华中师范大学微分几何试题答案.docx
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华中师范大学微分几何试题答案
华中师范大学2004-2005学年第二学期
期末考试试卷(A卷)答案
课程名称微分几何课程编号42121100任课教师周振荣
题型
填空
计算
证明
应用
总分
分值
10
70
10
10
100
得分
得分评阅人
一、填空题:
(共5题,每题2分,共10分)
1•曲线的伏雷内公式为
2•设曲面的参数表示为r=r(u,v),则I:
rv|用第一基本量表示为^EG-F?
3.曲面的咼斯方程为Rmijk-LmkLij—■LmjLik
5•第二类克氏符号:
宀泸寺号煜)
1.圆柱螺线的参数表示为r=(cost,sint,t)。
计算它在(1,0,0)点的切线、密切平面、法平面
方程以及在任意点处的曲率和挠率。
(35分)
解:
:
(0)二{1,0,0},3(0)={0,1,1},r(0)二{-1,0,0},所以
法平面:
(X-1)0(Y-0)1(Z-0)1=0,即YZ=0
密切平面:
X-1YZ
011
-100
r(t)二{「cost,「sint,0},r(t)={sint,「cost,0}。
2.计算抛物面z=x2・y2的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、脐点。
(35分)
解:
r={x,y,x2y2},・二{1,0,2x},ry={0,1,2y},
所以有
得分
评阅人
在脐点有II=■I,由此得x=y=0,即唯一的脐点是原点
三、证明题:
(共1题,10分)若曲面的两族渐近线交于一定角,则主曲率之比为常数。
证明:
取渐进网为曲纹坐标网,则v曲线与u曲线的夹角为常数-,且V曲线方向的法曲率为零。
得分
评阅人
解:
7k1k^0
根据欧拉公式有k1cos2v-k2sin%-0
四、应用题:
(共1题,10分)用高斯-波涅定理证明极小曲面上不存在简单闭测地线。
由于在测地线上kg=0
由高斯-波涅公式有
Kd;=2-<0。
CT
矛盾
华中师范大学2005-2006学年第二学期
期末考试试卷(A卷)
课程名称微分几何课程编号42121100任课教师周振荣
题型
叙述
填空
计算
证明
总分
分值
10
30
30
30
100
得分
k
2.高斯-波涅公式:
Kd—丁gds*a(二-二)二2,其中:
i是:
G的第i个内角的角度,
■:
--i是外角的角度.
=etsint,z二et,当t=0时的切线方程为x「1=y=z「1。
4.设曲面的参数表示为r二r(u,v),则〔rurv|用第一基本量表示为:
EG-F2。
J2J2
5.曲线x=tsint,y=tcost,z=tet在原点的切向量为a(0,——,一),主法向量为
22
6.圆柱螺线的参数表示为r=(acost,asint,bt)。
计算它的曲率和挠率。
解r=(一asint,acost,b),
r=(-acost,-asint,0),
r=(asint,-acost,0),|r|a2b2,
rr=(absint,-abcost,a2),
|rr|=.a2b2a4
所以有
7.计算正螺面r=(ucosv,usinv,av)的高斯曲率、平均曲率。
解ru=(cosv,sinv,0),rv=(-usinv,ucosv,a),ruu=(0,0,0),ruv=(—sinv,cosv,0),5=(—ucosv,—usinv,0),
-usinvucosva
F—rurv=0,G=r『v=a
8.求证
(1)如果测地线是渐近线,则它必定是直线。
(2)如果测地线是曲率线,则它必定是平面曲线。
证明
(1)由■,八「2g,如果曲线是测地线C-g=0)且是渐近线(■厂0),则■=0,
所以曲线是直线。
n-a•丫。
因为曲线是曲率线,所以a是Weingarten变换W的特征向量,即WaVa,
uu-nv
其中■是主曲率。
再由Weingarten变换的定义WW(ruu'rvW)--%u-nvv--h,所以
—-a=•y,■=0。
9.证明球面r=(acosucosv,acosusinv,asinu)上曲线的测地曲率为二—sinu—,其中gdsds
是曲线与球面上经线(u-曲线)的夹角。
证明因为经线是u-曲线,所以二是曲线与u-曲线的夹角。
直接计算得E二a2,F=0,
G=a2cos2u。
因为
ds|ru|AS,
另一方面,由链式法则有空二九典rv-dV。
比较这两式得
dsdsds
dvdu
sin=G—,cos=E一。
dsds
代入刘维尔公式得
华中师范大学2006-2007学年第二学期
期末考试试卷(A卷)答案
课程名称微分几何课程编号42121100任课教师郭驼英、周振荣
题型
简述
填空
计算
证明
总分
分值
15
20
45
20
100
得分
得分评阅人
一、简述题:
(共3题,每题5分,共15分)
4.设有曲线x二etcost,y二etsint,z二et,则当t=0时的切线方程为x-1=y=z-1。
5.设曲面S:
r=r(u,v)的第一基本形式为I=dusinh2udv2,则其上的曲线u=v从v=w到t-t
v=v2的弧长为|sinhw-sinhv21。
(这里sinht=旦—)
2
6.设曲面S:
r=r(u,v)在某点处的第一基本量为E=G=1,F=0,第二基本量为
L二a,M=0,N二b,则曲面在该点沿方向(d)=(1:
2)的法曲率为k^a4b
5
7.设曲面S:
r=r(u,v)在某点处的第二基本量为L=1,M=0,N=_1,贝U曲面在该点的渐近
方向为(d)=(1:
_1)o
8.求曲线r(t)=(acosht,asinht,at)的曲率和挠率,其中cosht,sinht=
22
|r1=、、2acosht,
|rr2a2cosh21,
2
(r,r,r)=a,
9.计算抛物面z=x2•y2的高斯曲率和平均曲率.
解设抛物面的参数表示为r(x,y^(x,y,x2y2),则
|rxry|4x24y2i
22
E=rxrx=14x,F=rxr^4xy,G=\口=14y,
L=冬4x24y21’
N=Hyy
4x24y21
1GL-2FMEN
2EG-F2
29
4x24y22
3
(4x24y21尸10•求位于正螺面r=(ucosv,usinv,av)上的圆柱螺线x=u°cosv,y=u°sinv,z=av的测地曲
率。
解因为F=0,所以是正交网
直接计算得E=1,G=u2a,
证明直纹面的参数表示为r=a(u),vb(u)。
由此得
ru=a(u)vb(u),b(u),
ruu=avb,⑰二b,j二0,
abvbb
EG-F2
(b,b,b)v2_[(a,b,b)_(b,a,b)]v_(a,a,b)JEG-F2
(b:
a:
b)N=0
、EG-F2'
等式成立的充要条件是(b;a,b)=0,即曲面是可展曲面。
12•设有曲面r二r(u,v),其单位法向量是n,高斯曲率是K。
证明nunv=K吒rv
证明因nu,nv是切向量,所以nug/口r。
设nu%-■rurv。
两边与吒r作内积得
(nunv)(ruQ)=■(险rQ(险"。
由拉格朗日公式得•二K。
华中师范大学2009-2010学年第二学期
期末考试试卷(A卷)答案
课程名称微分几何课程编号85820002任课教师周振荣
题型
简述
填空
计算
证明
总分
分值
15
20
45
20
100
得分
得分评阅人
一、简述题:
(共3题,每题5分,共15分)
4.设有曲线x二etcost,y二etsint,z二et,则当t=0时的切线方程为x-1=y=z-1。
5.
设曲面S:
r=r(u,v)的第一基本形式为I=dusinh2udv2,则其上的曲线u=v从v二⑷到
(这里sinht二
v=v2的弧长为|sinhw「sinhv21。
6.设曲面S:
r=r(u,v)在某点处的第一基本量为E=G=1,F=0,第二基本量为
7.设曲面S:
r=r(u,v)在某点处的第一类基本量为E=1,G=1,且曲面在该点的切向量ru,rv
8.圆柱螺线的参数表示为r=(acost,asint,bt)。
计算它的曲率和挠率。
解r=(一asint,acost,b),
r=(-acost,-asint,0),
r=(asint,-acost,0),|r\=\ab,
rr=(absint,-abcost,a2),
|rr|-、.a2b2a4.
所以有
'■=九,J為
9.计算抛物面z=x2•y2的高斯曲率和平均曲率.
解设抛物面的参数表示为r(x,y^(x,y,x2y2),则
rx=(1,0,2x),©=(0,1,2y),
rxx=(0,0,2),5=ryx=(0,0,0),q=(0,0,2),
ijk
以汉口=102x=(—2x,—2y,1),
012y
rxry(—2x,—2y,1)
n二
|rxry|4x24y21'
=ryyn=
yy,4x24y21,
10.求位于正螺面r=(ucosv,usinv,av)上的圆柱螺线x=u0cosv,y=u0sinv,z=av的测地曲
率。
解因为F=0,所以是正交网。
圆柱螺线是v-曲线,由刘维尔定理有kg—厂
v2JEcu
直接计算得E=1,G=u2a2,
所以kgv=u^。
11.求证直纹面的高斯曲率K^O,等号成立的充要条件是直纹面可展。
证明直纹面的参数表示为t=a(u)vb(u)。
由此得
ru二a(u)vb(u),j二b(u),
ruu=avb,£=b,■二0,
L=(b,b,b)v2_[(a,b,b)_(b,a,b)]v_(a,a,b)
m,n"。
22
所以k」N-M2「(b,a,b22g,
EG-F2(EG-F2)2
等式成立的充要条件是(b,a,b)=0,即曲面是可展曲面。
12•设有曲面r=r(u,v),其单位法向量是n,高斯曲率是K。
证明nunv=K吒j。
证明因nu,nv是切向量,所以nunJgr。
设nu%二■rurv。
两边与吒匚作内积得
(nunv)(rurv^■(吒rv)(吒rv)。
11•求证直纹面的高斯曲率K^O,等号成立的充要条件是直纹面可展。
证明直纹面的参数表示为^a(u)vb(u)。
由此得
ru二a(u)vb(u),j二b(u),
ruu二avb,怙二b,g二0,
a"^b+vb^bn=
JeG-F2
EG-F2
L=(b:
b:
b)v2+[(a:
b;b)*(b:
乳b)]v+(a:
a:
b),
M,N=0。
.EG-F2
所以七「加0,
等式成立的充要条件是(b,a,b)=0,即曲面是可展曲面。
12•设有曲面r=r(u,v),其单位法向量是n,高斯曲率是K。
证明nunv二K吒匚。
证明因nu,nv是切向量,所以nunv//□r
设nunv二'rum。
两边与吒r作内积得
(nunv)(ruQ)='(%rv)(几"。
由拉格朗日公式得•二K
1.什么叫内蕴量?
请举两个内蕴量的例子。
答由第一基本形式决定的量叫内蕴量。
如高斯曲率、曲面区域的面积。
1.什么叫内蕴量?
请举两个内蕴量的例子。
答由第一基本形式决定的量叫内蕴量。
如高斯曲率、曲面区域的面积。
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