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直线与方程专题复习
专题复习直线与方程
【基础知识回忆】
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
1关于倾斜角的概念要抓住三点:
i•与x轴相交;ii.X轴正向;iii.直线向上方向
2直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为
3倾斜角的范围.
(2)直线的斜率
1直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量,它们的关系是
2经过两点Pi(xi,yi),P2(x2,y2)(xix?
)两点的斜率公式为:
k
③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率。
倾斜角为的直线斜率不存在。
2.两直线垂直与平行的判定
(1)对于不重合的两条直线li」2,其斜率分别为k「k2,,则有:
I1//I2
liI2
(2)当不重合的两条直线的斜率都不存在时,这两条直线;当一条直线斜率为o,另一条直
线斜率不存在时,两条直线.
3.直线方程的几种形式
名称
方程形式
适用条件
点斜式
不表示的直线
斜截式
不表示的直线
两点式
不表示的直线
截距式
不表示和的直线
一般式
AxByc0
22
(AB0)
注意:
求直线方程时,要灵活选用多种形式
4.三个距离公式
(1)两点R(Xi,yJ,P2(X2,y2)之间的距离公式是:
IRF2I.
(2)点P(x。
,yo)到直线I:
AxByc0的距离公式是:
d.
(3)两条平行线I:
AxByg0,I:
AxByC20间的距离公式是:
d.
【典型例题】
题型一:
直线的倾斜角与斜率问题
例1、已知坐标平面内三点A1,1),B(1,1),C(2,31).
(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角•
k1vk3vk2
(2)若D为ABC的边AB上一动点,求直线CD斜率k的变化范围
例2、图中的直线11、12、13的斜率分别为k1、k2、k3,则:
A.k1vk2vk3B.k3vk1vk2C.k3 例3、利用斜率证明三点共线的方法: X3或kABkAC,则有A、B、C三点共线。 例4、直线I方程为(a1)xy2a0,直线1不过第二象限,求a的取值范围。 变式: 若AC0,且BC0,则直线AxByC0一定不经过() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 题型二: 直线的平行与垂直问题 例1、已知直线I的方程为3x4y120,求下列直线I的方程,1满足 (1)过点(1,3),且与I平行; (2)过(1,3),且与I垂直. 本题小结: 平行直线系: 与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxByG0 垂直直线系: 与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAyC20 变式: (1)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程 (2)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程 例2、h: mxy(m1)0,I? : xmy2m0,①若h//I? ,求m的值;②若h丄丨2,求m的 值。 变式: (1)已知过点A(2,m)和B(m,4)的直线与直线2xy1 0平行,则m的值为 A.0 B.8 C. 2D.10 11 (2)如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0平行,则系数a =() A.-3 B .-6 C.3 D.£ 2 3 (3)若直线11 : mxy1 0与l2: : x2y50垂直,则m 的值是 题型三: 直线方程的求法 例1、求过点P(2,-1),在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。 例2、已知ABC三个顶点是A(1,4),B(2,1),C(2,3). (1)求BC边中线AD所在直线方程; (2)求AC边上的垂直平分线的直线方程 (3)求点A到EC边的距离. 变式: 1. 倾斜角为45 。 ,在y轴上的截距为 1的直线方程是() A.y x1 B.yx1 C.yx1 D.yx1 2.求经过 A(2,1), B(0,2)的直线方程 3.直线方程为(a1)xy2a0,直线l在两轴上的截距相等,求a的方程; 4、过P(1,2)的直线I在两轴上的截距的绝对值相等,求直线I的方程 5、已知直线I经过点P(5,4),且I与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线I的方程. 题型四: 直线的交点、距离问题 例1: 点P(-1,2)到直线8x-6y+15=0的距离为() B.1 C.1 D.7 2 2 (2)求过P点且与原点距离最大的直线I的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线? 若存在,求出方程;若不存在,请说明理由。 2 例3: 已知直线I1: ax2y60和直线I2: x(a1)ya210, (2)I1丄I2时,求a的值。 (1)试判断I1与I2是否平行,如果平行就求出它们间的距离; 变式: 求两直线: 3x-4y+仁0与6x-8y-5=0间的距离 题型五: 直线方程的应用 例1、已知直线I: 5ax5ya30. (1)求证: 不论a为何值,直线I总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围 例2、直线mx-y+2m+仁0经过一定点,则该点的坐标是() A•(-2,1)B.(2,1)C.(1,-2)D.(1,2) 圆与方程 (xa)2(yb)2r2 2 特例: 圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是: x 2. 点与圆的位置关系: (1).设点到圆心的距离为d,圆半径为r: (2).给定点M(Xo,yo)及圆 C: (xa)2(yb)2r2 6.涉及最值: PB的最值 PBm;BNBCr M卜PB芦…B max BCr / A; PAminANrAC PAmaxAMrAC 思考: 过此A点作最短的弦? (此弦垂直AC) 22 3.圆的一般方程: xyDxEyF° 2 (1)当D E2 DC—, E 7r 2,半径 、D2E24F 4F °时, 工口.尽冋甘U-t冋」、.2 2. 万程表示个圆,其中圆心 DE 2⑵当D E2 4F °时, J 22 方程表小丨点. 2 ⑶当D E2 4F °时, 方程不表示任何图形 注: 方程 Ax2 Bxy Cy2 DxEyF0表示圆的充要条件是: B°且A 22 C°且DE4AF° 4.直线与圆的位置关系: 222 直线AxByC°与圆(xa)(yb)r d 圆心到直线的距离 AaBbC 1)dr直线与圆相离无交点. 2)dr直线与圆相切只有一个交点 (1)当°时,直线与圆有2个交点,,直线与圆相交; (2)当°时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切; (3)当°时,直线与圆没有交点,直线与圆相离; (1)设两圆C1: (XaJ(yb1)r1 圆心距 d .(a1 a2)2 (bb2)2 ① d □ 「2 外离 4条公切线. ; ② d 「1 「2 外切 3条公切线. ③ r1 r1 d* 「2 相交2条公切线 ④ d r1 r2 内切 1条公切线. ⑤ 0 d r1r2 内含 无公切线. ; 5.两圆的位置关系 2 222 与圆C2: (Xa2)(yb2)0, 0 外离 外切 (2) 两圆公共弦所在直线方程 圆C1 D1xE1y F10 圆C2 D2xE2y F20 则D1D2 Ei E2y F1F2 °为两相交圆公共弦方程 补充说明: ①若C1与C2相切, 则表示其中一条公切线方程; ②若C1与C2相离, 则表示连心线的中垂线方程 (3)圆系问题 C22 过两圆1: Xy D1x E1yF10和C2 X2 y2D2X E2yF20交点的圆系方程为 x2y2D1xE1yF1 X2 y2D2xE2yF2 补充: ①上述圆系不包括 ②2)当 1时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦) 2 ③过直线AxByC0与圆x y2DxEyF 0交点的圆系方程为 22 xyDxEyFAxByC0 6.过一点作圆的切线的方程: (1)过圆外一点的切线: 1k不存在,验证是否成立 2k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,即 yiyok(xixo) byik(aXi) VR21 求解k,得到切线方程【一定两解】 例1.经过点P(1,—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线,则切线方程为 (2)过圆上一点的切线方程: 圆(x—a)2+(y—b)2=r2,圆上一点为(xo,yo),则过此点的切线方程为(xo—a)(x—a)+(yo—b)(y—b)=r2 2222 特别地,过圆xyr上一点P(xo,yo)的切线方程为XoXyoyr. 例2.经过点P(—4,—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线,则切线方程为 7.切点弦 10.切线长: ・222d=.(Xoa)+(yob)r 9.圆心的三个重要几何性质: ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上; 2圆心在某一条弦的中垂线上; 3两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线。 10.两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例.已知圆Cl: x2+y2—2x=0和圆C2: x2+y2+4y=0,试判断圆和位置关系,若相交,则设其交点为A、B,试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。 【检测反馈】 1.若直线过点(1,2),(4,2.3),则此直线的倾斜角是(). (A)30°(B)450(C)600(D)90° kk 2.过点E(1,1)和F(1,0)的直线与过点M(,0)和点N(0,—)直线的位置关系是 24 (A)平行(B)重合(C)平行或重合(D)相交或重合 3.过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为(). (A)2xy10(B)2xy50(C)x2y50(D)x2y 4.已知点A(1,2),B(3,1),则到A,B两点距离相等的点的坐标满足的条件是 (D)x2y 2 l2 8.过点A(1,4),且纵、横截距的绝对值相等的直线共有( 可编辑 (A)1条(B)2条(C)3条(D)4条 9.已知直线I过点P(1,1),且被平行直线3x4y130与3x4y70截得的线段长为42,求直线I的方程. 笫卩U草恻与力程 —、选择题 1.13C]: F+b+b+Sy—8=0与SC? ;2+尸—4x+4v—2=0的位置关系是(). A*相交B.外切C,内切D+相I离 两圆十y3-4x^2j+1=0与十十斗;1^4歹-】=0的公共切线有(. 1条B.2条C.3条D.4条 若圆匕与®(Jt+2): +(>-P2=l关于原点对称,则圆C的方程是()• @—2尸+©+1尸=1B・仗一2F+©—1卩=1 &-ipn〉=id,仗+1)‘+©-卯=1 4.与直7: j=2x+3平行,且与凰X2十/-2x-4y+4=0相切苣直线方程是(). A. 工土巧=0B.2r^>+V5—0 Js=0D,2x-y±Js=0 直线x~yI4—0被圆"IyI4xI6~0截得的弦|C等于〔- 413.2C.141D*4VI 7.一圆过圆x2^y2~2x=0与直线x+2j-3=0的交点,且圆心在y轴上.则这个圆的 方穆是()• A.严+护+钞一^二。 *+_/+抵一6=0 C./+^-2^=0D・x2十y-h4v十&=0 7,园F+y2-4r-4j? -10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与H小距离的差杲: (八 A.30B.1$C.^41D,,近 8+两圆仗一口)'+(y—0)2=/和&一血)亠+($-□)'=/相切,见|(), A.〔a-b)2=rB.(£1-&)2=2^ U(a+d)3=rD.@+b尸二2f* Q若直H.^-y+c=Cr向右平移1个单煜长度再向下平務1个亘位,平^后与圖,十才=10相切’则E的值为()■ 血・1斗或一石B-12或一&C-吊或一12D*◎或一14 11.HjAQ.3.1).s(l.0.S),C(o.1・0).则AB的中点M到点C的葫离CM= (八 A.匣R.53C.亜D.匣 4222 二、填空題 12.若直綾玄-知+12=0与两坐标轴的交点为厶2,则: 丿怨段佃为直径的凰的一毅 方勧■ 13.已知直线工=住与圆tr-l)2+y=lW切「则m的值是. 14.直线工=0被园疋十于一应一即一山=0所截得的弓玄长为. 15.若^(4,-7,1),B(6,2,g),|価|=11,则石=. 16.已知尸是fiJS3i+4t+8=0上的动点,PA,材呆圆仗一1严一©-1F=1的两乘 切线,A,节是切点,C是圆心,则四边形RC5面积的最小值为・ 三、解答题 17.求下列各圜的标准方程: (1)圆心在直线y=Q上.且园过两点J(b4),号(3・2)? (2)园心在直统2x十)=Q上! 且風©且线x十厂1=0切于点M〔2,-1) 1八棱长为1的正方^A3CD~Ai3iC]D: 中,£是”3的中点*尸是#丑l的中点,旷是刘1的中点.试建立适当fit坐标系,并确定E,F-G三点的坐标. 18.园心在直^5x-3j-8=0上的便与两坐标轮相切,求此應的方程. 参考答案 -X选择題 1・A 解析: G的标准方程为&+1尸+©+4尸=贰半径打=5: 6的标准方程为4-2尸十(^+? )=半径乜=顶”圆心距;? =J(2+1)2+(2-4)2=J13. 因为G的圜心在C]内邹.且h=5<®+£所以两同相交. 2.C 解析: 因为两HI的标准方程分别为仗-2尸+@+1】=4,・+2): +@-2;: =9, 所以两圆的圆心距d=7(2+2)2+(-1-2)2=5. 因为>*1=2.>^=3, 所以川=『1+比=乩即两HI外切*故公£1线有3氣 解析: 已知圖的圆心是(-N1).半径: 是1,咸求圆的方程是a-2)? ±(y+l)? -l. 4・D 4.D 解析: 设祈求直线方稈対p=2x十力.即2r->4-&=0.圆F十旷一施一驴十斗=0的标准方程为(r-l)3+(y-2)a=l.由1学2十¥=1薛趴=±巧 竝一卩 故所求直线的方粽为2x-v±;5—0・ 乳C 解析.因为圆的标准方程为(x42)2-h^-2)2=2,显餓直践x-y+4=0经过冒心.所以截得的弦长等于圆的直径长.即弦长等于2返・ 6.A 解析主如图、设直线与已现圖交于乩8两点.所求同的圆心为C. 依条件可知过已社團的圆心与点O的亶线与己知直线垂直- 因为己知冒的标准方保为H—=圍心为⑴0). 所以过点(1,Q)且与已知直线工十与-5=0垂直的直线力程 为y~2x~2^令工=0,得C心-2)- 联立方程v+j2-2x=。 与工+卽一2=。 可求岀交点1)>故所求园的半径产=AC 所以所求圆的方程为X2+(>+2)1=10p即H+#+»-6=0- 7・C 解析: 因为圆的标准方程为(z-2)2+^-2)1=(3V2)2! 所以圆心为(乙力,f=3迈设圆心到直线的距离为出d=H>r, 所以最大距离与最小距离的差等于国+厂}-巧. 8・B 解析: 由于两圆半径均为r,故两圆的位置关系只能是外切,于是有 (b—df2+(a-b)2=(2r)2” 化简即(曰一沪=2/\ 9.A 解析: 直线y=3x+c向右平移1个单位长度再向下平移1个单位. 平移后的直线方程为y=3(x~1)+c_L即3x_y+c_4=0. 由直线平移后与圆^+/=10相切,得I。 -0+c-叫=皿即k_4=10, rkJ广=14atj—G 10.C 解析: 因为C(o.1,0),容易求出血的中点牛3、 所以|CM|=』2—0尸+(孑一1]+6—0尸=—■ Y2丿2 二、填空题 11..壬+严4工一甘=0. 解析: 令尸山香尤=-4,所以直线与莖轴的交点A(~4,0)・ 令工=0,得y=3,所以直线与p轴的交点肌63). 所叹加的中点,即圆心为[一2,|). 因为\AB\==5,所以所求圆的方程为(X十2尸+卜一: )=y■ 即F+y2亠4工一»=(). 12.0或2. 解析’画图可利当垂直于工轴的直线"口经过点©0)和(乙0)时5圆相切, 所以口的值是0或2・ 13,8- 解祈=令园方程中x=0,所W/—2x_15=0.解待尹=5,或y=-3,所以圆与直线工=0於文点为(S了)或(0,-孑)・ 所以直线兀=0祓园2jJ—15=0所截得的弦长等于5-(-3>=8. 14,7或 解析: 由;(6-4)3+(2+7)3+(z-tf=11^(7-1)^=36・所ttz=7.或一5. 16,解=⑴由已知设所求圆的方程为G-°尸+于=几于是依题意,得 (1—a)2-H6=r1J G—口)‘十4=厂3 故所求圆的方程为(x+1)2+/=2O. (2)因为圆与直线r+y_1=0切于点M(2t一1), 所以圆心必在过点Af(2,-1)且垂直于工十厂1二0的直线! 上则J的方程为y+l=r-2,即y=x-3. Iy—X—3tfx—It 由4解得 2l尸(X[y=—2. 即圆心为0]|1*-2)? 半径Y—^(2—1)'+(—1+2)亠=y/2r故所求圆的方程为(r-1)2+3+2): =2. 忆解;以D为坐标原点,分别以射线口J,DC,码的方向为正方向,以线段ZM 2D6的长为单位长*建立空间直角坐标系Dxyz,E点在平面逛妙中,且母= kA崗、R口Ibv 又厅和昂点的坐标分别为(bb0),(1,1,1), 所以点F的坐标为II-同理可得G点的坐标为丨1,二 18.解’设所求园的方程为(工-应)'+®-閒2二几因为圆与两坐标轴相切,所以圆心满足a=b,即kb=0,或a^b=0. 又圆心在直线5x-3v-8=0上, 所以5a~3b~3=0.由方程组- 冼一郭一8=0 口一乃=0, 3d—8=0t 解得或所以圆心坐标为(4,4),(1,「1). 0=4,少=_1” 故所求圆的方程为(x-4)3+(>-4)2=16,或(x-l)2+0'+D2=l- 19.解;⑴设过尸点圆的切线方程为y+l=k&-2),即kx-y—2k-l=3. 因为圆心〔.1,]〕到直线的距罔为湮*t■I=<2*解得卫=7,或k=~1. A6■能求的"ln$芒nfr壬早%7v—tf—1s=nat? ^+11^i=o 故所求的切线方程为7x—y—15=0,或x+y-1=0. ⑵在'RtAPCA中,因为PC=J(2—l)2*(—1—"=如,CA\=Ji, 所以PA2=PC\2-\CA\2=^.所(Z过点卩的圆的切线长为2^. [第19駆 匕)容易耒出kP(: =-3,所以也=;. 如图,由ca2=cd-pc,可求岀仞=竺=4- PCVio 设直线M的方程为y—.即x~=由2=|1~6+3£>|解得或fr=Z(舍). 页Vl+3f3 所以.直线z£5的方程为x_3v+3=0. ⑶也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解. I Z0・解’因为圆心U在直线3x-v=0±,设圆心坐标为(口,加)・ 圆心匕3小到直线工-)=0的距离为”=匕4. ®2085; 又圆与x轴相切+所以半径广=孑口,设圆的方程为(X-Z1)2+{y-3a)2=9£T,设弦且窈的中点为M则AM=J7”在RtA4_WC中,由勾股定理,得 H-(j7)1=(3|fl|)2. 解得a=^=9. 故所求的圆的方程是(工―1尸+®—R—9"或仗+1尸+^+3)—9. 19.己知圆C(r-lj*12+©-2尸=2*点尸芈标曲条-0.过点尸咋圆C的切线.切点为d,£• (1)求直线尸爲的方程匸
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