高中数学第一章三角函数142正弦函数余弦函数的性质1学案新人教A版必修408223178.docx
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高中数学第一章三角函数142正弦函数余弦函数的性质1学案新人教A版必修408223178
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
(一)
学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义(重点).2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期(重点).3.掌握函数y=sinx、y=cosx的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性(重点).
知识点1 周期函数
1.周期函数
条件
①对于函数f(x),存在一个非零常数T
②当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)
结论
函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期
2.最小正周期
条件
周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做f(x)的最小正周期
【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)周期函数y=f(x)的定义域可以为[a,b](a,b∈R).( )
(2)任何周期函数都有最小正周期.( )
(3)若存在正数T,使f(x+T)=-f(x),则函数f(x)的周期为2T.( )
提示
(1)×,周期函数的定义域一定为无限集,且无上下界.
(2)×,常数函数f(x)=c,任意一个正实数都是其周期,因而不存在最小正周期.
(3)√,f(x+2T)=f[(x+T)+T]=-f(x+T)=-[-f(x)]=f(x),所以f(x)的周期为2T.
知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y=sinx
y=cosx
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
【预习评价】
函数y=sin(x+)是( )
A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数
解析 因为y=sin(x+)=cosx,所以该函数是周期为2π的偶函数.
答案 D
题型一 求三角函数的周期
【例1】 求下列函数的周期:
(1)y=2sin(x+),x∈R;
(2)y=1-2cos(x),x∈R;
(3)y=|sinx|,x∈R.
解
(1)∵2sin
=2sin=2sin,
∴自变量x只要并且至少要增加到x+4π,
函数y=2sin,x∈R的值才能重复出现,
∴函数y=2sin,x∈R的周期是4π.
(2)∵1-2cos[(x+4)]=1-2cos(x+2π)=1-2cos(x),
∴自变量x只需并且至少要增加到x+4,函数y=1-2cos(x),x∈R的值才能重复出现,
∴函数y=1-2cos(x),x∈R的周期是4.
(3)作图如下:
观察图象可知最小正周期为π.
规律方法 求三角函数周期的方法
(1)定义法,即利用周期函数的定义求解.
(2)公式法,对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=.
(3)观察法,即通过观察函数图象求其周期.
三种方法各有所长,要根据函数式的结构特征,选择适当的方法求解.
【训练1】
(1)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是( )
解析 对于D,x∈(-1,1)时的图象与其他区间图象不同,不是周期函数.
答案 D
(2)下列函数中,周期为的是( )
A.y=sinB.y=sin2x
C.y=cosD.y=cos4x
解析 选项A,周期T==4π;选项B,周期T==π;选项C,周期T==8π;选项D,周期T==.
答案 D
题型二 三角函数的奇偶性
【例2】 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=sin;
(2)f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx);
(3)f(x)=.
解
(1)显然x∈R,f(x)=cosx,
f(-x)=cos=cosx=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(2)由得-1 解得定义域为. ∴f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx) ∴f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)] =lg(1+sinx)-lg(1-sinx)=-f(x). ∴f(x)为奇函数. (3)∵1+sinx≠0,∴sinx≠-1, ∴x∈R且x≠2kπ-,k∈Z. ∵定义域不关于原点对称,∴该函数是非奇非偶函数. 规律方法 判断函数奇偶性的两个关键点 关键点一: 看函数的定义域是否关于原点对称; 关键点二: 看f(-x)与f(x)的关系. 对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断. 【训练2】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|sinx|+cosx; (2)f(x)=+. 解 (1)函数的定义域为R, 又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),所以f(x)是偶函数. (2)由1-cosx≥0且cosx-1≥0,得cosx=1,从而x=2kπ,k∈Z,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数. 典例 迁移 题型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 【例3】 (1)下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是( ) A.y=cos|2x|B.y=|sinx| C.y=sinD.y=cos 解析 y=cos|2x|是偶函数,y=|sinx|是偶函数,y=sin=cos2x是偶函数,y=cos=-sin2x是奇函数,根据公式得其最小正周期T=π. 答案 D (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈时,f(x)=sinx,则f等于( ) A.-B. C.-D. 解析 f()=f(-π)=f()=f(-π)=f(-)=f()=sin=. 答案 D 【迁移1】 若将例3 (2)题中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,结果如何? 解 f()=f(-π)=f()=f(-π)=f(-)=-f()=-sin=-. 【迁移2】 若将例3 (2)题条件不变,求f+f的值. 解 f()=f(672π+)=f()=sin=, f()=f(672π+)=f()=f(-)=f()=sin=, 所以f()+f()=+=. 规律方法 三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期,常用方法是公式法,即将函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再利用公式求解. (2)判断函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)是否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asinωx(Aω≠0)或y=Acosωx(Aω≠0)其中的一个. 【训练3】 若函数f(x)是以为周期的偶函数,且f=1,则f=________. 解析 f(-)=f(-+3π)=f()=f(-)=f(-)=f()=1. 答案 1 课堂达标 1.函数f(x)=sin的最小正周期为( ) A.4πB.2πC.πD. 解析 由题意T==π,故选C. 答案 C 2.函数f(x)=cos(x-)的周期是( ) A.3B.3π C.6D.6π 解析 T==6. 答案 C 3.函数y=sin(ωx+)的最小正周期为2,则ω的值为________. 解析 T==2,∴|ω|=π,∴ω=±π. 答案 ±π 4.函数f(x)是周期函数,10是f(x)的一个周期,且f (2)=,则f(22)=________. 解析 f(22)=f(22-20)=f (2)=. 答案 5.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=sin (2)f(x)=x·cosx. 解 (1)f(x)的定义域是R,且f(x)=sin=-cosx, 所以f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数. (2)f(x)的定义域是R,又f(-x)=(-x)·cos(-x)=-xcosx=-f(x), 所以f(x)是奇函数. 课堂小结 1.求函数的最小正周期的常用方法: (1)定义法,即观察出周期,再用定义来验证;也可由函数所具有的某些性质推出使f(x+T)=f(x)成立的T. (2)图象法,即作出y=f(x)的图象,观察图象可求出T,如y=|sinx|. (3)结论法,一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,A≠0,ω>0,x∈R)的周期T=. 2.判断函数的奇偶性,必须坚持“定义域优先”的原则,准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,从而判断奇偶性. 基础过关 1.函数f(x)=x+sinx,x∈R( ) A.是奇函数,但不是偶函数 B.是偶函数,但不是奇函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数 解析 由f(-x)=-x-sinx=-(x+sinx)=-f(x)可知f(x)是奇函数. 答案 A 2.下列函数中,周期为2π的是( ) A.y=sinB.y=sin2x C.y=|sin|D.y=|sin2x| 解析 y=sin的周期为T==4π; y=sin2x的周期为T==π; y=|sin|的周期为T=2π; y=|sin2x|的周期为T=. 故选C. 答案 C 3.定义在R上的函数f(x)周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为( ) A.1B.-1 C.0D.2 解析 f=f=f=-f=-1. 答案 B 4.若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数,则φ=________. 解析 由诱导公式得若f(x)是偶函数,则φ=+kπ,k∈Z. 答案 +kπ,k∈Z 5.若f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=sinx,则f(x)的解析式为________. 解析 当x<0时,-x>0,所以f(-x)=sin(-x)=-sinx, 又f(-x)=f(x),所以f(x)=-sinx, 即f(x)= 答案 f(x)= 6.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=coscos(π+x); (2)f(x)=+; (3)f(x)=. 解 (1)x∈R,f(x)=cos(+2x)cos(π+x) =-sin2x·(-cosx)=sin2xcosx. ∴f(-x)=sin(-2x)cos(-x)=-sin2xcosx =-f(x). ∴y=f(x)是奇函数. (2)对任意x∈R,-1≤sinx≤1, ∴1+sinx≥0,1-sinx≥0. ∴f(x)=+的定义域是R. ∵f(-x)=+, =+=f(x), ∴y=f(x)是偶函数. (3)∵esinx-e-sinx≠0,∴sinx≠0, ∴x∈R且x≠kπ,k∈Z. ∴定义域关于原点对称. 又∵f(-x)===-f(x), ∴该函数是奇函数. 7.已知f(x)是以π为周期的偶函数,且x∈时,f(x)=1-sinx,求当x∈时,f(x)的解析式. 解 x∈时,3π-x∈, ∵x∈时,f(x)=1-sinx, ∴f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sinx. 又∵f(x)是以π为周期的偶函数, ∴f(3π-x)=f(-x)=f(x), ∴f(x)的解析式为f(x)=1-sinx,x∈. 能力提升 8.函数y=的奇偶性为( ) A.奇函数 B.既是奇函数也是偶函数 C.偶函数 D.非奇非偶函数 解析 由题意知,当1-sinx≠0, 即sinx≠1时, y==|sinx|, 所以函数的定义域为, 由于定义域不关于原点对称, 所以该函数是非奇非偶函数. 答案 D 9.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=则f的值等于( ) A.1B. C.0D.- 解析 f=f(-+×3)=f=sin=. 答案 B 10.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法: ①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数; ②存在φ,使f(x)是偶函数; ③存在φ,使f(x)是奇函数; ④对任意的φ,f(x)都不是偶函数. 其中错误的是________(填序号). 解析 φ=0时,f(x)=sinx是奇函数. φ=时,f(x)=cosx是偶函数. 答案 ①④ 11.设函数f(x)=sinx,则f (1)+f (2)+f(3)+…+f(2017)=________. 解析 ∵f(x)=sinx的周期T==6. ∴f (1)+f (2)+f(3)+…+f(2017) =336[f (1)+f (2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2017) =336 +f(336×6+1)=336×0+f (1)=sin=. 答案 12.判断函数f(x)=ln(sinx+)的奇偶性. 解 ∵sinx+≥sinx+1≥0, 若两处等号同时取到,则sinx=0且sinx=-1矛盾, ∴对x∈R都有sinx+>0. ∵f(-x)=ln(-sinx+) =ln(-sinx)=ln(+sinx)-1 =-ln(sinx+)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 13.(选做题)已知函数f(x)=cos,若函数g(x)的最小正周期是π,且当x∈时,g(x)=f,求关于x的方程g(x)=的解集. 解 当x∈时, g(x)=f=cos. 因为x+∈, 所以由g(x)=解得x+=-或, 即x=-或-. 又因为g(x)的最小正周期为π. 所以g(x)=的解集为 . 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。 读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。 读大海,读出了它气势磅礴的豪情。 读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。 幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。 幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。 幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。 幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。 幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩: 从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。 鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。 矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。 蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。 航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。 5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。 井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。 笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。 山中的石! 当你背靠群峰时,意志就坚了。 水中的萍! 当你随波逐流后,根基就没了。 空中的鸟! 当你展翅蓝天中,宇宙就大了。 空中的雁! 当你离开队伍时,危险就大了。 地下的煤! 你燃烧自己后,贡献就大了 6、朋友是什么? 朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。 朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。 一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。 一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。 8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血; 青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。
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