平面解析几何经典题含答案.docx
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平面解析几何经典题含答案
平面解析几何
一、直线的倾斜角与斜率
1、直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角的范围
00
0180
(2)经过两点的直线的斜率公式是
(3)每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率
2.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1//l2k1k2。
特别地,
当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为平行。
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则l1l2k1k21
注:
两条直线l1,l2垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直线的斜率
之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。
如果l1,l2中
有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1与l2互相垂直。
二、直线的方程
1、直线方程的几种形式
名称方程的形式已知条件局限性
点斜式
不包括垂直于x轴的直线为直线上一定点,k为斜率
斜截式k为斜率,b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线
两点式
不包括垂直于x轴和y轴的是直线上两定点
直线
截距式a是直线在x轴上的非零截距,b是直不包括垂直于x轴和y轴或
线在y轴上的非零截距过原点的直线
一般式A,B,C为系数无限制,可表示任何位置的
直线
三、直线的交点坐标与距离公式
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是,两条
直线的交点坐标就是方程组的解,若方程组有唯一解,则这两条
直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平
行;反之,亦成立。
2.几种距离
(1)两点间的距离平面上的两点间的距离公式
(2)点到直线的距离
点到直线的距离;
(3)两条平行线间的距离
两条平行线间的距离
注:
(1)求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式;
(2)求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用
公式计算
(二)直线的斜率及应用
利用斜率证明三点共线的方法:
已知
A(x,y),B(x,y),C(x,y),若x1x2x3或kABkAC,则有A、B、C三点共
112233
线。
注:
斜率变化分成两段,
0
90是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。
直线的参数方程
〖例1〗已知直线的斜率k=-cos(∈R).求直线的倾斜角的取值范围。
思路解析:
cos的范围斜率k的范围tan的范围倾斜角的取值范围。
〖例2〗设a,b,c是互不相等的三个实数,如果
333
A(a,a)、B(b,b)、C(c,c)在同一直线上,
求证:
abc0
思路解析:
若三点共线,则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。
〖例3〗已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的P点坐标。
(1)∠MOP=∠OPN(O是坐标原点);
(2)∠MPN是直角。
思路解析:
∠MOP=∠OPNOM//PN,∠MPN是直角MPNP,故而可利用两直线平
行和垂直的条件求得。
注:
(1)充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键,对于斜率都存在且不
重合的两条直线
l和l2,。
若有一条直线
1
的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意
〖例4〗求过点P(2,-1),在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。
思路解析:
对截距是否为0分类讨论设出直线方程代入已知条件求解得直线方程。
(二)用一般式方程判定直线的位置关系
两条直线位置关系的判定
已知直线l1:
A1xB1yC10,
l2:
A2xB2yC20,则
(1)
llABABACACBCBC
//0且0(或0)12122112211221
ABC
111
或记为:
(A、B、C不为0).
222
ABC
222
(2)l1//l2A1A2B1B20.
(3)l1与l2重合A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)或记为
ABC
(
A1BC
11
(4)
〖例5〗已知直线l1:
ax2y60和直线
2
l2:
x(a1)ya10
,
(1)试判断l1与
l
2
是否平行;
(2)l1⊥
l
2
时,求a的值。
思路解析:
可直接根据方程的一般式求解,也可根据斜率求解,所求直线的斜率可能不存
在,故应按l2的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论。
〖例6〗已知点P(2,-1)。
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?
若存在,求出方程;若不存在,请说明理
由。
思路解析:
设出直线方程由点到直线距离求参数判断何时取得最大值并求之。
(三)轴对称
①点关于直线的对称
若两点关于直线l:
Ax+By+C=0对称,则线段的
中点在对称轴l上,而且连接的直线垂直于对称轴l上,由方程组
可得到点P1关于l对称的点
xy
2,2
P的坐标
2
(其中A0,x1x2)
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:
一是已知直线与对称轴相交;
二是已知直线与对称轴平行。
〖例7〗求直线l1:
y2x3关于直线l:
yx1对称的直线l2的方程。
思路解析:
转化为点关于直线的对称问题,利用方程组求解。
练习题
1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()
(A)x-2y-1=0(B)x-2y+1=0(C)2x+y-2=0(D)x+2y-1=0
2.圆
22
Cxyxy的圆心到直线3x4y40的距离d。
:
2440
3.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴上,直线l:
yx1过圆C所截得的弦长为22,
则过圆心有与直线l垂直的直线的方程为
4.倾斜角为45,在y轴上的截距为1的直线方程是()
A.xy10B.xy10C.xy10D.xy10
5.过点
M2,1
的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点,且MQ2MP,
则直线l的方程为()
A.x+2y-4=0B.x-2y=0C.x-y-1=0D.x+y-3=0
6.已知过点A(2,m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行,则m的值为()
A.0B.8C.2D.10
7.已知ab0,bc0,则直线axbyc通过()
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限
2mxm2mym
8.若方程(2m3)()410表示一条直线,则实数m满足()
A.m0B.
m
3
2
C.m1D.m1,
3
m,m0
2
9.函数
y
2x
e
图像上的点到直线2xy40距离的最小值是_
10.若直线
l1:
mxy10
与l2:
x2y50垂直,则m的值是.
11.一条光线从点A(-1,3)射向x轴,经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1),求P点的坐
标.
12.写出下列直线的点斜式方程.
(1)经过点A(2,5),且与直线y=2x+7平行;
(2)经过点C(-1,-1),且与x轴平行.
13.三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).
(1)求边AC和AB所在直线的方程;
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程;
(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程.
14.已知直线l1:
(m+3)x+y-3m+4=0,l2:
7x+(5-m)y-8=0,问当m为何值时,直线
l1与l2平行
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