第七章假设检验1229005116.docx
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第七章假设检验1229005116
第七章假设检验
一、教材说明
本章主要介绍统讣假设检验的基本概念和基本思想、正态总体参数的统计假设的显著性检验方法
1、本章的教学目的与要求
(1)使学生了解假设检验的基本概念:
(2)使学生了解假设检验的基本思想:
(3)使学生掌握假设检验的基本步骤;
(4)使学生会计算检验的两类错误,搞淸楚两类错误的关系:
(5)使学生掌握正态总体参数的假设检验,主要是检验统计量及貝分布,检验拒绝域的确定;
(6)使学生灵活运用所学知识解决实际问题。
2、本章的重点与难点
本章的重点是正态总体参数的并种假设检验中的检验统汁量及其分布,难点是假设检验拒绝域的确定。
二、教学内容
下而主要分3节来讲解本章的主要内容。
§7.1假设检验的基本概念
对总体分布或分布中的某些参数作出假设,然后利用样本的观测值所提供的信息,运用数理统计的分析方法,检验这种假设是否成立,从而决泄接受或拒绝“假设”,这一统讣推断过程,称为假设检验。
1•引例
我们先举一个简单的实例来说明假设检验的基本思想及推理方法.
例丄:
某车间用一台包装机包装匍萄糖,包得的袋装糖重是一个随机变量,它服从正态分布.且知标准差为0.015千克.当机器正常时,其均值为0.5千克,某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的糖9袋,称得净重为(千克):
0.4970.5060.5180.5240.49S0.5110.5200.5150.512,问机器是否正常?
分析:
用“和o■分別表示这一天袋装糖重总体X的均值和标准差,则“~N(“,0.0152),其中“未知。
问题:
已知总体X〜N(“,亍),且b=久=0.015,根据样本值判断“=0.5还是“H0.5o
提出两个对立假设仏:
“=“>=0.5(原假设或零假设)和备择假设).
再利用已知样本作岀判断是接受假设日0(拒绝假设,还是拒绝假设日0(接受假设//,).如果作岀的判断是接受则“即认为机器工作是正常的,否则,认为是不正
常的.
不应太大,匚络~N(O,1),
因为乂是“的无偏估讣量,所以,若Ho为真,则p-
值;满足土竿nk时,拒绝假设丹();反之,当观察值;满足△二时,接受假设a\JJnc/y/n
H()O因为当〃()为真时.U=N(0,l),由标准正态分布分位点的泄义得:
k=ual2,当匚单>“”时,拒绝血,匚单v%门时,接受H°.
假设检验过程如下:
在实例中,
⑴若取定a=0.05,则k=ua/2=如025=1・96,我们有
P(\U1>1.96)=P(〔X二仔>196)=0.05.
6)/s/n
又已知”=9,0)=0.015,由样本算得元=0.511,即有Iul二匸单=2.2>1.96,5)/y/n
于是根据小概率事件实际不可能性原理,拒绝假设H.f认为包装机工作不正常.
(2)若取定a=0.01,贝ijk=ua!
2=w0(x)5=2.5&lul二吐单=2.2v2.5&于是接受
假设认为包装机工作正常.
注:
上述Q称为显著性水平•此例表明假设检验的结论与选取的显著性水平Q有密切的关系.
所以,必须说明假设检验的结论是在怎样的显著水平©下作出的.
2•假设检验的基本思想及推理方法
1)假设检验基本思想
(1)在假设检验中,提出要求检验的假设,称为原假设或零假设,记为原假设如
果不成立,就要接受列一个假设,这另一个假设称为备择假设或对立假设,记为
(2)假设检验的依据一一小概率原理:
小概率事件在一次试验中实际上不会发生。
(3)假设检验的思路是概率性质的反证法。
即首先假设成立,然后根据一次抽样所得的
样本值得信息,若导致小概率事件发生,则拒绝原假设,否则接受原假设。
(4)假设检验可能犯的两类错误:
1第一类错误(弃真错误):
即假设为真而被拒绝,记为即
P{拒绝H(〉l乩)为真}=ao
2第二类错误(存伪错误):
假设不真而被接受,记为“,即
P{接受HqIHo不真}=0。
3当样本容虽:
"一立时,久0不可能同时减少,在实际工作中总是控制&适当的小。
2)假设检验的程序
对任何实际问题进行假设检验,英程序一般为五步,即:
⑴根据题意提出零假设(或相应备选假设0)。
⑵构造样本统计量并确逹其分布;
⑶给左显著性水平查表确左临界值,从而得出接受域和拒绝域;
⑷由样本观测值计算出统计量的值;
⑸作出判断:
若统il涅的值落入拒绝域则拒绝若统il鱼的值落入接受域则接受仏。
3)假设检验的主要方法
□检验法、/检验法、无2检验法、尸检验法。
例2已知某产品使用寿命X服从正态分布,要求平均使用寿命不低于1000小时,现从一批这种产品中随机抽出25只,测得平均使用寿命为950小时,样本方差为100小时。
则可用
()
1t-检验法②才-检验法
3Z--检验法④F-检验法
解选①
例3假设检验时,只减少样本容量,犯两类错误的概率()
1都增大②都减少
③不变④一个增大,一个减少
解选①
例4正态总体X~2(“。
泊川2,…,X”为样本,文=+浄门假设检验
£(兀•-才
H.:
<725冼(b°为己知数),在显著性水平0下,则当*=—_—()时拒绝检
解由于当弘成立时,⑺一_5Gj,而⑺一1莎1••〜才⑺_]),故
巧bb
P((/?
~1),S->力:
("-D)<皿"一讥>加⑺一1))=G于是选④
b(;b
§7.2单个正态总体的假设检验
(1)X:
N@,/),/已知,检验假设H。
:
―曲
U检验法:
®H0:
“二从(H,:
“工“°或“>"(>或“<“0)
2统计量U=-A-〜N(0,l)(H°成立时)。
b訂麻
3给出a,P{p|>”f}=a,查止表定%.
4由样本值(州,切……,耳)计算u的值
5判断:
若Iu\>ua/2,则拒绝H°
(这是对双侧检验提出的U检验法步骤,若是单侧可仿比)
(2)X〜N(H,Q2),a2未知,检验假设H°:
|x=p0
/检验法:
®H():
“二从(H1:
“工仏或“〉“。
或“v“o)
2T=—-—~t(n—1)(//。
成立时)o
S/
3给出a,P{|T|>ta(n-\)}=a,查t分布表定ta(n-1).
52
4由样本值计算T的值.
5判断:
若|忖妆⑺-1),则拒绝,否则接受H°(若是单侧可查t表定乞(“-1),
同样得出拒绝域).
(3)X~未知,检验假设H°:
b—b;
®H0:
b—b;(Hi:
b’Hbj)
•2Z;(£-X)2
2Z2=—一驴一=;Z2(«-1)(H°成立时)。
兀q;
3给岀a,P{FV才a("—l)}=P{才〉加("一1)}=£,查才分布表泄力5-1)
V222
及Z,2a(«-!
)•
1——
2
4由样本值计算才的值
6判断:
若*>龙:
("一1)或才V才a(“_l),则拒绝H(),反之则接受/;()•
2,_2
(-)已知方差
例5设某产品的某项质量指标服从正态分布,已知它的标准差b=150,现从一批产品中随机地抽取26个,测得该项指标的平均值为1637。
问能否认为这批产品的该项指标值为1600(a=0.05)?
解⑴提岀原假设:
H。
:
“=1600,H1:
/7#1600;
(2)选取统计量”=壬半
(3)对于给左的显著性水平a=0.05,查标准正态分布表
11a=“0.025=1・96
2
(4)计算统计量观察值
1637-1600%1258
ct0/\M150/V26
⑸结论|»|=1.258/=1.96接受原假设Ji。
-2
即不能否左这批产品该项指标为1600.
(二)未知方差,检验H():
〃="(,
例6某厂生产乐器用合金弦线,苴抗拉强度服从均值为10560(kg/cw2)的正态分布。
现
从一批产品中抽取10根测得貝抗拉强度(单位:
kg/cm2)为:
10512106231066S1055410776
1070710557105811066610670
⑴对显著性水平«=0.05,问这批产品的抗拉强度有无显著变化?
⑵对显著性水平«=0.01,结果如何?
(已知
仏(9)=1.833,匕“(9)=2.262^0.01⑼=2.821,/0005(9)=3.250)
解①假设检验血:
“=10560,对耳:
“工10560
2方差未知时,检验数学期望选用统计量
丁=&芈眉,柚。
成立时,T〜口7-1)其中肿=丄土匕一疔
Sn-1/-1
_1n1
3对给左样本值,计算得x=_工兀=—(10152+10623+…+10670)=10631.4
〜“、SQO44
10670-10.10631.4-)=^
4
当显著性水平«=0.05时,拒绝域为|r|>rOO25(9)=2.262,
这里山=2.788>2.262,落入拒绝域,所以在&=0.05不应接受H。
即认为抗拉强度有显著变化。
当显著性水平a=0.01时,拒绝域为ITI>/000S⑼=3.250,即认为这批产品的抗拉强度无显著性变化。
例7已知某种元件的寿命服从正态分布,要求该元件的平均寿命不低于1000小时,现从这批元件中随机抽取25只,测得平均寿命X=980小时标准差5=65小时试在显著水平<7=0.05下,确左这批元件是否合格
(附表do(24)=1.13&也5(24)=1」71,r0975(24)=2.064)
分析元件是否合格,应通过寿命低于1000小时来判断(21000小时都合格),这里对总体均值的单测检验,"2未知,用『一检验法
解①提岀检验假设:
“=他=1000,=1000
2选取统计量r=当/成立时丁〜心―I)
S
3由样本观测值,计算统计量所取的值。
这里x=980,r=65得
x/25
④对显著水平a=0.05拒绝域(临界域)/STz(〃—l)=—b95(24)=—1.711
因为/>—心95(24)=—1.711,未落入拒绝域,应接受否定耳:
即认为这批元件合格。
(三床知均值,检验心:
/二此
例5某工厂生产的铜丝折断力(单位:
斤)服从正态分布N(//,82),某日随机抽取了10根进行折
断力检验,测得平均折断力为57.5斤,样本方差为68.16,在仪=0.05下,检验H.:
cr2=82对
H\:
L和2,(加975⑼=19.023,加025⑼=2.7)
解用才-检验法,检验统计量为r=^b
对/2=10,a=0.05拒绝域为:
Z2>也2(«-9=Zo.o975(9)=19.023或
X~-xa/2(n-1)=益0975(9)=2.7
有样本观察值月•算得r=10,68,16=10.65
8"
因为才=10.65已(加。
25(9),力為5®))=(2719.023)所以接受弘。
例6某种导线,要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。
今在生产的一批导线中取样品9根,测得s=0.007(欧姆),设总体为正态分布,问在水平0=0.05下能认为这种导线的标准差显著地偏大吗?
(加外⑻=15.507,加皿⑻=17.5)
分析凡方差'‘大于”、"不低于”、“偏大”、“偏小”等问题,均属于方差的单侧检验问题,
其假设的提出有两种方式:
有的书提出原假设//0:
o-2=er;和备择假设
号),本教材按前者讲述。
1检验假设弘:
//o:
cr2=cT(;=O.OO52,:
亍=0.0052
2选用统计量才」"_川】,当成立时,z2~z2(n-l)o
(9_1)*00072
3由样本观察值,计算统计量所取值为力‘=-一一=15.68
0.005
4对a=0.05,由已知才0.95(8)=15.507,拒绝域
Z2>Z2i-«9(/7-1)=Z2o.95(8)=15.507o这里/2=15.68>15.507故拒绝接受厲:
即认为这批导线的标准差显著的偏大。
§7.3两个正态总体的假设检验
(1)b;,b;己知,检验假设仏:
吗=“2
U检验法:
1%“=“2(H1:
“H“2)
y
2”=「~N(0」),(H()成立时)。
3给出66查止态表定Ua
2
4由样本值(西,xv,xn),(yry2t,yn)计算U的值
5作出判断:
若w>iia则拒绝Ho,反之接受H().
"7
(2)b;,b;未知,但b二bj,检验假设"=“2
/检验法:
®H0:
“二“2(H|:
“二“2或“>“2或“V“2)
2T=XJ•〜g+吗_2)(血成立时)。
y/(nrl)s;2+(n:
-l)S:
2V厲+e-
③④⑤同前
(3)",“2,未知,检验假设Ho:
:
b;Hb;)
F检验法:
1Ho:
b;=cr?
(Hi:
erf工cr;)
2F=S:
/S;2~_I"一1)(H°成立时)
(一)已知b;及b;,检验假设H.:
“=“2
例1由累积资料知道甲,乙两矿的含灰率服从X〜N(h,7・5),Y〜N(“2,26)。
现从
两矿中各取几个试件,分析其含灰率为:
甲矿:
24.320.S23.721.317.4(%)乙矿:
18.216.920.216.7(%)
问:
甲乙两矿所采煤的含灰率的数学期望从和“2有无显著性水平差异?
(显著性水平
a=0.10)・(Z()W=1・28,Z()95=1-64)
解已知右及曲,假设检验用Z〜检验法。
1提出零假设Hq:
“]=“2,对H]:
“]丰“2
2选取统计驻='匸W:
当成立时,Z〜N(0.1)
3对显著性水平a=0.10,由Zo<95=1.64=1.64,确立临界域|Z|=Z=1.64
1——
2
4计算统计量Z的观察值。
X=21.5,7=18于是
2L5-18=239
7.5十2.6
由于|Z|=2.39>1.64,故拒绝即可以认为a和“2有显著性差异。
(二)未知,但b:
=b;,假设检验:
“=仏例2某物品在处理前与处理后抽样分析含脂率(%)如下:
处理前x:
0.190.1S0.210.300.410.120.17
处理后y:
0.130.150.070.240.190.060.080.12
设含脂率分别服从正态分布N(对显著性水平a=0.05,试问:
处理前后的平均含脂率有无显著性差异?
(仏75(13)=2.160j0975(14)=2.145)分析首先需要艮检验法验i正二总体方差是否有显著性差异,在无显著性差异(视为相等)的条件下,然后利用T-检验法在检验二总体均值是否有显著性差异。
解
(1)利用F-检验法检验二总体方差有无显著性差异。
1检验假设Ho:
b:
=cr;:
b:
丰b;
2选用统讣量尸=各,当H。
:
成立时,F~F(®—1,6—1)
3对给泄显著性水平a=0.05,有F-分布表得临界值,
Fa(6,7)=5.12,F“(6,7)=—1—=丄=0」75气?
巧(6,7)5.70
4计算统UMF的样本观察值
_1f,i_1巾
X=—22^,=0・24了=一2匕=0.13tl\r=ln2/=i
1_■
e百歹T)653
1勺_
s?
=y(y;-y)2=3.9*io-?
心j倚
故F=^-=1.93e(0.175,5.12),接受弘,认为二总体方差无显著性差异。
S;
(2)利用T-检验法检验二总体均值有无显著性差异。
1检验假设Ho:
“I=“2,H\:
“2丰“2
2选取统讣量
s尸
\mn
T_x-Y-(“-“2)”皿2(%+“2-2)
J(q-1)S:
+(“2-1)S;Vn1+n2
Hq成立时,T~(Mj+n2一2)
3对给泄显箸性水平a=0.05,得拒绝域|7[>r0975(13)=2.160
4计算统UMT的观测值
2.849
片-卩加"2他+心一2亍—0.24—0.13卩*8*13_0.11心旳
临-1用+(也-屈Y再+〃2v'6*7.5*10-5+7*3.9*10-37+80.269,
由于|/|=2.849>/0^(13)=2.1600故拒绝接受即处理后含脂率有显著差异。
(3)均值未知,检验假设H.:
err=CT£
例3某一橡胶配方中,原用氧化锌5®现减为lg,若分别用两种配方做一批实验,
5g配方测9个值,得橡胶伸长率的样本差是S:
=63.86:
lg配方测3个值,橡胶伸长率的
样本差是5^=236.8,设橡胶伸长率遵从正态分布,问两种配方的伸长率的总体标准差有
■
无显著差异?
(“0・10)(厲95(&9)=3・23凡5(9,8)=3.39)
分析两种配方的伸长率的总体标准差有无显箸差异,是通过样本值去判断是否
成立,是均值未知的两个总体方差是否相等的检验,5g配方和lg配方记为
X~~N(“2,b;)
解①检验假设:
b;=:
b:
Hb;
S[,
2选取统计量F=鼻,当Ho成立时F=马~F(叫一1,“2-1)
■
3对显箸性水平a=0.10由题设化点&9)=3・23,厲05(&9)=——=丄=0.295。
7^95(9,8)3.39
故拒绝域为[0,0.295]u[3.23,七]
4
计算统汁量F的样本观察值
由于F=0・2697$(0・295,3・23),即F落入拒绝域,应拒绝仇,接受即a=0.10下
认为两个总体的方差是不等的。
注:
若将显著性水平改为a=0.02,此时
F“(&9)=7^^(8,9)=5.47,F“(9,8)=佗%(9,8)=5.91H2'"2
此时拒绝域
样本观察值F=0.2697未落入拒绝域,故接受即认为两种配方总体方差无显著差异.说明显著性水平越小,否世零假设越困难。
(4)均值未知,检验假设:
<(T;
例4有甲乙两车床生产同一型号的滚珠,根据已有经验可以认为,这两台车床生产的滚珠都服从正态分布,问题是要比较台车床生产的滚珠的直径的方差。
现在从这两台车床的产品中分別抽取8个和9个,经计算得X卩=15.01,X/=14.99,S討0.0955,S;=0.0261,对显著性水平a=0.05,试问:
乙车床产品的方差是否比甲车床的小?
(/a(7$)=3.50,局5(&7)=3・73,九.”5(7,8)=4.53,九皿(&7)=4.90)分析由题意,是验证是否成立,而单边检验所提假设含等号,故此题可假设为
H。
:
阮
解利用F-检验法检验两总体方差比。
①检验假设H():
6:
Sb;,%:
代>b;②选取统计十才第-自由度是7’第二自由度是嘶分布
3由题知阳(7$)=3・50,故拒绝域为[3・50,乜)
4统汁量F的样本观察值
F歸
=00955=3.694
0.0261
由于f=3.659>3.50,故应拒绝接受即乙车床产品的直径的方差比甲车床的小。
二.两个正态总体均值差的检验
设坷宀,…,®是来自总体X服从的样本,儿,儿,…,儿是来自总体Y服从Ngb;)的样本,且两样本相互独立,考虑如下的三种检验:
H。
:
“一“25°VS耳:
M-“2>0
(1)
Hq:
P\一“2n0V5:
“I一“2V0
(2)
H{}:
“]一“2=0V5H]:
“I一“2H0(3)
主要分两种情况讨论。
1、",6已知时的两样本的检验
22
此时P\_禺的估计元—y的分布完全已知,元一亍~N(”]一“2,-+~♦由此可
mn
采用U检验法,检验统汁虽:
为
在时,U=』二'=~"(0,1)。
检验的拒绝域取决于备择假设的形式。
上述三
对假设检验的拒绝域分布为:
W={U;U>U^a}
W={U;U W={U;\U\>U^} 2、(jx=(j2=a但未知时的两样本t—检验 在CT;=CT;=CT2未知时,类似于单个正态总体方差未知时均值的检验,我们仍用b? 的无偏估计代替b? 而此时可以证明CT? 的无偏估计为: (加—1)S;+G—1)S; m+/Z-2 于是有 从而检验统讣量为 ~"〃? +川-2)。 上述三对假设检验的拒绝域分布为: W={T;T>t^(m+n-2)} W={T\T W=\T^\>t_a{m+n-2)] 例7.23某厂铸造车间为提髙铸件的耐磨性而试制了一种银合金铸件以取代铜合金铸件,从两种铸件中各■抽取一个容量分别为8和9的样本,测得英硬度(一种耐磨性指标)为: 線合金76.4376.2173.5869.6965.2970.8382.7572.34 铜合金73.6664.2769.3471.3769.7768.1267.2768.0762.61 根据专业经验,硬度服从正态分布,且方差保持不变,试在显著性水平or=0.05下判断操 合金的硬度是否有明显提髙? 解略。 综上,关于两个正态总体均值差的假设检验问题可汇总成如下的表: 条件 原假设丹0 备择假设 检验统计量 及其分布 拒绝域 b2 已知 Ai§“2 A1>“2 u=|: 一〉‘,~n(o,i)伍+空 u>Uz 卩\二“2 “<“2 U5Ua P=A) 〃H“U vmn |生% 2 未知 卩\<“2 A>“2 Y-V T=1~t(m+n一2) S”3\mn T>/j_a(w+7? -2) “n“2 “1<“2 T -2) “=“2 “丰“2 \T\>t^a(m+n-2) 2 一、正态总体方差的检验 设总体x〜“,厂,…,心是来自该总体的样本,对方差o■'考虑如下的三种检验: VSvs 1、均值“未知时方差的检验 1川o 由于“未知,52=——Y(xz-T)2是丁的无偏估计,且b2=b: 有并一1片 才=也举.~上乙一1) 对于显著性水平a,对应上述三种假设检验的拒绝域分布为: b& W={才;"V】>z2! -^(«-1)或(V】<z2? ⑺-1)1 b°■b。 - 例7.2.4某类钢板每块的重量X服从正态分布,其一项质量指标是钢板重量的方差不
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