・・・甲、乙两班共103人,甲班人数多于乙班人数
・・・甲班人数多于50人
乙班人数有两种情况:
1若乙班少于或等于50人,设乙班有x名学生,
则甲班有(1°3-兀)名学生,则
5x+4.5(103-%)=486
解得兀=45,103—45=58
经检验,符合题意
・・・甲班有58人,乙班有45人。
2若乙班人数超过50人,设乙班有y人,贝IJ甲班有(1°3一刃人,贝IJ:
45^+45(103-y)=486
•・•此等式不成立
・・・这种情况不存在,
・・・甲班有58人,乙班有45人。
例9.如果eix2-^hx+c=px2-}-qx+r是恒等式,那么必有a=P,b=q,c=r
求b、c的值,使下面的恒等式成立:
x~+3x+2=(x—1)~+b(x—1)+c
解:
因为兀2+3兀+2=(无一1)2+/?
(%—l)+c是恒等式
所以对X的任意数值,等式都成立,
设兀=1代入恒等式,得
r+3X1+2=(1—1)2+/?
(l-l)+c
解得c=6
再设x=2代入恒等式,得
22+3X2+2=(2-1)2+级2-l)+c
即b+c=11
又因为c=6,所•以b=5
即b=5,c=6
7、有粗细不同的两支蜡烛,细蜡烛Z长为粗蜡烛Z长的2倍,细蜡烛点完需1小时,粗蜡烛点完需2小时.有一次停电,将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃,来电时,发现两支蜡烛所剩的长度一样,问停电的时间有多长?
8.关于x的方程2(兀一幻=兀+4与2x+l=x+3的解⑴相等,
(2)互为相反数,(3)
互为倒数,求k的值。
9.关于x的方程4x+2m二2x+l与3x-l=2(x+m)的解
(1)相等,
(2)互为相反数,(3)互为倒数,(4)第一个方程的解比第二个方程的解大2•求k的值
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