精品基于水资源的数学建模答案docx.docx
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2011江西财经大学数学延模竞赛
(B题)
基于爛权的水资源短缺风险综合评价模
参赛队员:
参赛队编号:
2011057
2011年5月27日~6月1日
承诺书
我们仔细阅读了江西财经大学数学建模竞赛的竞赛章程。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或具他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献屮明确列岀。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C中选择一项填写):
队员1.
姓名
专业班级
队员2.
参赛队员(打印并签名):
专业班级
队员3.
姓名
专业班级
H期:
2011年6月1H
编号和阅卷专用页
参赛队编号:
参赛队员填写
参赛队员姓名
商填対者0赛餅竞+>国h全匕加妈愿砌意
z(\
数程修课选模l/rrg-否建是学
参S否眩m疋力
n
阅卷填写,参赛者不得填写
分得终最
卷家语阅专评
注备
定珈选]ff经口、、一、12彳
江西财经大学数学建模竞赛组委会
2011年5月15日制定
基于储权的水资源短缺风险模糊综合评价模型
摘要
木文将信息论中的嫡值理论应用于水资源短缺风险评价中,建立了基于爛权的水资源短缺风险模糊综合评价模型,避免了传统层次分析法中两两对比构造判断矩阵易丁发生冃标先后不一致性问题,丰富和改进水资源短缺风险评价方法。
首先我们利用主成分分析方法识别岀水资源短缺风险敏感因子,作为实例对北京市1979辽009年的水资源短缺风险研究表明,农业用水量、降雨量、第三产业及生活用水、污水处理能力、人口数、农业用水量是北京市水资源短缺的主耍致险因子;其次我们确定了水资源短缺风险的评价指标如下:
风险率,重现性,可恢复性,风险度,并对此确定类别标准集;然后我们运用信息爛所反映数据本身的效用值來计算评价指标的权重系数,使得权重的确定有了一定的理论依抑,而后建立了基于炳权的水资源短缺风险模糊综合评价模型,最后采用灰色预测模型对北京11/2010,2011两年的水资源短缺进行预测,研究表明再生水回用和南水北调丁程可使北京地区2010年和2020年各种情景下的水资源短缺均降至低险水平。
关键字:
水资源短缺、风险、爛权理论、主成分分析方法、敏感因子。
一、问题重述
1・1背景
水资源是指可供可供人类直接利用能够不断更新的天然水体,主耍包括陆地上的地表水和地下水。
水资源短缺风险,泛指在特定的时空环境条件下,由于來水和用水两方面存在不确定性使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。
近年来,我国、特别是北方地区水资源短缺问题日益严重。
北京就是一个缺水十分严重的城市,其水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主耍因素,尽管政府采取了一系列措施,但是由于气候变化和经济补•会的不断发展,水资源短缺风险始终存在。
如何对水资源风险的主耍因子进行识別,对风险造成的危害等级进行划分,对不同风险因子采取和应的有效措施规避风险或减少其造成的危害,具有重耍意义。
2.1问题
以北京为研究城市,根据给出的数据和自己搜集的数据对北京市的水资源短缺风险进行深入研究:
问题一:
评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么?
影响水资源的因索很多例如气候条件、水利工程设施、丁•业污染、农业用水、管理制度、人口规模等。
问题二:
建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价,作出风险等级划分并陈述理由。
对主要风险因子,如何进行调控,使得风险降低?
问题三:
对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测,并提出应对措施。
最后根据研究结呆,以北京市水行政主管部门为报告对彖,写一份建议报告。
二、利用主成分分析方法确定水资源短缺风险因子
2.1问题分析
主成分分析法是指标筛选最常用的方法Z—,该方法的本质冃的是对高维变量系统进行最佳综合与简化,同时客观地确定各个指标的权重,从而筛选出权重大的指标,确定敏感因子。
该方法较层次分析法和专家打分法的好处是避免了主观随意性,因此本文首先采用此法进行指标筛选。
加人和降低北京水资源短缺风险的因索主耍源丁•以下三方面a自然因素;b社会经济;c工程技术,以下分别从三方面对具因素进行定性分析:
8、自然因素:
(1)降水量:
它是水资源的来源,其大小变化直接影响到水资源量的大小,当降雨量减小时,水资源短缺风险就相应增大。
(2)蒸发量:
蒸发量增大将导致区域可用水资源减少,从而增大水资源短缺风险。
(3)水汽量(以水气输送总量表示):
随着科学技术的发展和国民经济实力的增强,向大气要水资源、进行人工增雨已成为干旱缺水地区补充部分水资源的一个新手段。
如果区域的水汽量少的话,则会使水资源补充的能力降低,从而加大水资源短缺风险。
(4)水源涵养指标(以植被覆盖率表示):
一般植被覆盖率越大,涵养水源较好,能有效降低水资源短缺风险;
(5)地下水天然补给量:
此补给量越大,则可用地下水也越多,可以降低水资源短缺风险。
b、社会经济:
(1)单位GDP产值污水排放量:
污水排放量越大,该区域水体的水质就越差,可用水资源也就相应减小,加大了水资源短缺风险;
(2)污水处理率:
污水进行处理后,使不是水资源的污水转变为水资源,从水质的角度增加了水资源量,从而降低了水资源短缺风险;
(3)人均GDP:
此值越高,表示经济实力越强,可以对水资源的开发和利用进行更大的投资,原则上能够降低水资源短缺风险;
(4)万元产值工业耗水率:
在保证产值的情况下耗水率越低,则越节约水资源,能够降低水资源短缺风险,反Z则能加大风险;
(5)万元产值农业耗水率:
与工业耗水率原则相同;
(6)工业总产值占有率:
一般工业产生污染比较严重,工业总产值越高,水污染越严重,所以该值增大会加大水资源短缺风险;
(7)人口密度:
人口密度大将导致水资源使用更加紧张,此值增大将加大水资源短缺风险。
(8)生活用水定额:
在北京这种干旱地区,用水一般较紧张,普遍提倡节约用水,因此在保证人们正常生活用水情况下,生活用水定额越小,水资源短缺风险也越低。
c、工程技术:
(1)地表水控制率:
地表水控制率为当地地表水蕃水工程入库水量与当地地表水水资源量Z比,控制率越大,人类就可能更多地利用水资源,从而降低水资源短缺风险;
(2)渠系水利用系数:
指的是渠首引水量减去渠系渗漏补给量与渠首引水量Z比,此值越人,渠系渗漏补给量越小,则水资源利用率越高,降低了水资源短缺风险;
(3)农业灌溉定额:
干旱地区的农业灌溉水一般都是供不应求,所以一旦有水则大量进行灌溉,这造成了大量的水资源浪费,应充分考虑到水资源的不足,对农业灌溉进行节制,所以农业灌溉定额减小能够相应降低水资源短缺风险;
(4)水循环利用率:
原则上该值越高,则水的利用率越高,水资源短缺风险
也相丿应减小;
(5)跨流域调水率(调入的水量与原有水量Z比):
能够从其他流域将水资调入,此值增大将降低水资源短缺风险。
2.2模型假设
(1)、假设所有收集到得数据均有效,即不考虑人为因素造成的无效数拯。
(2)、假设缺水量与农业用水、工业用水、第三产业及生活等其他用水、降水量、再生水量、污水处理率、人口数、污水总量等因素呈线性相关。
(3)、假设不考虑地表水的蒸发水量,以及地表水与地下水资源无重复部分。
(4)、假设各地区降水均匀、人口分布均匀以及各地区用水情况大致相同。
(5)、假设不考虑GDP增长速度对水资源的影响。
2.3主成分分析方法的步骤
(1)数据的标准化处理
yiJ二(xij-xj)/Sji二1,2,・・・,n,j=1,2,…,J
(1)
xj,Sj为第j个指标的样本均值和样木标准差。
结果如下:
0.0242
0.0144
0.0044
0.0382
0.7184
0.0230
0.0082
0.8972
0.0318
0.0138
0.0049
0.0260
0.3807
0.0230
0.0089
0.904并
0.0316
0.0122
0.0043
0.0240
0.3932
0.0250
0.0084
0.91923
0.0288
0.0139
0.0045
0.0366
0.5444
0.0250
0.0084
0.9352
0.0316
0.0112
0.0047
0.0347
0.4899
0.0250
0.0091
0.95QO-1
0.0218
0.0144
0.0040
0.0393
0.4888
0.0250
0.0091
0.9653
0.0101
0.0172
0.0044
0.0380
0.7210
0.0250
0.0091
0.9810'
0.0195
0.0099
0.0072
0.0270
0.6653
0.0260
0.0107
1.0282
0.0097
0.0140
0.0073
0.0387
0.6839
0.0260
0.0123
1.0473
0.0220
0.0140
0.0064
0.0392
0.6733
0.0260
0.0128
1.0610-'
0.0244
0.0138
0.0065
0.0216
0.4422
0.0260
0.0144
1.0752
0.0217
0.0123
0.0070
0.0359
0.6973
0.0300
0.0150
1.0862
0.0227
0.0119
0.0074
0.0423
0.7479
0.0300
0.0166
1.0942
0.0199
0.0155
0.0110
0.0224
0.5415
0.0050
0.0152
1.1023
0.0204
0.0153
0.0096
0.0197
0.5067
0.0050
0.0059
1.112(k,
0.0209
0.0146
0.0104
0.0454
0.8132
0.0250
0.0095
1.1250*
0.0193
0.0138
0.0118
0.0303
0.5725
0.0590
0.0111
1.2512
0.0189
0.0118
0.0093
0.0459
0.7009
0.0590
0.0102
1.2593
0.0181
0.0111
0.0111
0.0222
0.4309
0.0590
0.0098
1.2402
0.0174
0.0108
0.0122
0.0377
0.7317
0.0590
0.0096
1.2452
0.0184
0.0106
0.0127
0.0142
0.2669
0.0590
0.0086
1.2572®
0.0165
0.0105
0.0134
0.0169
0.3711
0.1290
0.0120
1.3632
D.0174
0.0092
0.0125
0.0192
0.3389
0.1440
0.0125
1.385V
3.0155
0.0075
0.0116
0.0161
0.3704
0.1810
0.0147
1.4232*
10138
0.0084
0.0136
0.0184
0.4449
0.2150
0.0157
1.45644-
3.0135
0.0077
0.0134
0.0214
0.4835
0.2550
0.0173
1.4927*-
3.0132
0.0068
0.0145
0.0232
0.4107
0.3240
0.0190
1.5380
3.0128
0.0062
0.0153
0.0245
0.3180
0.3310
0.0164
1.5810
3.0124
0.0058
0.0166
0.0238
0.4839
0.3530
0.0169
1.633CR
3.0120
0.0052
0.0179
0.0342
0.6263
0.3290
0.0152
1.69504-
(2)计算数据表(yij)IXJ的相关矩阵R。
结果如下:
R=
⑶求R的J个特征值:
入1上入2上…22,以及对应的特征向量ul,u2,uj,
它们标准正交,ul,u2,…,uj称为主轴。
经计算:
[pc,score,variance,12]=princomp(Z)variance(特征值)二
4.9722
1.6009a
0.5935a
0.4287"
0.2062
0.1212
0.0622
0.0142P
pc(特征向量)二
-0.3039
0.3544
-0.6644
-0.2647
-0.4578
0.1423
-0.1801
-0.0915^
-0.3996
-0.0152
0.3742
0.3741
-0.1532
0.6422
-0.3381
■0.09974
0.4101
-0.0821
0.2481
-0.2466
-0.6199
0.2349
0.0994
0.50333
-0.2475
-0.5941
-0.2701
-0.3102
0.2429
0.4463
0.3850
0.1007"
-0.2095
-0.6708
0.0178
■0.0296
-0.3489
■0.4536
•0.4094
・0.09923
0.4205
-0.0816
-0.2143
-0.1771
0.3886
0.2336
■0.7099
0.1722
0.3297
-0.2145
-0.4822
0.7497
-0.1538
0.0849
0.1334
0.0462
0.4348
-0.1088
0.0732
-0.1965
-0.1651
0.2133
0.0768
08225®
(4)求主成分
个主成分的作用大小是:
Zl>=Z2>=Z3->=Zp(p二8)
Zl=-0.3039x1-0.3996x2+0.4101x3-0.2475x4-0.2095x5+0.4205x6+0.3297x7+0.4348x8
Z2=0.3533x1-0.0152x2-0.0821x3-0.5941x4-0.6708x5-0.0816x6-0.2145x7-0.1088x8
Z3=-0.6644x1+0.3742x2+0.2481x3-0.2701x4+0.0178x5-0.2143x6-0.4822x7+0.0732x8
Z8==0.0915x1-0.0997x2+0.5033x3+0.1007x4-0.0993x5+0.1726x6+0.0460x7-0.8225x8(5)精度分析:
通过求累计贡献率E来判断,一般耍求取E>85%的最小in值,则可得
主平面的维数m,从而可对m个主成分进行综合分析:
第i个主成分的贡献率是:
二匚*100%
t^J
JT
前m个主成分的综合贡献率是:
EA
100%
羽
J-1
水资源短缺风险:
计算所得的前3个特征根XI=4.9728,X2=1.6009,X3=0.5935,E=(4.9728+1.6009+0.5935)/7.9999二89.6036%>85%,所以取m二3。
通过对北京区域的风险因子值进行主成分分析,得到如下结果,见表1:
表1水资源短缺风险主因子矩阵
Z
农业用水
工业用水
第三产业及生活等其他用水
水资源总量
降水量
污水处理能力
污水总量
常住人口
Z1
-0.3039
0.3996
0.4101
-0.2475
-0.2095
0.4205
0.3297
0.4348
Z2
0.3544
-0.0152
-0.0821
-0.5941
-0.6708
-0・0816
-0.2145
-0.1088
Z3
-0.6644
0.3742
0.2481
10.2701
0.0178
0.2143
0.4822
0.0732
由水资源短缺风险主因子矩阵可知:
主成分
(1)中各因子值,比较大的是第三产业及生活等其他用水、污水处理能力和人口数。
主成分
(2)中比较大的是农业用水和降水量
主成分(3)中各因子载荷值都较小。
综合以上分析可知:
在水资源短缺风险中载荷较大的指标为降雨量、第三产业及生活用水、污水处理能力、人口数、农业用水。
三、基于爛权的水资源短缺风险综合评价模型
水资源的短缺取决丁•供水和需水两方面影响,而这两方面都具有随机性和不确定性。
因此,水资源短缺风险也具有随机性和不确定性。
在进行风险评价时,耍充分考虑风险的特点以及水资源系统的复杂性,耍把存在风险的概率、风险出现的时间、风险造成的损失有多少、风险解除的时间、缺水量的分布等一系列因素考虑在内。
因此难以用某一种指标对其进行全而描述和评价,必须从多方而的指标综合考虑。
3.1、资源短缺风险评价指标的选择
评价指标选择的原则是:
。
能集屮反映缺水地区的缺水风险;b能集屮反映缺水风险的程度;c能反映水资源短缺风险发生后水资源系统的承受能力;d代表性好,针对性强,易于量化。
依据上述原则,并参考文献[7],选取了水资源风险率、可恢复性、重现期、风险度作为水资源系统水资源短缺风险的评价指标。
(1)风险率
根据风险理论,荷载是使系统“失事''的驱动力,而抗力则是对象抵御“失事''的能力。
如果把水资源系统的失事状态记为Fe(X>p),正常状态记为SW(Xp),那么水资源系统的风险率为[1]
r=P(k>p)=P{XteF}
(1)
式屮:
Xt为水资源系统状态变量
如果水资源系统的工作状态有长期的记录,风险率也可以定义为水资源系统不能正常工作的吋间与整个工作历时Z比,即
式屮:
NS为水资源系统丁作的总历时;It是水资源系统的状态变量。
(2)可恢复性
风险的可恢复性是一个重耍的指标,若风险不可恢复,损失就无法弥补和挽回,灾难将长期存在,将风险的可恢复性同样划分为五个等级:
0〜0.20,0.20〜0.40,0.40〜0.60,0.60〜0.80,0,80〜1
(3)重现期
事故重现期的长短在一定程度上可表明系统失事的频率,即为系统风险评价重要指标。
(4)风险度
_是标准差和期望值的比值,可表明缺水量分散程度,为风险评价中重要的性能指
标。
上述评价指标中任何…项指标均不能准确描述区域水资源短缺风险状况,应对单项缺水“风险程度”进行综合评判。
3.2爛值法确定指标权重W
(1)构造判断矩阵R根据《北京2009年鉴》里的数据我们将197旷2008年的数据分为三个阶段,分别对其求相应的风险率,重现期,可恢复性和风险度,然后构建判断矩阵矩阵R如图3
图2北京市1979^2008年水资源短缺风险评价指标取值
年限
风险率
重现性
可恢复性
风险度
1979^1988
0.8
1.25
0,25
1.37
1989^1998
0.7
1.43
0.42
1.02
1999^2008
0.98
1.2
_0.13
:
0.45
(2)将判断矩阵R进行归一•化处理,得到归一化矩阵B,B的元索为
bij=(rij-rmin)/(rmax-rmin)(3)
式中:
rmax.rmin分别为同一评价指标下不同对象中最满意者或最不满意者(越大越优或越小越优)。
(3)根据爛的定义,m个评价对彖n个评价指标,确定评价指标的爛值
1m
1+b..
X—
工(1+対)
(4)利用爛值计算评价指标的嫡权公式为:
W二(Wi)[*n
根据以上计算方法,可得各指标的评价权重为:
W二(0.2483,0.2789,0.240&0.2320)
3.3建立模糊关系矩阵L
水资源短缺风险的犬小是相对的,没有明显的界限,是典型的模糊集概念,因此可以
用模糊集理论来描述评价指标连续变化这一问题。
根据模糊数学理论可以直接定量将获得的水资源短缺各评价指标分成若干级别•则评价因素对皿齐等级的隶属度可根据各评价因素的实际数值对照各因素的分级指标推求。
我们将评语等级分为5个级别.分别对应5个标准值,即低、较低、中等、较高、高,其对应的风险程度分别为可以忽略的风险、可以接受的风险、边缘风险、不可接受风险、灾变风险。
如下表2所示,水资源短缺风险的评价指标都属于区间型指标,其隶属度函数如下:
nuix|(ii\-x,x-an}”r
1-;:
rX(n\. □(“)=忡(3-呼叽"严-an}\=1,2.・・、〃"=1・2・・・、加(3) 0.0104 0.0278 1.00 0.4186 0.2553 0.4000 0.4000 0.7727 0.0000 0.0000 1.0000 -1.2000 3.4建立综合评价矩阵B B=W*L 1x€[(u\.an] 表3评价指标及分级情况 风险等级 U1(风险率)u2(可恢复性〉 u3(重现期) u4(风险度) vl(低) 《0・20 》0.80 》9.00 《0・20 v2(较低) 0.20—0.40 0.60—0.80 6.00—9.00 0.20—0.60 v3(中等〉 0.40—0.60 0.40—0.60 3.00—6.00 0.60—1.00 v4(较高) 0.60—0.80 0.20—0.40 1.00—3.00 1.00—2.00 v5(高) 》0.80 《0・20 《1・00 》2.00 根据表2屮的数据,由式(3)计算各指标相对隶属度,建立模糊关系矩阵L (L1表示197旷1988的模糊矩阵,L2表示198旷1998的模糊矩阵,L3表示199旷2000的模糊矩阵)分别如下: 0.2308 0.3103 0.4737 1 0.0064 0.0104 L0.0278J 1 0.4186 L0.1791_ 0.2553 r0.
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