理数高考数学试题分类汇编02三角向量.docx
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理数高考数学试题分类汇编02三角向量
第3章三角函数、解三角形
第1讲三角函数的图象和性质
1、选择题
1.[2017•全国?
,6]设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在单调递减
答案 D
解析 A项,因为f(x)=cos的周期为2kπ(k∈Z),所以f(x)的一个周期为-2π,A项正确.B项,因为f(x)=cos图象的对称轴为直线x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的图象关于直线x=对称,B项正确.C项,f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-π,当k=1时,x=,所以f(x+π)的一个零点为x=,C项正确.D项,因为f(x)=cos的递减区间为2kπ-,2kπ+(k∈Z),递增区间为2kπ+,2kπ+(k∈Z),所以是减区间,,π是增区间,D项错误.故选D.
2.[2017•天津卷,7]设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )
A.ω=,φ=B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=-D.ω=,φ=
答案 A
解析 ∵f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,
∴f(x)的最小正周期为4=3π,
∴ω==,∴f(x)=2sin.
∴2sin=2,得φ=2kπ+,k∈Z.
又|φ|<π,∴取k=0,得φ=.故选A.
3.[2016•全国?
,12]已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为( )
A.11B.9C.7D.5
答案 B
解析 依题意,有(m,n∈Z),
∴
又|φ|¡Ü,∴m+n=0或m+n=-1.
由f(x)在上单调,得¡Ý-,∴ω¡Ü12.
当m+n=0时,ω=4n+1,φ=,
取n=2,得ω=9,f(x)=sin符合题意;当m+n=-1时,φ=-,ω=4n+3,取n=2,得ω=11,f(x)=sin,此时,当x∈时,11x-∈,f(x)不单调,不合题意.故选B.
4.[2016•全国?
,7]若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)
C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)
答案 B
解析 将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin=2sin的图象,由2x+=kπ+(k∈Z),可得x=+(k∈Z).则平移后图象的对称轴为x=+(k∈Z),故选B.
5.[2016•浙江卷,5]设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期( )
A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关
答案 B
解析 f(x)=sin2x+bsinx+c,若b=0,则f(x)=sin2x+c=(1-cos2x)+c,此时f(x)的周期为π;若b¡Ù0,则f(x)的周期为2π,所以选B.
6.[2016•四川卷,3]为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度
答案 D
解析 将y=sin2x的图象向右平行移动个单位长度得到y=sin=sin的图象,故选D.
7.[2016•山东卷,7]函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)的最小正周期是( )
A.B.πC.D.2π
答案 B
解析 ∵f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)=4sincos=2sin,∴T==π,故选B.
8.[2015•浙江卷,7]存在函数f(x)满足:
对于任意x∈R都有( )
A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+x
C.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|
答案 D
解析 通过举反例排除.本题主要考查函数的概念,即对于任一变量x有唯一的y与之相对应.对于A,当x=或时,sin2x均为1,而sinx与x2+x此时均有两个值,故A、B错误;对于C,当x=1或-1时,x2+1=2,而|x+1|有两个值,故C错误,故选D.
9.[2015•陕西卷,3]
如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinx+φ+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:
m)的最大值为( )
A.5B.6C.8D.10
答案 C
解析 由题图可知-3+k=2,k=5,y=3sinx+φ+5,∴ymax=3+5=8.
10.[2014•大纲卷,3]设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则( )
A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b
答案 C
解析 ∵b=cos55°=sin35°>sin33°=a,∴b>a.
又∵c=tan35°=>sin35°=cos55°=b,
∴c>b.∴c>b>a.故选C.
11.[2013•浙江卷,4]已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则¡°f(x)是奇函数¡±是¡°φ=¡±的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 f(x)是奇函数时,φ=+kπ(k∈Z);φ=时,f(x)=Acos=-Asinωx,为奇函数.所以¡°f(x)是奇函数¡±是¡°φ=¡±的必要不充分条件,选B.
12.[2013•湖北卷,4]将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 y=f(x)=cosx+sinx=2sin,向左平移m(m>0)个单位长度后得f(x+m)=2sin,图象关于y轴对称,
令x=0,得=2,
从而m+=2kπ±,故m=2kπ+或m=2kπ-,k∈Z,又m>0,所以mmin=.
13.[2013•四川卷,5]函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )
A.2,-B.2,-C.4,-D.4,
答案 A
解析 由题中图象可知T=-T=T=π,
则ω===2.
又图象过点,
则f=22sin=2sin=1.
∵-<φ<,
∴<φ+<,
∴+φ=,
∴φ=-.故选A.
14.[2013•山东卷,5]将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )
A.B.C.0D.-
答案 B
解析 由题意得g(x)=sin=sin为偶函数,∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ+.令k=0,得φ=,故选B.
15.[2013•北京卷,3]¡°φ=π¡±是¡°曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点¡±的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin2x,此时曲线过坐标原点;但曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点时,φ=kπ(k∈Z),∴¡°φ=π¡±是¡°曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点¡±的充分而不必要条件,故选A.
16.[2013•江西卷,10]如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,l∥l1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧的长为x(0 答案 D 解析 如图,当长为x时,长为,又半径为1,此时∠GOH=,HI=1-cos,∴CD=BE==·,又BC=, ∴y=EB+BC+CD=+=2-·cos. 显然函数图象非直线型,排除A;又f¡ä(x)=sin,当0 2、填空题 1.[2018•全国? ,16]已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是________. 答案 - 解析 f¡ä(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=4(cosx+1),所以当cosx<时函数单调递减,当cosx>时函数单调递增,从而得到函数的减区间为(k∈Z),函数的增区间为2kπ-,2kπ+(k∈Z),所以当x=2kπ-,k∈Z时,函数f(x)取得最小值,此时sinx=-,sin2x=-,所以f(x)min=2¡Á-=-. 2.[2016•全国? ,14]函数y=sinx-cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到. 答案 解析 因为y=sinx+cosx=2sinx+,y=sinx-cosx=2sinx-,所以把y=2sinx+的图象至少向右平移个单位长度可得y=2sinx-的图象. 3.[2015•浙江卷,11]函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是________,单调递减区间是________. 答案 π +kπ,+kπ(k∈Z) 解析 由题意知,f(x)=sin(2x-)+,所以最小正周期T=π.令+2kπ¡Ü2x-¡Ü+2kπ(k∈Z),得kπ+¡Üx¡Ükπ+(k∈Z),故单调递减区间为+kπ,+kπ(k∈Z). 4.[2013•江苏卷,1]函数y=3sin的最小正周期为________. 答案 π 解析 T==π. 5.[2013•江西卷,11]函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为________. 答案 π 解析 ∵y=sin2x+(1-cos2x)=2sin+,∴最小正周期T==π. 3、解答题 1.[2017•山东卷,16]设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3,已知f=0. (1)求ω; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值. 解 (1)因为f(x)=sin+sin, 所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx=sinωx-cosωx= =sin. 由题设知f=0,所以-=kπ,k∈Z, 所以ω=6k+2,k∈Z. 又0<ω<3,所以ω=2. (2)由 (1)得f(x)=sin, 所以g(x)=sin=sin. 因为x∈,所以x-∈. 当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-. 第2讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 一、选择题 1.[2018•全国? ,10]若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( ) A.B.C.D.π 答案 A 解析 ∵f(x)=cosx-sinx=cos, ∴由2kπ¡Üx+¡Üπ+2kπ(k∈Z)得-+2kπ¡Üx¡Ü+2kπ(k∈Z),因此[-a,a]⊆.
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