等边三角形的旋转问题.docx
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等边三角形的旋转问题
等边三角形的旋转问题
教材母题(P83页12题):
1、如图,△ABD、△AEC都是等边三角形,求证:
BE=DC.
变式1:
如图,已知AF=AB,∠FAB=60∘,AE=AC,∠EAC=60∘,CF和BE交于O点,则下列结论:
①CF=BE;②∠AMO=∠ANO;③OA平分∠FOE;④∠COB=120∘,其中正确的有()
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
变式2:
如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,直线AN、MC交于点E,直线BM、CN交于点F,
求证:
(1)AN=BM;
(2)求∠ADM的度数;
(3)△CEF是等边三角形;
(4)EF∥AB
(5)CD平分∠ADB;
(6)通过对以上问题的证明,你还可以得出的全等三角形有_______________________
(7)BD=DN+CD
变式3:
如图,已知等边△ABC和等边△BPE,点P在BC的延长线上,EC的延长线交AP于M,连BM.
(1)求证:
AP=CE;
(2)求∠PME的度数;
(3)求证:
BM平分∠AME;
(4)AM,BM,MC之间有怎样的数量关系,并进行证明.
变式4:
如图,在等边△ABC中,∠BAC的平分线交y轴于点D,C点的坐标为(0,6)
(1)如图1,求点D坐标。
(2)如图2,E为x轴上任意一点,以CE为边,在第一象限内作等边△CEF,FB的延长线交y轴于点G,求OG的长。
(3)如图3,在
(1)条件下,当一个含60∘角的三角板绕B点旋转时,下列两个结论中:
①DN−DM;
②DN+DM其中有且只有一个是定值,请你判断哪一个结论成立并证明成立的结论。
5、在△ABC中,AB=AC,点D为射线CB上一个动点(不与B. C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作EF∥BC,交直线AC于点F,连接CE.
(1)如图①,若∠BAC=60∘,则按边分类:
△CEF是_______三角形;
(2)若∠BAC<60∘.
①如图②,当点D在线段CB上移动时,判断△CEF的形状并证明;
②当点D在线段CB的延长线上移动时,△CEF是什么三角形?
请在图③中画出相应的图形并直接写出结论(不必证明).
5、如图
(1),等边△ABC 中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE.
(1)△DBC和△EAC会全等吗?
请说说你的理由;
(2)试说明AE∥BC的理由;
(3)如图
(2),将
(1)动点D运动到边BA的延长线上,所作仍为等边三角形,请问是否仍有AE∥BC?
证明你的猜想。
6、已知:
如图,△ABC、△CDE都是等边三角形,AD、BE相交于点O,点M、N分别是线段AD、BE的中点。
(1)求证:
AD=BE;
(2)求∠DOE的度数;
(3)求证:
△MNC是等边三角形。
变式:
在△ABC和△DEC中,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90∘
(1)如图1,当点A.C. D在同一条直线上时,求证:
AF⊥BD;
(2)如图2,当点A.C. D不在同一条直线上时,求证:
AF⊥BD;
(3)如图3,在
(2)的条件下,连接CF并延长CF交AD于点G,∠AFG是一个固定的值吗?
若是,求出∠AFG的度数;若不是,请说明理由
等边三角形的旋转问题
教材母题(P83页12题):
1、如图,△ABD、△AEC都是等边三角形,求证:
BE=DC.
变式1:
如图,已知AF=AB,∠FAB=60∘,AE=AC,∠EAC=60∘,CF和BE交于O点,则下列结论:
①CF=BE;②∠AMO=∠ANO;③OA平分∠FOE;④∠COB=120∘,其中正确的有()
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
变式2:
如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,直线AN、MC交于点E,直线BM、CN交于点F,
求证:
(1)AN=BM;
(2)求∠ADM的度数;
(3)△CEF是等边三角形;
(4)EF∥AB
(5)CD平分∠ADB;
(6)通过对以上问题的证明,你还可以得出的全等三角形有_______________________
(7)BF=DN+CD
变式3:
如图,已知等边△ABC和等边△BPE,点P在BC的延长线上,EC的延长线交AP于M,连BM.
(1)求证:
AP=CE;
(2)求∠PME的度数;
(3)求证:
BM平分∠AME;
(4)AM,BM,MC之间有怎样的数量关系,并进行证明.
证明:
①在△APB和△CEB中
AB=BC,∠ABP=∠CBE,BP=BE
∴△APB≌△CEB (SAS),
∴AP=CE,
②∵△APB≌△CEB,
∴∠APB=∠CEB,
∵∠MCP=∠BCE,
则∠PME=∠PBE=60゜,故此选项正确;
③作BN⊥AM于N,BF⊥ME于F,
∵△APB≌△CEB,
∴BP=BE,∠BPN=∠FEB,
在△BNP和△BFE中
∠BNP=∠BFE,∠NPB=∠FEB,PB=EB
∴△BNP≌△BFE(AAS),
∴BN=BF,
∴BM平分∠AME,
④在BM上截取BK=CM,连接AK.
由②知∠PME=60゜=∠BAC,
∴∠MCA=∠MBA,
在△ABK和△ACM中AB=AC,∠ABK=∠ACM,BK=CM,
∴△ACM≌△ABK(SAS),
∴AK=AM,
∴△AMK为等边△,
∴AK=MA=MK
∴BM=MK+BK=AM+CM
变式4:
如图,在等边△ABC中,∠BAC的平分线交y轴于点D,C点的坐标为(0,6)
(1)如图1,求点D坐标。
(2)如图2,E为x轴上任意一点,以CE为边,在第一象限内作等边△CEF,FB的延长线交y轴于点G,求OG的长。
(3)如图3,在
(1)条件下,当一个含60∘角的三角板绕B点旋转时,下列两个结论中:
①DN−DM;
②DN+DM其中有且只有一个是定值,请你判断哪一个结论成立并证明成立的结论。
解:
(1)3·OD=6,OD=2,∴D(0,2)
(2)证△BCF≌△ACE,得∠CBF=∠CAE=60°,所以 ∠OBG=180°-60°×2=60°,OG=OC=6;
(3)DN-DM=DB=DA=4.在DN上截取DE=DM,连ME,DB,得等边△MDE.证△MNE≌△MBD
5、在△ABC中,AB=AC,点D为射线CB上一个动点(不与B. C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作EF∥BC,交直线AC于点F,连接CE.
(1)如图①,若∠BAC=60∘,则按边分类:
△CEF是_______三角形;
(2)若∠BAC<60∘.
①如图②,当点D在线段CB上移动时,判断△CEF的形状并证明;
②当点D在线段CB的延长线上移动时,△CEF是什么三角形?
请在图③中画出相应的图形并直接写出结论(不必证明).
5、
(1)如图1,∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60∘,
∴∠ACB=∠ABC=60∘,∠EAC=∠DAB,
∴△DAB≌△EAC,
∴∠ECA=∠B=60∘,
∵EF∥BC,
∴∠EFC=∠ACB=60∘,
∵在△EFC中,∠EFC=∠ECF=60∘=∠CEF,
∴△EFC为等边三角形,
(2)①△CEF为等腰三角形,
证明:
如图2,∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴∠ACB=∠ABC,∠EAC=∠DAB,
∴△EAC≌△DAB,
∴∠ECA=∠B,
∴∠ACE=∠ACB,
∵EF∥BC,
∴∠EFC=∠ACB,
∴∠EFC=∠ACE,
∴CE=FE,
∴△EFC为等腰三角形;
②如图③,△EFC为等腰三角形。
当点D在BC延长线上时,以AD为一边在AD的左侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作BC的平行线EF,交直线AC的延长线于点F,连接DE.
证明:
∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴∠ACB=∠ABC,∠EAC=∠DAB,
∴△EAC≌△DAB,
∴∠ECA=∠DBA,
∴∠ECF=∠ABC,
∵EF∥BC,
∴∠AFE=∠ACB,
又∵∠ABC=∠ACB,∴∠AFE=∠ECF,
∴EC=EF,∴△EFC为等腰三角形。
5、如图
(1),等边△ABC 中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE.
(1)△DBC和△EAC会全等吗?
请说说你的理由;
(2)试说明AE∥BC的理由;
(3)如图
(2),将
(1)动点D运动到边BA的延长线上,所作仍为等边三角形,请问是否仍有AE∥BC?
证明你的猜想。
(1)△DBC 和△EAC 会全等,
理由:
∵∠ACB=60∘,∠DCE=60∘,
∴∠BCD=60∘−∠ACD,∠ACE=60∘−∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE,
在△DBC 和△EAC 中,
BC=AC,∠BCD=∠ACE,EC=DC
∴△DBC≌△EAC(SAS);
(2)∵△DBC≌△EAC,
∴∠EAC=∠B=60∘,又∠ACB=60∘,
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC;
(3)结论:
AE∥BC 理由:
∵△ABC、△EDC 为等边三角形
∴BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60∘,
∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
在△DBC 和△EAC 中BC=AC,∠BCD=∠ACE,CD=CE,
∴△DBC≌△EAC(SAS),
∴∠EAC=∠B=60∘,
又∵∠ACB=60∘,
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC.
变式:
在△ABC和△DEC中,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90∘
(1)如图1,当点A.C. D在同一条直线上时,求证:
AF⊥BD;
(2)如图2,当点A.C. D不在同一条直线上时,求证:
AF⊥BD;
(3)如图3,在
(2)的条件下,连接CF并延长CF交AD于点G,∠AFG是一个固定的值吗?
若是,求出∠AFG的度数;若不是,请说明理由
(1)①证明:
如图1,
在△ACE和△BCD中,
∵AC=BC,∠ACB=∠ECD=90∘,EC=DC,
∴△ACE≌△BCD,
∴∠1=∠2,
∵∠3=∠4,
∴∠BFE=∠ACE=90∘,
∴AF⊥BD.
(2)证明:
如图2,
∵∠ACB=∠ECD,
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE,
在△ACE≌△BCD中
AC=BC,∠ACE=∠BCD,EC=DC
∴△ACE≌△BCD,
∴∠1=∠2,
∵∠3=∠4,
∴∠BFA=∠BCA=90∘,
∴AF⊥BD.
(3)∠AFG=45∘,
如图3,过点C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分别为M、N,
∵△ACE≌△BCD,
∴S△ACE=S△BCD,AE=BD,
∵S△ACE=
AE⋅CN,
S△BCD=
BD⋅CM,
∴CM=CN,
∵CM⊥BD,CN⊥AE,
∴CF平分∠BFE,
∵AF⊥BD,
∴∠BFE=90∘,
∴∠EFC=45∘,
∴∠AFG=45∘.
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