小学五年级奥数100题及答案.docx
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小学五年级奥数100题及答案
一、计算题。
(共100题)
1.
一本书的页码需要1995个数字,问这本书一共有多少页?
分析与解从第1页到第9页,用9个数字;
从第10页到第99页,用180个数字;
从第100页开始,每页将用3个数字。
1995-〔9+180〕=1806〔个数字〕
1806÷3=602〔页〕
602+99=701〔页〕
2.
某礼堂有20排座位,其中第一排有10个座位,后面每一排都比它前面的一排多一个座位。
如果允许参加考试的学生坐在任意一行,但是在同一行中不能与其他同学挨着,那么在考试时,这个礼堂最多能安排多少名学生就试?
分析与解根据要求,第一排有10个座位,可以坐5个学生;第二排有11个座位,可以坐6个学生;第三排有12个座位也可以坐6个学生;第四排可以坐7个,第五排可以坐7个;第六、七排都可以坐8个;第八、九排都可以坐9个;?
?
第20排可以坐15个。
这样一共可以坐学生:
3.
一半真一半假A、B、C、D四人赛跑,三名观众对赛跑成绩做如下估计:
王晨说:
"B得第二名,C得第一名。
"
张旭说:
"C得第二名,D得第三名。
"
李光说:
"A得第二名,D得第四名。
"
实际上,每人都说对了一半。
同学们,你能说出A、B、C、D各是第几名吗?
分析与解先假设王晨说的"B得第二名是"正确的。
因为只能有一个人是第二名,所以"C得第二名",与"A得第二名"就都是错误的。
这样张旭与李光说的后半句话:
"D得第三名"和"D得第四名"就应该是正确的了。
然而这两句话自相矛盾,从而可以认定原始的假设是不成立的,应全部推翻。
再假设王晨说的:
"C得第一名"是正确的,从而推出"C得第二名"是错误,而"D得第三名"是正确的,而"D得第四名"那么又是错误的,因而"A得第二名"那么是正确的。
在推导过程中没有出现矛盾,说明假设成立。
总之,推导的结论为:
A得第二名,B得第四名,C得第一名,D得第三名。
这题还可以用列表的方式来解答。
这种方法比拟直观,学生更容易接受。
这里提供的只是一种列表方式,把三位观众的原始估计显示在表内,再根据题中条件进行推理、判断,最后推出正确结果。
4.
下面这串数是按一定规律排列的:
6、3、2、4、7、8、……
那么这串数的前1995个数的和是多少?
第1995个数除以5余几?
分析与解观察这串数的排列规律,不难发现:
从第二个数起,每个数都比它前面那个数与后面那个数的和小5,因此,这串数继续排下去为:
6、3、2、4、7、8、6、3、2、4、7、8、6、3、……
又发现6、3、2、4、7、8为一循环排列。
1995÷6=332……3〔6+3+2+4+7+8〕×332+〔6+3+2〕
=30×332+11=9971∴前1995个数的和为9971
第1995个数为:
2
2÷5=0.2
∴第1995个数除以5余2
5.
在一道减法算式中,被减数加减数再加差的和是674,又知减数比差的3倍多17,求减数。
分析与解根据题中条件,被减数+减数+差=674.可以推出:
减数+差=674÷2=337〔因为被减数=减数+差〕。
又知,减数比差的3倍多17,就是说,减数=差×3+17,将其代入:
减数+差=337,得出:
差×3+17+差=337差×4=320差=80于是,减数=80×3+17=257
6.
少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯或亮或暗,变幻无穷。
200个灯泡按1~200编号。
灯泡的亮暗规那么是:
第1秒,全部灯泡变亮;第2秒,凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗;第3秒,凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态〔即亮的变暗,暗的变亮〕;第4秒,凡编号为4的倍数的灯泡改变原来亮暗状态。
这样继续下去,……200秒为一周期。
当第200秒时,哪些灯是亮着的?
分析与解在解答这个问题时,我们要用到这样一个知识:
任何一个非平方数,它的全体约数的个数是偶数;任何一个平方数,它的全体约数的个数是奇数。
例如,6和18都是非平方数,6的约数有:
1、2、3、6,共4个;18的约数有1、2、3、6、9、18,共6个。
它们的约数的个数都是偶数。
又例如,16和25都是平方数,16的约数有:
1、2、4、8、16,共5个;25的约数有1、5、25,共3个。
它们的约数的个数都是奇数。
回到此题。
此题中,最初这些灯泡都是暗的。
第一秒,所有灯都变亮了;第2秒,编号为2的倍数〔即偶数〕的灯由亮变暗;第3秒,编号为3的倍数的灯改变原来的亮暗状态,就是说,3号灯由亮变暗,可是6号灯那么由暗变亮,而9号灯却由亮变暗……。
这样推下去,很难理出个头绪来。
正确的解题思路应该是这样的:
但凡亮暗变化是偶数次的灯,一定回到最初状态,即是暗着的。
只有亮暗变化是奇数次的灯,才是亮着的。
因此,只要考虑从第1秒到第200秒这段时间,每盏灯变化次数的奇偶性就可判断灯的亮暗状态。
一个号码为a的灯,如果有7个约数,那么它的亮暗变化就是7次,所以每盏灯在第200秒时是亮还是暗决定于每盏灯的编号的约数是奇数还是偶数。
我们道,只有平方数的全部约数的个数是奇数。
这样1~200之间,只有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196这14个数为平方数,因而这些号码的灯是亮着的,而其余各盏灯那么都是暗着的。
用奇偶性分析解题,是我们经常用的一种解题方法,既灵活又有趣。
7.
新年快到了,五年级三个班决定互相赠送一些图书,三个班原有的图书数量各不相同。
如果五〔1〕班把本班的一局部图书赠给五〔2〕班和五〔3〕班,那么这两个班的图书数量各增加一倍;然后五〔2〕班也把本班的一局部图书赠给五〔1〕班和五〔3〕班,这两个班的图书数量也各增加一倍;接着五〔3〕班又把本班的图书一局部赠给五〔1〕班和五〔2〕班,这两个班的图书又各增加一倍。
这时,三个班的图书数量都是72本,问原来各班各有图书有多少本?
分析与解我们采用逆推与列表的方法进行分析推理。
在每次重新变化后,三个班的图书总数是不会改变的。
由此,可以从最后三个班的图书数量都是72本出发进行逆推。
〔1〕班、〔2〕班的图书各增加1倍后是72本,〔1〕班、〔2〕班的图书数量,在没有增加一倍时都是72÷2=36〔本〕。
现在把〔1〕班、〔2〕班增加的本数〔各36本〕还给〔3〕班,〔3〕班应是72+36+36=144〔本〕。
依此类推,求出三个班原来各有的本数。
为了使逆推过程看得更清楚,我们采用列表的方式进行。
通过上表可以看出:
五〔1〕班原有图书117本,五〔2〕班原有图书63本,五〔3〕原有图书36本。
为了保证解答正确,可根据题意,从最后求出的各班原有图书数量出发,按题目中三次分配方法进行计算,看看每班的图书是否最终都是72本。
这样通过顺、逆两方面推导,可确保解题正确。
8.
和平里小学五〔1〕班有学生40名,他们在一起做纸花,每人手中的纸从7张到46张不等,没有二人拿相同的张数。
今规定用3张或4张纸做一朵花,并要求每人必须把分给自己的纸全部用光,并尽可能地要多做一些花,问最后用4张纸做的花共有多少朵?
分析与解为了多做一些花,就需要尽量用3张纸做1朵花。
我们采用列表的方法找出用4张纸做1朵花的规律。
从上表不难看出,用4张纸做花的朵数的规律是:
1、2、0、1、2、0、1、2、0、……
40÷3=13……1〔1+2〕×13+1=40〔朵〕
9.
写出所有分母是两位数,分子是1,而且能够化成有限小数的分数。
分析与解当一个最简分数的分母只含2和5质因数时,这个分数就能化成有限小数。
所以,当分母是16、32、64、25、10、20、40、80、50时,这样的分数都能化成有限小数。
10.
筐中有72个苹果,将它们全部取出来,分成偶数堆,使得每堆中苹果的个数相同。
一共有多少种分法?
分析与解72的约数有:
1、2、3、4、6、12、18、24、36、72在这些约数中一共有8个偶约数,即可分为:
2堆、4堆、6堆、12堆、18堆、24堆、36堆和72堆,一共有8种分法。
11.
求商一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88的商是多少?
分析与解设这个六位数为23A56B.因为这个六位数是88的倍数,所以必定是8和11的倍数。
根据能被8整除的数的特征:
"一个数的末三位数能被8整除,这个数就能被8整除",B可以取0或8.如果B=0,那么,根据能被11整除的数的特征:
"一个数,奇数位上数字和与偶数位上数字和的差被11整除,这个数就能被11整除"可以知道:
2+A+6-〔3+5+0〕=A是0或11的倍数。
显然,A不可能是11的倍数,因为A必须小于10.因此得到A=0所以六位数为:
230560除以88的商为:
230560÷88=2620如果B=8,那么根据能被11整除的特征,可求得A=8,于是六位数为238568.这个数与88的商为:
238568÷88=2711
12.
一个筐里有6个苹果、5个桃、7个梨。
〔1〕小华从筐里任取一个水果,有多少种不同的取法?
〔2〕小华从这三种水果各取一个,有多少种不同的取法?
分析与解〔1〕只取苹果,有6种取法;只取桃,有5种取法;只取梨,有7种取法。
根据加法原理,一共有6+5+7=18种不同取法。
〔2〕分三步进行,第一步取一个苹果,有6种取法;第二步取一个桃,有5种取法;第三步取一个梨,有7种取法。
根据乘法原理,要取三种不同类的水果,共有6×5×7=210种不同取法。
13.
甲、乙二人进行射击比赛。
规定每中一发记20分,脱靶一发扣去12分。
两人各打了10发子弹,共得208分,其中甲比乙多得64分,甲、乙二人各中了多少发?
分析与解根据题中条件,可以求出:
甲得:
〔208+64〕÷2=136〔分〕
乙得:
〔208-64〕÷2=72〔分〕
又知甲、乙二人各打了10发子弹,假设甲打的10发子弹完全打中,应该得20×10=200〔分〕,比实际多得200-136=64〔分〕,这是因为每脱靶一发比打中一发少得20+12=32〔分〕的缘故。
多出的64分里有几个32分,就是脱靶几发。
由此可得,甲脱靶了64÷32=2〔发〕
所以甲打中10-2=8〔发〕
列出综合算式如下:
10-[20×10-〔208+64〕÷2]÷〔20+12〕=8〔发〕
同理,乙打中:
10-[20×10-〔208-64〕÷2]÷〔20+12〕=6〔发〕
14.
猴子妈妈采来了一篮桃子,她让小猴子数一数共采了多少桃子。
小猴子3个3个地数,最后多出1个,它就把多出的一个扔在一边;它又5个5个地数,到最后还是多出一个,它又把多出的1个扔在一边;最后它7个7个地数,还是多出1个。
它数了三次,到底有多少桃子,还是不清楚。
小朋友,你知道这篮子里至少有多少个桃子吗?
分析与解此题可概括为"一个数用3除余1,用5除余2,用7除余3,这个数最小是多少?
"
我们从余数开始逆推:
由于用3除余1,所以这个数为3n+1〔n为正整数〕。
要使3n+1这个数继而满足用5除余2的条件,可用n=1,2,3……来试代,发现当n=2时,3×2+1=7满足条件。
由于15能被3和5整除,所以15m+7这些数〔m为正整数〕,也能满足用3除余1,用5除余2这两个条件。
在15m+7中选择适当的m,使之用7除得到的余数为3.也是采取试代的方法,试代的结果得出:
当m=3时满足条件。
这样15×3+7=52为所求的答案,也就是说这篮桃子至少有52个。
对于这类用3、5、7三个数来除分别得到不同余数的题目,有没有一个解答的规律呢?
有。
我国有个著名的余数定理,它可以用四句诗来形象地记忆。
三人同行七十稀,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,抛五去百便得知。
这四句诗叫"孙子点兵"歌,外国称它为"中国剩余定理"。
这首诗的意思是:
70乘上用3除所得的余数,21乘上用5除所得的余数,15乘上用7除所得的余数,然后把这三个乘积加起来,其和加或减105的整数倍,就可以得到所需要的数了。
现在我们回到此题,并运用上述方法求解。
由于用3除余1,用5除余2,用7除余3,所以,70×1+21×2+15×3=70+42+45=157因为要求的是最小值,所以157-105=52
15.
和平里小学五年级四个班共买了135本图书,但不知道每班各买了多少本,只知道,如果五〔1〕班减少3本,五〔2〕班加上3本,五〔3〕班增加一倍,五〔4〕班减少一半,那么四个班所买的图书本数就相等了。
请你帮助算一算,每个班各买了多少本?
分析与解设五〔3〕班买了图书x本,那么根据题意,五〔3〕班所买图书本数的两倍,等于五〔1〕班所买图书本数减3,所以五〔1〕班所买图书本数应为2x+3;同理可推得,五〔2〕班所买图书本数应为2x-3,五〔4〕
班所买图书本数应为4x.列方程,得〔2x+3〕+〔2x-3〕+x+4x=135解方程,得x=15五〔1〕班买图书2x+3=30+3=33〔本〕
五〔2〕班买图书2x-3=30-3=27〔本〕
五〔3〕班买图书x=15〔本〕
五〔4〕班买图书4x=4×15=60〔本〕
16.
把前十个质数由小到大、从左向右排成一行,删掉其中十个数字,让剩下的数最大,应该怎么删?
17.
在下面13个8之间的适当位置添上+、-、×、÷运算符号或括号,使得下式成立:
8888888888888=1995
分析与解
先找一个接近1995的数,如:
8888÷8+888=1999这个数比1995大4,这样,就把原来的问题转化成找出利用剩下的5个8添上适当的运算符号,得出结果是4的算式。
因为〔8+8+8+8〕÷8=41999-4=1995所以,这个等式为8888÷8+888-〔8+8+8+8〕÷8=1995
18.
一个机床厂,今年第一季度生产车床198台,比去年同期的产量2倍多36台,去年第一季度生产多少台?
解:
设去年第一季度产量为x台。
2x+36=198
x=81
19.
有一批待加工的零件,甲单独做需4天,乙单独做需5天,如果两人合作,那么完成任务时甲比乙多做了20个零件。
这批零件共有多少个?
解答:
甲和乙的工作时间比为4:
5,所以工作效率比是5:
4工作量的比也5:
4,把甲做的看作5份,乙做的看作4份。
那么甲比乙多1份,就是20个。
因此9份就是180个,所以这批零件共180个
20.
在下面的数表中,上、下两行都是等差数列。
上、下对应的两个数字中,大数减小数的差最小是几?
解答:
1000-1=999 997-995=992 每次减少7,999/7=12……5 所以下面减上面最小是5 1333-1=1332 1332/7=190……2 所以上面减下面最小是2因此这个差最小是2。
21.
如图,正方形ABCD的边长是12,BE=2CE,DF=EF,三角形BEF的面积是〔〕。
解答:
连结BD,三角形BCD的面积是12×12÷2=72,三角形BDE的面积是72÷3×2=48,三角形BEF的面积是48÷2=24。
22.
如图,正方形ABCD的边长是4,E、P、F分别是AD、CE、BP的中点,△DBF的面积是〔〕。
解答:
如图,连接PD和BE。
因为△BCD的面积是4×4÷2=8,△BCE的面积也是8,
因为E是AD的中点,所以△DEC的面积是4×4÷2÷2=4,
又因为P是CE的中点,所以△DPC的面积是4÷2=2,△PBC的面积是8÷2=4。
从而△DBP的面积是8-4-2=2,所以△DBF的面积为1。
23.
有一个直角梯形ABCD〔图11〕,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形ABF的面积比三角形EFD的面积大17.4平方厘米,那么ED长多少厘米?
解答:
连接DB〔图12〕。
三角形ABF比三角形EFD的面积大17.4平方厘米,所以三角形ABD比三角形BED的面积也大17.4平方厘米。
AB=8厘米,BC=6厘米,三角形ABD的面积等于8×6÷2=24〔平方厘米〕。
三角形BDE的面积是:
24-17.4=6.6〔平方厘米〕。
而三角形BDE的面积等于ED×BC÷2即ED×6÷2=6.6所以ED长是2.2厘米。
24.
一个圆周长90厘米,3个点把这个圆周分成三等分,3只爬虫A,B,C分别在这3个点上.它们同时出发,按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒,B的速度是5厘米/秒,C的速度是3厘米/秒,3只
爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置?
解答:
先考虑B与C这两只爬虫,什么时候能到达同一位置.开始时,它们相差30厘米,每秒钟B能追上C〔5-3〕厘米0.30÷〔5-3〕=15〔秒〕.
因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置,B要追上C一圈,也就是追上90厘米,需要90÷〔5-3〕=45〔秒〕.B与C到达同一位置,出发后的秒数是15,,105,150,195,……
再看看A与B什么时候到达同一位置.
第一次是出发后
30÷〔10-5〕=6〔秒〕,
以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要
90÷〔10-5〕=18〔秒〕,
A与B到达同一位置,出发后的秒数是
6,24,42,,78,96,…
对照两行列出的秒数,就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.
答:
3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.
请思考,3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒?
25.
光明乡一共有30个村,每3个村都不在一条直线上,每两村之间架一条电线,一共要架多少条电线?
解答:
共有30个村,每3个村都不在一直线上,所以任意一村都与其他29个村架一条电线,30村一共可以架29×30=870〔条〕,但是这样算,把每条电线都计算了两次,因此,最多可以架电线:
29×30÷2=435〔条〕
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