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一.教学目的
掌握点在两投影面体系和三投影面体系中的投影及点的投影特性。
理解重影点的概念、判断重影点的可见性。
了解两投影面体系中的分角和各分角中点的投影。
掌握空间两点的相对位置。
二.教学重点
讲课重点:
两投影面体系、三投影面体系的建立及点的投影特性,空间两点的相对位置关系。
三.教学难点
如何清楚地讲述的点的投影特性,在学习初期,有效地帮助学生建立良好的空间思维。
四.布置作业
习题集
一.投影法的形成
影子与投影概念的区别:
1.物体在光源的照射下会出现影子
2.光源发出的光线,假设能透过形体而将各个顶点和各条侧棱都在平面P上投落它们的影,这些点和线的影将组成一个能够反映出形体各部分形状的图形,这个图形称为形体的投影
(简单的说:
形体通过投影线在投影面上产生的投影)。
²
投影形成的三要素:
形体、投射线和投影面。
投影法中的空间形体,只研究它们的空间形状,而不涉及它们的制造材料、重量、质量分布是否均匀等物理性质。
二.投影的分类
1.中心投影——光源s通常称为投影中心,当投影中心在有限的距离内,发出放射状的投影线,这些投影线形成的投影称为中心投影(或投射线集中一点时产生的投影)。
2.平行投影——投影中心在无限远处,发出平行的投影线,这些平行投影线形成的投影称为平行投影(或平行投射线产生的投影)。
在平行投影中,根据投影线与投影面的倾角不同,又分为正投影和斜投影两种。
1)
正投影——平行投射线垂直投影面
2)
斜投影——平行投射线倾斜投影面
中心投影与平行投影的投影特性:
æ
中心投影:
如果改变形体与投射中心或投影面的距离,其投影的大小随之变化,度量性较差。
平行投影:
投影不随形体与投射中心或投影面的距离的改变而改变,度量性好;
且当空间形体的某一平面与投影面平行时,起头亚反映该平面的真实形状和大小。
(后一特性是平行投影的一个非常重要的特性)
三.投影法的应用
1.
利用中心投影法画透视图
特点:
逼真、形象、直观。
2.
利用斜投影法画轴测图
在与空间形体一个表面平行的投影面上作出的投影图。
3.
利用正投影法画正轴测图
在一个不平行于空间形体的任一向度(可理解为确定空间形体两两相互垂直的三个坐标轴的方向)的投影面上作出的投影图。
4.
利用正投影法画正投影图
在两个或两个以上相互垂直,并分别平行与空间形体的主要侧面的投影面上作出的投影
图。
这种由两个或连歌以上正投影组合而成,用以确定空间唯一的形体的一组投影,称为多面正投影图,简称正投影图。
5.
利用正投影法画标高投影图
将一段地面的等高线投射在水平的投影面上,并标注出各等高线的标高来表达该地段的
地形。
四.平行投影的特性(平行投影中的正投影同样遵循这样的投影特性)
显实性
相似性
积聚性
平行性
从属性
6.
定比性
五.投影图的形成
(一)一个投影的投影图(不能唯一确定空间形体)
在形体的正下方放一投影面,使其处于水平,这个投影面称为水平投影面H,简称H面,在H面上的投影称为水平投影或H投影。
(二)两个投影的投影图(有时也不能唯一确定空间形体)
垂直H面增加一正立投影面V,简称V面,在V面上的投影称为正面投影或V投影。
H面和V面组成一个两投影面体系。
两投影面的交线称为投影轴,V∩
H
=
OX轴。
V投影面反映形体的长度和高度,两投影面展开后,V投影与H投影左右对齐,这种投影关系称为“长对正”。
(三)三个投影的投影图(一般情况可以唯一确定空间形体)
同时垂直H面和V面增加一侧立投影面W,简称W面,在W面上的投影称为侧面投影或W投影。
H面、V面和W面组成一个三投影面体系。
投影面两两相交,其交线称为投影轴:
V∩H
OX轴
H∩W
OY轴
V∩W
OZ轴
V投影面反映形体的长度和高度,W投影面反映形体的宽度和高度。
两投影面展开后,V投影与W投影上下平齐,这种投影关系称为“高平齐”。
H投影面反映形体的长度和宽度,W投影面反映形体的高度和宽度。
两投影面展开后,H投影与W投影的宽度相等,这种投影关系称为“宽相等”。
六.投影图的特性
1.正投影的投影关系:
“长对正”、“高平齐”、“宽相等”。
2.每个投影面均反映两个坐标,同时反映上下、左右、前后方位关系。
沿x轴——反映左右
沿y轴——反映前后
沿z轴——反映上下
H投影面反映形体的长度和宽度,反映前后、左右方位关系。
V投影面反映形体的长度和高度,反映上下、左右方位关系。
W投影面反映形体的宽度和高度,反映前后、上下方位关系。
1-3点的投影
一.点的三面投影的展开
规定:
空间点用大写字母表示,点的三个投影都用同一个小写字母表示。
其中H投影不加撇,V投影加一撇,W投影加两撇。
1.V投影面保持不动,H投影面绕OX轴向下旋转90度。
2.V、H投影面保持不动,W投影面绕OZ
轴向右旋转90度。
点的投影特性:
a)
点在两个投影面上的投影连线,垂直与两投影面的交线,即垂直于投影轴。
b)
空间一点到投影面的距离等于另外一个投影到投影轴的距离。
3.最后三个投影面位于同一平面上,通常投影面的边框不必画出。
¯
强调点的投影特性,讲完后再重新总结一次。
二.点在其它分角中的投影
由于书中没有这方面的介绍,结合Powerpiont给出的立体图,简单介绍。
学生较容易理解。
三.点在三个投影面中的位置
1.x,y,z≠0,点在空间
2.
x=0
y,z≠0时,点在W面上
y=0
x,z≠0时,点在V面上
点在投影面上
z=0
y,x≠0时,点在H面上
3.x,y=0
z≠0,点在z轴上
y,z=0
x≠0,点在x轴上
z,x=0
y≠0,点在y轴上
4.x,y,z=0,点在坐标原点
例1
已知点A的正面投影a′和侧面投影a″(a),求作该点的水平投影。
分析:
在图b中,自a′向下作OX轴的垂线,自a″向下作OYw轴的垂线与45°
辅助直线交于一点,过该交点作OYH轴的垂线,与过a′竖直线交于a,a即为A点的水平投影。
例2 已知空间点A的坐标(18,12,15),求作其面三面投影。
分析:
由点A的坐标可知,A到W面的距离x=18,到V面距离y=12,到H面距离z=15。
根据点的每两个坐标确定一个投影的关系,便可进行作图。
四.两点的相对位置
两点的相对位置是指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。
判别方法:
X坐标大的在左,Y坐标大的在前,Z坐标大的在上。
例3.A、B两点的投影如下图,试判别A、B两点的相对位置。
分析:
如图 A在左,B在右;
A在后,B在前;
A在上,B在下。
∴ 点A在B的左、后、上方。
五.重影点
当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时,这两点在该投影面上的投影重合,称这两点为对该投影面的重影点。
1-4直线的投影
掌握空间各直线的投影特性及判别方法,了解直线与投影面倾角的概念。
掌握直线上点的投影。
掌握两直线的空间相对位置,并会利用两直线的空间相对位置求解直线上的特殊点的投影。
三种位置直线的投影特性、判别方法,直线上点的从属性。
依据直线的两面投影判断直线的相对位置。
两点确定一条直线,将直线上两点的同面投影用直线连接起来,就得到直线的三个投影。
一般情况下,直线的投影仍为直线。
直线的长度是无限长的,可以用直线上的任意两点的字母来标记,如直线AB、直线CD,或用一个字母表示,如直线L。
线段是直线上两点间的一段,线段的长度是有限的,用两端的端点来标记。
直线在三投影面中的位置关系有三种:
平行、垂直、倾斜。
其中平行、垂直称为投影面的特殊直线,倾斜称为投影面的一般直线。
一.投影面的垂直线——垂直于其中一个投影面,而同时平行另外两个投影面的直线。
这样的直线有三种:
垂直H面,平行V面、W面——铅垂线
垂直V面,平行H面、W面——正垂线
投影面的垂直线
垂直W面,平行H面、V面——侧垂线
结合立体图和展开后的平面图,以铅垂线为例阐述投影面垂直线的概念和投影特性,再来演示另外两种垂直线及其投影特性。
最后总结性提出投影面的垂直线的投影规律和判别方法。
投影面的垂直线的投影规律
1.在所垂直的投影面上积聚为一点。
2.另外两投影同时平行与两投影面的相交轴线,分别垂直积聚投影面的相应投影轴,且反映实长。
判别方法
只要有一投影积聚为一点,一定是投影面的垂直线,且垂直于积聚投影所在的投影面。
二.投影面的平行线——平行于一个投影面,倾斜于其它两个投影面的直线
这样的直线也有三种:
平行于H投影面,倾斜于V、W投影面的直线—称为水平线
平行于V投影面,倾斜于H、W投影面的直线—称为正平线投影面的平行线
平行于W投影面,倾斜于H、V投影面的直线—称为侧平线
阐述倾角的概念:
空间直线与投影面的倾角就是该直线和它在该投影面的投影所夹的角。
投影面的平行线的投影规律
1.在所平行的投影面上的投影反映平行线段实长,且与投影轴的夹角反映平行线于相应投影面夹角的实形。
2.另外两投影都小于实长,分别平行于平行投影面的相应轴线,同时垂直于两投影面的交线。
只要有一个投影是倾斜的,另外两个投影是平行的,一定是投影面的平行线,且平行倾斜投影所在的平面。
三.一般位置直线——与三个投影面都倾斜的直线
直线与H、V和W三投影面的夹角分别用α、β、γ表示。
一般位置直线的投影规律:
1.三面投影都是倾斜的,且长度都小于线段实长,即不反映实长。
2.三面投影都不反映直线对于H、V、W面的倾角α、β、γ实形。
只要有两个投影是倾斜的,一定为一般位置直线。
三部分讲完后,利用黑板举例提问加深印象。
四、直线上的点
主要讲两点:
1.从属性:
若点在直线上,则点的各个投影必在直线的同面投影上。
反之,如果点的各个投影均在直线的同面投影上,则点在直线上。
(开始部分学生不好理解这条,举例题帮助理解)
2.定比性:
一直线上两线段长度之比,等于它们的投影长度之比。
五、两直线的相对位置
空间两直线共有三种相对位置关系:
平行、相交、交叉
1.平行两直线
平行两直线的投影特性:
空间两直线平行,则其各同面投影必相互平行,反之亦然(即如果空间两直线各同面投影相互平行,则两直线必平行)。
对于两条一般位置直线,如果有两面投影相互平行,那么这两条直线必平行。
(特殊情况是针对两条侧平线而言)
2.相交两直线
相交两直线的投影特性:
空间两相交平行的同面投影必相交,且交点满足投影规律,即“长对正、高平齐、宽相等”。
同面投影必相交且交点符合投影规律两直线必相交。
3.交叉两直线
交叉两直线的投影特性:
三面投影不可能同时保持平行;
如果同面投影有交点,交点不符合投影规律。
既不平行又不相交的两直线必为交叉直线。
1-5平面的投影
掌握各种位置平面的投影特性及其判别方法,掌握平面上的两条特殊直线(水平线和正平线),会通过投影作图求平面上的点和直线。
掌握直线与平面、平面与平面平行的投影特性。
掌握直线与平面、平面与平面相交的投影特性,会正确求解交点或交线且正确判断可见性。
投影面的平行线和垂直线的投影特性和判别方法。
确定平面上的点和直线。
直线与平面、平面与平面平行关系的判断,直线与平面、平面与平面相交关系的求解及可见性判断。
如何判断两一般面相互平行,学生不易理解。
注意要将可见性判断的方法讲清楚,以往这部分作业做的不好。
结合例题,清楚明白地讲解解体思路,引导学生如何正确的思考问题。
一.平面的表示方法
1.不在同一直线上的三个点,确定一平面
2.一直线和线外一点
3.相交两直线
4.平行两直线
5.平面图形(任意平面多边形)
二.平面的位置及其投影特性
空间一平面相对投影面共有三种相对位置:
平行、垂直、一般位置。
平行面和垂直面称为投影面的特殊位置平面。
(一)平行面——平行于某一投影面,垂直于另两个投影面的平面
这样的平面有三种:
平行于H投影面,垂直于V、W投影面的平面—称为水平面
平行于V投影面,垂直于H、W投影面的平面—称为正平面
投影面的平行面
平行于W投影面,垂直于H、V投影面的平面—称为侧平面
以水平面为例阐述投影面平行面的概念和投影特性,再来演示另外两种平行面及其投影特性。
最后总结性提出投影面的平行面的投影特性和判别方法。
投影面平行面的投影特性:
1)如平面用平面形表示,则其在所平行的投影面上的投影,反映平面形的实形;
2)在另外两个投影面上的投影均为直线段,有积聚性,且平行于相应的投影轴。
只要有一个投影积聚为一条平行于投影轴的直线,一定为投影面的平行面,且平行于非积聚投影所在的投影面。
(二)垂直面——垂直于某一投影面,倾斜于另两个投影面
垂直H面,倾斜V面、W面——铅垂面
垂直V面,倾斜H面、W面——正垂面
投影面的垂直面
垂直W面,倾斜H面、V面——侧垂面
以铅垂面为例阐述投影面垂直面的概念和投影特性,再来演示另外两种垂直面及其投影特性。
最后总结性提出投影面的垂直面的投影特性和判别方法。
投影面垂直面的投影特性:
1)在其所垂直的投影面上,投影为斜直线,有积聚性;
该斜直线与投影轴的夹角反映该平面对相应投影面的倾角;
2)如用平面图形表示平面,则在另外两个投影面上的投影不是实形,但有相仿性。
只要平面的一个投影积聚为一倾斜直线,一定为投影面的垂直面,且垂直于积聚投影所在的投影面。
特别注意侧垂面的判断,只给出H、V投影不能简单判断为一般位置平面,通过补绘第三面投影来判断。
(三)一般位置平面——和三个投影面既不垂直也不平行的平面
如用平面图形(例如三角形)表示一般位置平面,其投影特性:
1)三面投影均无积聚性
2)三面投影反映原平面的类似形状,但都小于实形。
三投影都为平面图形,必为一般位置平面。
三、平面上的直线和点
1.平面上的直线和点
判别直线或点是否在平面上,给出几条判定方法
1.过平面上两点连一直线,则线在面上。
2.过平面上一点作面上另一直线的平行线,则所作直线在面上。
3.点在平面的一条直线上,则点必在平面上。
2.平面上的特殊直线
有两种:
投影面的平行线和最大斜度线。
这里只介绍投影面的平行线。
最常用的两条平面上的投影面平行线——平面上的水平线、平面上的正平线
第二章平面立体
了解空间形体的分类,掌握基本平面形体的投影特性及形体表面上求点的方法。
能够补绘由基本平面体演变的简单平面体组合体的第三面投影。
重点掌握基本形体的投影特性和形体表面上求点的方法。
根据形体的三面投影,正确建立形体的空间模型。
通过空间想象正确判断形体表面上点的投影的可见性。
2-12-2概述及平面体的投影
在建筑工程中的建筑物及其构配件,如果从几何体型角度来分析,它们总可以看作由一些形状简单,形成也简单的几何体组合而成。
在制图中常把这些工程上经常使用的单一几何形体如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球和圆环等称为基本几何体,简称基本体。
基本体有平面体和曲面体。
由平面围成的基本几何体称为平面体。
工程中常见的平面体主要有棱柱、棱锥和棱锥台。
一、棱柱体
棱柱由两个相互平行的底面和若干个侧棱面围成,相邻两侧棱面的交线称为侧棱线,简称棱线。
棱柱的棱线相互平行。
1.棱柱体的投影
从三棱柱的投影图中可看到:
其水平投影是一个三角形,它是三棱柱上、下底面的投影,三角形的三条边分别是左、右、后三个棱面的投影(有积聚性),三角形的三个顶点分别是三条棱线的水平投影;
正面投影中两个并立的矩形是三棱柱左、右两个棱面的投影;
正面投影的外形轮廓则是三棱柱后棱面的投影(反映实形);
正面投影中上、下两条水平线是三棱柱上、下底面的投影(有积聚性);
侧面投影只是一个矩形,左、右二棱面在此重影,上、下两条水平线仍是上、下底面有积聚性的投影,矩形的两条竖边中靠里面的一条还是三棱柱后棱面的投影(有积聚性)。
2.棱柱体表面上求点
棱柱体表面上求点可以利用柱体表面的积聚投影来求得。
例1已知三棱柱的三面投影及其表面上的点M和N的正面投影m'
和n'
,求作它们的另两个投影。
根据已知条件,M点必在三棱柱前右侧的棱面上(因m'
可见),而N点必在三棱柱的后棱面上(因n'
不可见)。
利用棱柱各棱面的水平投影有积聚性,可向下引投影连接直接找到两点的水平投影m和n,然后即可按投影规律求出这两点的侧面投影m"
和n"
。
二、棱锥体
棱锥由一个底面和若干个呈三角形的侧棱面围成,且所有棱面相交于一点,称为锥顶,常记为S。
棱锥相邻两棱面的交线称为棱线,所有的棱线都交于锥顶S。
棱锥体的投影
从三棱锥的三面投影图中可看到:
其水平投影是由三个全等的三角形组成,它们分别是三个棱面的水平投影,形状为等边三角形的外形轮廓则是三棱锥底面的投影(反映实形);
正面投影由两个三角形组成,它们是三棱锥左、右三棱面的投影,而外形轮廓的等腰三角形则是后棱面的投影,其底边为锥底的投影(有积聚性);
侧面投影是一个三角形(左、右二棱面重影),靠里侧的斜边是侧垂位置的后棱面的投影,底边仍为锥底的投影。
棱锥表面上求点
棱锥表面上求点可以在锥体表面上过点任意作一条直线作为解题的辅助线。
为了左图方便一般这条辅助线可以做成过点和锥顶的直线,或过点作平行与锥底的直线。
例2已知三棱锥的三面投影及其表面上点K的正面投影k'
和点L的水平投影l,求出它们的别两个投影。
(图a)
根据题中所给出的投影可知:
K点和L点分别位于三棱锥的SAB和SBC棱面上。
但由于这两个棱面都是一般位置的平面,它们的各个投影没有积聚性,因此,显然不可能再利用上例中的作图方法(利用积聚性)解题。
为了解决本题,需要在棱锥的棱面上作出过已知点的辅助线,然后再作出辅助线上该点的各投影。
三、棱台
棱台是棱锥的顶部被一平行于底面的平面所切割后形成的,其顶面和底面为相似多边形平面。
左图为一四棱台的三面投影图。
从四棱台的三面投影图中可看到:
其水平投影是由两个相似的矩形形和四个梯形组成,它们分别是顶面和底面的实形及四个棱面的水平投影;
正面投影一个梯形,它是棱台前、后棱面的投影,其顶边和底边为棱台顶面和底面的投影(有积聚性),左、右二棱线是左、右二棱面的投影(有积聚性);
侧面投影也是梯形,它是棱台左、右二棱面的投影,其顶边和底边为棱台顶面和底面的投影(有积聚性),靠里侧的斜边是侧垂位置的后棱面的投影,靠外侧的斜边是侧垂位置的前棱面的投影。
棱台表面上求点的方法同棱锥体。
2-3平面切割平面体
理解截交线的概念及形成。
掌握各种平面体表面上求点的方法。
熟练掌握求平面体截交线的步骤。
常见平面体表面定点的方法。
阐述求平面体截交线的过程。
注意求解步骤的最后一步中的可见性判断的讲解,要充分发挥学生的空间想象力,否则学生不易理解。
一.截交线
基本概念:
1.截平面:
假想用来切割形体的平面
2.截交线:
截平面与形体表面的交线
3.断面:
截交线围成的平面图形
截交线的性质:
1)截交线既在截平面上,又在立体表面上,是截平面与立体表面的共有线。
2)截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。
3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点,多边形的各边是截平面与立体各表面的交线。
二.平面体的截交线
截交线的形状,随着截平面的位置、数量以及形体各表面的相交情况而改变。
1.棱柱上的截交线
已知正五棱柱被截切后的正面投影和部分水平投影,试补全其水平投影,并作出侧面投影(图a)。
由图a可知,截平面P是一正垂面,它与正五棱柱的四个棱面及上底面相交,故截交线为五边形,其正面投影积聚为直线,其余两投影为类似形。
截交线的五个顶点分别是截平面与正五棱柱三条棱线及上底面两条边线的交。
(a)
(b)
(c)
2.棱锥上的截交线
例2求正垂面P与三棱锥的截交线。
从正面投影中可清楚地看到,截平面P与三棱锥的底面不相交,只与三个棱面相交。
因此,截交线是一个三角形。
由于截平面是一正垂面,它的正面投影有积聚性,因此,截交线的正面投影必重影于Pv上,
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