第六章 数据的分析.docx
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第六章数据的分析
第六章数据的分析
1.平均数(第1课时)
西安西北工业大学附中许盈
总体说明:
本节课共有两课时,总体思路是:
实际问题→平均数的概念→解决实际问题。
第一课时先从学生熟悉的现实背景抽象出算术平均数、加权平均数的概念,然后在理解概念的基础上,解决有关平均数的实际问题。
第二课时让学生进一步了解权的差异对平均数的影响,理解算术平均数和加权平均数的联系与区别,能利用平均数解决实际问题。
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础:
学生在小学已经初步学习过算术平均数的概念,会简单地求一组数据的算术平均数,并会单一地用算术平均数理解一组数据的平均水平。
学生活动经验基础:
在相关知识的学习过程中,学生已经经历了一些统计活动,解决了一些简单的现实问题,感受到了数据收集和处理的必要性和作用,获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验,具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
本节课的教学任务是:
理解算术平均数、加权平均数的概念,会求一组数据的算术平均数和加权平均数,能解决有关平均数的实际问题,发展学生的数学应用能力,达成有关的情感态度目标。
为此,本节课的教学目标是:
1.知识与技能:
掌握算术平均数、加权平均数的概念,会求一组数的算术平均数和加权平均数。
2.过程与方法:
经历数据的收集与处理的过程,发展学生初步的统计意识和数据处理的能力;通过有关平均数问题的解决,发展学生的数学应用能力。
3.情感与态度:
通过小组合作活动,培养学生的合作意识;通过解决实际问题,让学生体会数学与生活的密切联系。
三、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节:
第一环节:
情境引入;第二环节:
合作探究;第三环节:
运用提高;第四环节:
课堂小结;第五环节:
布置作业。
第一环节:
情境引入
内容:
1.投影展示课本第八章的章前文字、章前图和一组问题,引入本章主题。
2.用篮球比赛引入本节课题:
篮球运动是大家喜欢的一种运动项目,尤其是男生们更是倍爱有加。
下面播放一段CBA(中国篮球协会)2005—2006赛季“广东宏远队”和“八一双鹿队”的一场比赛片段,请同学们欣赏。
在学生观看了篮球比赛的片段后,请同学们思考:
(1)影响比赛的成绩有哪些因素?
(心理、技术、配合、身高、年龄等因素)
(2)如何衡量两个球队队员的身高?
怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”?
要比较两个球队队员的身高,需要收集哪些数据呢?
(收集两个球队队员的身高,并用两个球队队员身高的平均数作出判断)
在学生的议论交流中引入本节课题:
“平均数”。
目的:
创设接近学生生活的问题情境,让学生在轻松愉快的环境中,思考现实生活中收集数据、处理数据,并用数据的平均数作出判断的必要性。
在课题引入中,激发学生学习本章新知识的兴趣,调动其积极性。
注意事项:
本环节一要“有趣”,二要“紧凑”,达到引入课题,调动学生学习积极性的目的既可,不宜将时间拖得过长。
第二环节:
合作探究
内容1:
算术平均数
投影教材提供的中国男子篮球职业联赛2011—2012赛季冠亚军球队队员身高、年龄的表格,提出问题:
“北京金隅队”和“广东东莞银行队”两支篮球队中,哪支球队队员的身材更为高大?
哪支球队队员更为年轻?
你是怎样判断的?
与同伴交流。
(1)学生先独立思考,计算出平均数,然后在小组交流。
(2)各小组之间竞争回答,答对的打上星,给予鼓励。
答案:
北京金隅队队员的平均身高为1.98m,平均年龄为25.4岁;
广东东莞银行队队员的平均身高为2.00m,平均年龄为24.1岁。
所以,广东东莞银行队队员的身材更为高大,更为年轻。
教师小结:
日常生活中我们常用平均数来表示一组数据的“平均水平”。
一般地,对于n个数x1,x2,…,xn,我们把
(x1+x2+…+xn),叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记为
。
目的:
独立思考是合作探究的一个前提,所以学习算术平均数的过程中让先学生独立思考,然后再与同伴交流。
小组之间竞争回答问题,让学生经历体验竞争的过程,并以打星的方式给予评价,旨在激发学生的积极性。
内容2:
加权平均数
想一想:
小明是这样计算北京金隅队队员的平均年龄的:
年龄/岁
19
22
23
26
27
28
29
35
相应队员数
1
4
2
2
1
2
2
1
平均年龄﹦(19×1+22×4+23×2+26×2+27×1+28×2+29×2+35×1)÷
(1+4+2+2+1+2+2+1)﹦25.4(岁)
你能说说小明这样做的道理吗?
学生经过讨论后可知,小明的做法还是根据算术平均数的公式进行计算的,只是在求相同加数的和时用了乘法,因此这是一种求算术平均数的简便方法。
例1:
某广告公司欲招聘广告策划人员一名,对A、B、C三名候选人进行了三项素质测试。
他们的各项测试成绩如下表所示:
测试项目
测试成绩
A
B
C
创新
72
85
67
综合知识
50
74
70
语言
88
45
67
(1)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选,那么谁将被录用?
(2)根据实际需要,公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4:
3:
1的比例确定各人的测试成绩,此时谁将被录用?
引导学生思考讨论:
第
(1)
(2)问中录用的人不一样说明了什么?
从而认识由于测试的每一项的重要性不同,所以所占的比份也不同,计算出的平均数就不同,因此重要性的差异对结果的影响是很大的。
在学生认识的基础上,教师结合例1给出加权平均数的概念:
实际问题中,一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时,往往给每个数据一个“权”。
如例1中4,3,1分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的权,而称
为A的三项测试成绩的加权平均数。
目的:
“想一想”是从算术平均数到加权平均数的一个台阶,想让学生顺利完成新知识的建构。
例1是引导学生思考重要性的差异对结果(平均数)的影响,以引入加权平均数的概念并加以诠释。
注意事项:
本环节是这一节课的重点,教学的层次要清楚,从两个篮球队队员的平均身高和平均年龄问题引入算术平均数概念,再从“想一想”过渡到加权平均数的概念。
整个教学过程中要充分发挥学生的主观能动性,让他们积极思考,合作探究,学会新知。
第三环节:
运用提高
内容:
1.某次体操比赛,六位评委对选手的打分(单位:
分)如下:
9.5,9.3,9.1,9.5,9.4,9.3.
(1)求这六个分数的平均分。
(2)如果规定:
去掉一个最高分和一个最低分,余下分数的平均值作为选手的最后得分,那么该选手的最后得分是多少?
2.某校在期末考核学生的体育成绩时,将早锻炼及体育课外活动表现占成绩的20%,体育理论测试占30%,体育技能测试占50%。
小颖的上述成绩分别为92分、80分、84分,则小颖这学期的体育成绩是多少?
3.从一批机器零件毛坯中取出20件,称得它们的质量如下:
(单位:
千克)
20012007200220062005
20062001200920082010
(1)试求这批零件质量的平均数。
(2)你能用新的简便方法计算它们的平均数吗?
目的:
第1,2题是课本上的题,分别是算术平均数和加权平均数的直接应用,巩固本节课的“双基”内容。
第3题是补充的题,考查学生能否将大数据转化为小数据,用新的简便方法求出平均数,以培养学生的思维能力和创新意识。
注意事项:
对学生的练习结果做适当的评价。
第四环节:
课堂小结
内容:
引导学生用“我知道了…”,“我发现了…”,“我学会了…”,“我想我以后将…”的语言小结算术平均数和加权平均数的概念及运用。
目的:
发挥学生的主观能动性,培养学生归纳总结知识的能力。
注意事项:
不要用教师的“一言堂”代替学生的“群言堂”。
第五环节:
布置作业
1.课本习题6.1的第1,2,3,4,5题。
2.为了反映你们的家乡近几年的变化,请各小组自己命题,并设计方案,利用双休日展开调查、汇总,用平均数的有关知识进行分析,并写出调查报告。
四、教学反思
1.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度,掌握平均数概念与计算,发展学生初步的统计意识和数学应用能力。
2.留给学生独立思考的时间,在学生独立思考后,再小组讨论交流,使每位学生都学会数学思考,学会合作交流。
同时,教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识和方法的启发引导、学生合作交流中应注意的问题、对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具有实效性。
第六章数据的分析
1.平均数(第2课时)
西安西北工业大学附中许盈
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础:
学生在上节课学习了算术平均数、加权平均数的概念,会求一组数据的算术平均数和加权平均数,能解决有关平均数的实际问题。
学生活动经验基础:
学生在算术平均数和加权平均数的学习活动中,解决了一些相关的实际问题,再次感受到了数据收集和处理的必要性和作用,又获得了一些从事统计活动的数学活动经验,具备了一定的自主探索与合作交流的能力。
二、教学任务分析
本节课的教学任务是:
进一步了解权的差异对平均数的影响,理解算术平均数和加权平均数的联系与区别,能利用平均数解决实际问题,发展数学应用能力,达成有关的情感态度目标。
为此,本节课的教学目标是:
1.知识与技能:
会求加权平均数,体会权的差异其平均数的影响;理解算术平均数和加权平均数的联系与区别,能利用平均数解决实际问题。
2.过程与方法:
通过探索算术平均数和加权平均数的联系与区别的过程,培养学生的思维能力;通过有关平均数的问题的解决,发展学生的数学应用能力。
3.情感与态度:
通过解决实际问题,体会数学与社会生活的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心。
三、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节:
第一环节:
情境引入;第二环节:
合作探究;第三环节:
运用提高;第四环节:
课堂小结;第五环节:
布置作业。
第一环节:
情境引入
内容:
请同学们回忆:
什么是算术平均数?
什么是加权平均数?
请同学们各举一个有关算术平均数和加权平均数的实例,与同伴交流。
在学生的复习交流中引入课题:
本节课将继续研究生活中的加权平均数,以及算术平均数和加权平均数的联系与区别。
目的:
以旧引新,自然衔接,起到温故知新、调动学生学习积极性的作用。
注意事项:
教师对学生所举的算术平均数和加权平均数的实例只要合理,就要给予积极地评价,让他们体会数学与社会生活的密切联系,了解数学的价值,但时间不能占用过多,达到调动学生的积极性,引入新课既可。
第二环节:
合作探究
内容:
1.做一做
某学校进行广播操比赛,比赛打分包括以下几项:
服装统一、进退场有
序、动作规范、动作整齐(每项满分10分)。
其中三个班级的成绩分别如下:
服装统一
进退场有序
动作规范
动作整齐
一班
9
8
9
8
二班
10
9
7
8
三班
8
9
8
9
(1)若将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按
10%,20%,30%,40%的比例计算各班的广播操比赛成绩,那么哪个班的成绩最高?
(2)你认为上述四项中,哪一项更为重要?
请你按自己的想法设计一个评分方案。
根据你的评分方案,哪一个班的广播操比赛成绩最高?
与同伴进行交流。
对于第
(1)问,让每一位学生动手计算,然后教师抽取几个不同层次的学生做的结果投影展示,进行评价。
正确的答案是:
一班的广播操成绩为:
9×10%+8×20%+9×30%+8×40%﹦8.4(分)
二班的广播操成绩为:
10×10%+9×20%+7×30%+8×40%﹦8.1(分)
三班的广播操成绩为:
8×10%+9×20%+8×30%+9×40%﹦8.6(分)
因此,三班的广播操成绩最高。
对于第
(2)问,让学生先在小组内各抒己见,然后在全班交流体会,归纳:
以上四项所占的比例不同,即权有差异,得出的结果就会不同,也就是说权的差异对结果有影响。
目的:
通过学生计算,自己再设计方案和交流,确实让他们体会到权的差异对结果的影响,认识到权的重要性。
内容:
2.议一议
小颖家去年的饮食支出为3600元,教育支出为1200元,其他支出为7200元,小颖家今年的这三项支出依次比去年增长39%,3%,6%,小颖家今年的总支出比去年增长的百分数是多少?
以下是小明和小亮的两种解法,谁做得对?
说说你的理由。
小明:
(9%+30%+6%)=15%
小亮:
学生分组讨论,全班交流,说明理由:
由于小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等,因此,饮食、教育和其他三项支出的增长率“地位”不同,它们对总支出增长率的“影响”不同,不能简单地用算术平均数计算总支出的增长率,而应将这三项支出金额3600,1200,7200分别视为三项支出增长率的“权”,从而总支出的增长率为小亮的解法是对的。
目的:
使学生理解日常生活中的许多“平均”现象并非算术平均。
由于多数情况下,各项的重要性不一定相同(即权数不同),所以应将其视为加权平均。
注意事项:
本环节一个“做一做”,一个“议一议”,要让学生积极地动脑想、动手做、大胆讲;主动参与,合作交流,乐于探索;加深对加权平均数的理解,特别是权的差异对结果的影响,认识到日常生活中的许多“平均”现象是“加权平均”。
第三环节:
运用提高
内容:
1.小明骑自行车的速度是15千米/时,步行的速度是5千米/时。
(1)如果小明先骑自行车1小时,然后又步行了1小时,那么他的平均速度是多少?
(2)如果小明先骑自行车2小时,然后步行了3小时,那么他的平均速度是多少?
你能从权的角度来理解这样的平均速度吗?
(3)举出生活中加权平均数的实例,并解决之。
2.课本P139随堂练习第1,2题。
目的:
第1题是课本上“议一议”问题,题中
(1)
(2)两问是让学生通过比较,认识算术平均数是加权平均数的一种特殊情况,即各项的权相等;第(3)问旨在增强学生用数学的意识。
第2题是课本上随堂练习的两道题,让学生再次体会到“权”的重要性,并运用加权平均数解决实际问题,发展数学应用能力。
注意事项:
对学生的解题过程和结果做适当的评价,特别要关注中下等生,对他们点点滴滴的进步都要给予鼓励。
第四环节:
课堂小结
内容:
说说算术平均数与加权平均数有哪些联系与区别?
教师引导学生比较、议论、交流、总结出结论:
算术平均数是加权平均数各项的权都相等的一种特殊情况,即算术平均数是加权平均数,而加权平均数不一定是算术平均数。
由于权的不同,导致结果不同,故权的差异对结果有影响。
第五环节:
布置作业
课本习题6.2的第1,2,3,4,5,6题。
四、教学反思
数学学习不能单纯依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学重要方式。
本节课的几个教学环节就是想通过想一想、议一议、做一做等数学活动来引导学生探索和交流,体会权的差异其平均数的影响,认识算术平均数和加权平均数的联系与区别,在改变学生的学习方式的同时让学生增强数学的应用意识,了解数学的价值,提高思维能力,增进学好数学的信心。
第六章数据的分析
2.中位数与众数
西安西北工业大学附中许盈
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础:
经过前两节课的学习,学生已理解算术平均数和加权平均数的联系与区别,会求一组数据的算术平均数和加权平均数,能利用平均数解决实际问题。
学生活动经验基础:
学生在算术平均数和加权平均数的学习活动中,解决了一些相关的实际问题,体会到权的差异对平均数的影响,获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验,初步形成了动手实践、自主探索、合作交流的学习方式。
二、教学任务分析
本节课的教学任务是:
掌握中位数、众数的概念,多角度地认识“平均水平”,能根据所给的信息求出一组数据的中位数与众数。
在具体情境中,能搞清平均数、中位数和众数三者的区别,并会选择恰当的数据代表对问题作出自己的正确评判;进一步发展学生的数学应用能力,达成有关的情感态度目标。
为此,本节课的教学目标是:
1.知识与技能:
掌握中位数、众数的概念,会求出一组数据的中位数与众数;能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的区别,能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判。
2.过程与方法:
通过解决实际问题的过程,区分刻画“平均水平”的三个数据代表,让学生获得一定的评判能力,进一步发展其数学应用能力。
3.情感与态度:
将知识的学习放在解决问题的情境中,通过数据分析与处理,体会数学与现实生活的联系,培养学生求真的科学态度。
三、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节:
第一环节:
情境引入;第二环节:
合作探究;第三环节:
运用提高;第四环节:
课堂小结;第五环节:
布置作业。
第一环节:
情境引入
内容:
在当今信息时代,信息的重要性不言而喻,人们经常要求一些信息“用数据说话”,所以对数据作出恰当的评判是很重要的。
下面请看一例:
某次数学考试,小英得了78分。
全班共32人,其他同学的成绩为1个100分,4个90分,22个80分,2个62分,1个30分,1个25分。
小英计算出全班的平均分为77.4分,所以小英告诉妈妈说,自己这次数学成绩在班上处于“中上水平”。
小英对妈妈说的情况属实吗?
你对此有何看法?
引导学生展开讨论,作出评判:
平均数是我们常用的一个数据代表,但是在这里,利用平均数把倒数第五的成绩说成处于班级的“中上水平”显然是不属实的。
原因是全班的平均分受到了两个极端数据30分和25分的影响,利用平均数反应问题就出现了偏差。
怎样说明这个问题呢?
我们需要学习新的数据代表——中位数与众数。
目的:
一是复习平均数的概念与计算,同时说明有些数据利用平均数是反应不出问题的,为引入新的数据代表奠定基础。
二是根据学生的心理特征和认识规律,力求创设一种引人入胜的教学情景,
引起学生对“平均水平”的认知冲突,挖掘出趣味因素,最大限度地吸引学生积
极投入新知识的学习。
注意事项:
本环节占用的时间不宜长,只要达到引入新课、调动学生学习积极性的目的既可。
第二环节:
合作探究
内容:
问题:
某公司员工的月工资如下:
员工
经理
副经理
职员A
职员B
职员C
职员D
职员E
职员F
杂工G
月工资/元
7000
4400
2400
2000
1900
1800
1800
1800
1200
经理说:
我公司员工收入很高,月平均工资为2700元。
职员C说:
我的工资是1900元,在公司算中等收入。
职员D说:
我们好几个人工资都是1800元。
一位应聘者心里在琢磨:
这个公司员工收入到底怎样呢?
你怎样看待该公司员工的收入?
学生四人小组讨论,交流自己的看法,教师对表现积极的学生予以鼓励。
在学生讨论交流的基础上,教师进行点拨:
上述问题中,经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司的收入情况:
(1)月平均工资2700元,指所有员工工资的平均数是2700元,但只有正、副经理的工资比平均工资高,是他两人的工资把平均工资“拉”高了。
(2)职员C的工资是1900元,恰好居于所有员工工资的“正中间”(恰有4人的工资比他高,有4人的工资比他低),我们称1900元是这组数据的中位数。
(3)9个员工中有3个人的工资为1800元,出现的次数最多,我们称1800元是这组数据的众数。
议一议:
你认为用哪个数据表示该公司员工收入的平均水平更合适?
让学生讨论,充分发表不同的观点,然后归纳起来:
用中位数1900元或众数1800元表示该公司员工收入的平均水平更合适些,因为平均数2700元受到了极端值的影响。
结合上述问题的探究,引入中位数、众数的概念:
一般地,n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两
个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
教师指出:
平均数、中位数、众数都是数据的代表,它们刻画了一组数据的“平均水平”。
让学生用中位数、众数的概念回头望,解释引例中小英的数学成绩的问题。
目的:
通过有争议的问题情境,再次引起学生的认知冲突,激发学生的学习兴趣和学习热情;通过讨论交流,培养了学生的自主探索、合作交流的意识与能力,改变学生的学习方式:
通过解决问题,让学生多角度地认识平均,使他们的认知冲突得到升华。
注意事项:
在问题的讨论中,学生从不同的角度理解问题会有不同的观点,只要学生说得有道理,教师就应给予肯定和鼓励,不可强求结论的一致性。
第三环节:
运用提高
内容:
1.对于一组数据:
3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2,下列说法正确的是()
A.这组数据的众数是3;
B.这组数据的众数与中位数的数值不等;
C.这组数据的中位数与平均数的数值相等;
D.这组数据的平均数与众数的数值相等。
答案:
A
2.2011~2012赛季北京金隅队队员身高的中位数、众数分别是多少?
(课本135页)
3.你课前所调查的50名男同学所穿运动鞋尺码的平均数、中位数、众数分别是多少?
你认为学校商店应多进哪种尺码的男式运动鞋?
目的:
第1、2题是基础题,考查平均数、中位数和众数的概念及求法,特别是通过第2题要使学生认识到一组数据中众数不一定只有一个。
第3题既是上节课的作业题,又是本节课的“做一做”,不仅渗透了抽样调查的思想,而且让学生在具体情景中,选择恰当的数据代表对问题作出评判,培养学生的实践能力。
注意事项:
教师根据学生解答问题的情况,及时反馈矫正、积极评价。
特别是第3题由于所选的样本不是很大,个别学生有不同看法是允许的。
第四环节:
课堂小结
内容:
议一议:
平均数、中位数和众数有哪些特征?
学生讨论交流,师生共同总结特征:
1.用平均数作为一组数据的代表,比较可靠和稳定,它与这组数据中的每一个数都有关系,对这组数据所包含的信息的反映最为充分,因此在现实生活中较为常用,但它容易受极端值的影响。
2.用中位数作为一组数据的代表,可靠性比较差,它不能充分利用所有数据的信息,但它不受极端值的影响,当一组数据中有个别数据变动较大时,可用它来描述这组数据的“集中趋势”。
3.用众数作为一组数据的代表,可靠性也比较差,其大小只与这组数据中的部分数据有关,但它不受极端值的影响。
当一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们尤为关心的一种统计量。
要根据不同的实际需要,确定是用平均数、中位数还是众数来反映数据的平均水平。
目的:
通过合作交流、归纳总结,使学生体会到平均数、中位数、众数三者的差别,并能在情景中,选择恰当的数据代表对数据作出评判,培养学生的判断能力和学习能力。
注意事项:
在学生总结平均数、中位数和众数的特征时,最好是让他们结合具体实例来说明,这样对学生理解数据的代表的特征、恰当地运用它们作出评判颇有好处。
第五环节:
布置作业
1.课本习题6.3的第1,2,3题。
2.收集一组与本班同学相关的生活数据(例如每分钟心跳的次数,眼镜近视的度数、身高、体重等),并选择恰当的数据代表来说明本组数据的特征。
四、教学反思
“学起于思,思起于疑”。
思维是从问题开始的。
本节课通过问题情景,启发学生思考,引起认知冲突,引导学生逐步深入地揭示新知识,应用新知识。
需要注意的是:
学生有自己的看法和意见,教师不可一味地否定。
教师要关注学生思考问题的过程,千万不要代替学生思考,更不可强加给学生固定的思维模式。
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