版高考数学第3章三角函数解三角形 36 正弦定理和余弦定理.docx
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版高考数学第3章三角函数解三角形36正弦定理和余弦定理
3.6 正弦定理和余弦定理
[知识梳理]
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
2.在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况
3.三角形中常用的面积公式
(1)S=ah(h表示边a上的高).
(2)S=bcsinA=acsinB=absinC.
(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).
4.在△ABC中,常有的结论
(1)∠A+∠B+∠C=π.
(2)在三角形中大边对大角,大角对大边.
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.( )
(2)在△ABC中,=.( )
(3)若a,b,c是△ABC的三边,当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形.( )
(4)在△ABC中,若sinAsinB 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2.教材衍化 (1)(必修A5P10A组T4)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=________. 答案 1 解析 由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,又由余弦定理知cosA===,所以==2××=1. (2)(必修A5P20A组T11)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于________. 答案 7 解析 因为△ABC的面积S△ABC=AB·ACsinA,所以10=×5×8sinA,解得sinA=,因为角A为锐角,所以cosA=.根据余弦定理,得BC2=52+82-2×5×8cosA=52+82-2×5×8×=49,所以BC=7. 3.小题热身 (1)(2016·天津高考)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C= 120°,则AC=( ) A.1B.2C.3D.4 答案 A 解析 在△ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcosC,得13=9+b2-2×3b×,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A. (2)(2016·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________. 答案 解析 由已知可得sinA=,sinC=,则sinB=sin(A+C)=×+×=,再由正弦定理可得=⇒b==. 题型1 利用正、余弦定理解三角形 (2018·郑州预测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则cosB=( ) A.-B.C.-D. 边角互化法. 答案 B 解析 由正弦定理知==1,即tanB=,由B∈(0,π),所以B=,所以cosB=cos=.故选B. (2018·重庆期末)在△ABC中,已知AB=4,AC=4,∠B=30°,则△ABC的面积是( ) A.4B.8 C.4或8D. 注意本题的多解性. 答案 C 解析 在△ABC中,由余弦定理可得AC2=42=(4)2+BC2-2×4BCcos30°, 解得BC=4或BC=8. 当BC=4时,AC=BC,∠B=∠A=30°,△ABC为等腰三角形,∠C=120°, △ABC的面积为AB·BCsinB=×4×4×=4. 当BC=8时,△ABC的面积为AB·BCsinB=×4×8×=8.故选C. 方法技巧 正、余弦定理在解三角形中的应用技巧 1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形,正弦定理的形式多样,其中a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC能够实现边角互化.见典例1. 2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形.见典例2. 3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.见典例2. 冲关针对训练 1.(2017·河西五市联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(b-a)sinA=(b-c)·(sinB+sinC),则角C等于( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 由题意,得(b-a)a=(b-c)(b+c),∴ab=a2+b2-c2,∴cosC==,∴C=.故选A. 2.(2018·山东师大附中模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos2A=-,c=,sinA=sinC. (1)求a的值; (2)若角A为锐角,求b的值及△ABC的面积. 解 (1)在△ABC中,c=,sinA=sinC,由正弦定理=,得a=c=×=3. (2)由cos2A=1-2sin2A=-得,sin2A=,由0 则cosA==. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA, 化简,得b2-2b-15=0, 解得b=5(b=-3舍去). 所以S△ABC=bcsinA=×5××=. 题型2 利用正、余弦定理判断三角形的形状 (2017·陕西模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定 用边角互化法. 答案 B 解析 ∵bcosC+ccosB=asinA,由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,∴sin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A.又sinA>0,∴sinA=1,∴A=,故△ABC为直角三角形.故选B. [条件探究1] 将本典例条件变为“若2sinAcosB=sinC”,那么△ABC一定是( ) A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 答案 B 解析 解法一: 由已知得2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即sin(A-B)=0, 因为-π 解法二: 由正弦定理得2acosB=c, 由余弦定理得2a·=c⇒a2=b2⇒a=b.故选B. [条件探究2] 将本典例条件变为“若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13”,则△ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 答案 C 解析 在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13, ∴a∶b∶c=5∶11∶13, 故设a=5k,b=11k,c=13k(k>0),由余弦定理可得 cosC===-<0, 又∵C∈(0,π),∴C∈, ∴△ABC为钝角三角形.故选C. [条件探究3] 将本典例条件变为“若bcosB+ccosC=acosA”,试判断三角形的形状. 解 由已知得 b·+c·=a·, ∴b2(a2+c2-b2)+c2(a2+b2-c2)=a2(b2+c2-a2). ∴(a2+c2-b2)(b2+a2-c2)=0. ∴a2+c2=b2或b2+a2=c2,即B=或C=. ∴△ABC为直角三角形. 方法技巧 判定三角形形状的两种常用途径 提醒: “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系;“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系. 冲关针对训练 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC. (1)求角A的大小; (2)若sinB+sinC=,试判断△ABC的形状. 解 (1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC及正弦定理,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c, 即bc=b2+c2-a2,∴cosA==, A∈(0,π), ∴A=60°. (2)∵A+B+C=180°, ∴B+C=180°-60°=120°. 由sinB+sinC=,得sinB+sin(120°-B)=, ∴sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=. ∴sinB+cosB=,即sin(B+30°)=1. ∵0° ∴B+30°=90°,即B=60°. ∴A=B=C=60°,∴△ABC为等边三角形. 题型3 与三角形有关的最值 角度1 与三角形边长有关的最值 (2017·杏花岭区模拟)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且a=bcosC+csinB. (1)求B; (2)若b=2,求ac的最大值. 本题采用转化法. 解 (1)在△ABC中,∵a=bcosC+csinB, ∴sinA=sinBcosC+sinCsinB, ∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB, 化为cosBsinC=sinCsinB,sinC≠0, 可得tanB=,B∈(0,π),∴B=. (2)由正弦定理得=2R=, 令y=ac=2RsinA·2RsinC=sinAsinC =sinAsin=sin+. ∵0 故<2A-<,∴sin∈, ∴y∈.∴ac的最大值为4. 角度2 与三角形内角有关的最值 (2017·庄河市期末)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,设f(x)=a2x2-(a2-b2)x-4c2. (1)若f (1)=0,且B-C=,求角C的大小; (2)若f (2)=0,求角C的取值范围. 本题采用放缩法. 解 (1)由f (1)=0,得a2-a2+b2-4c2=0, ∴b=2c, 又由正弦定理,得sinB=2sinC, ∵B-C=, ∴sin=2sinC, 整理得sinC=cosC,∴tanC=. ∵角C是三角形的内角,∴C=. (2)∵f (2)=0,∴4a2-2a2+2b2-4c2=0, 即a2+b2-2c2=0, 由余弦定理,得cosC==≥=(当且仅当a=b时取等号). 又∵余弦函数在上递减,C是锐角, ∴0 方法技巧 求与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有关定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可. 冲关针对训练 (2018·绵阳检测)已知向量m=,n=,记f(x)=m·n. (1)若f(x)=1,求cos的值; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围. 解 (1)f(x)=m·n=sincos+cos2= sin+cos+=sin+. 因为f(x)=1, 所以sin=, cos=1-2sin2=,cos=-cos=-. (2)因为(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, 所以2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC, 所以2sinAcosB=sin(B+C), 因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA,且sinA≠0, 所以cosB=,B=,所以0 所以<+<, 又因为f(x)=m·n=sin+, 所以f(A)=sin+, 故函数f(A)的取值范围是. 1.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 因为a=2,c=, 所以由正弦定理可知,=, 故sinA=sinC. 又B=π-(A+C), 故sinB+sinA(sinC-cosC) =sin(A+C)+sinAsinC-sinAcosC =sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC =(sinA+cosA)sinC =0. 又C为△ABC的内角, 故sinC≠0, 则sinA+cosA=0,即tanA=-1. 又A∈(0,π),所以A=. 从而sinC=sinA=×=. 由A=知C为锐角,故C=. 故选B. 2.(2018·南阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则B=________. 答案 解析 由正弦定理,得sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinB,即sinBsin(A+C)=sinB,因为sinB≠0,所以sinB=,所以B=或,又因为a>b,故B=. 3.(2018·沈阳模拟)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)·sinC.若a=,则b2+c2的取值范围是________. 答案 5 解析 由正弦定理可得,(a-b)·(a+b)=(c-b)·c,即b2+c2-a2=bc,cosA==,又A∈,∴A=.∵===2, ∴b2+c2=4(sin2B+sin2C)=4[sin2B+sin2(A+B)]=4=sin2B-cos2B+4=2sin+4. ∵△ABC是锐角三角形,且A=,∴B∈,即2B-∈,∴ 4.(2015·全国卷Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC. (1)若a=b,求cosB; (2)设B=90°,且a=,求△ABC的面积. 解 (1)由题设及正弦定理可得b2=2ac. 又a=b,可得b=2c,a=2c. 由余弦定理可得cosB==. (2)由 (1)知b2=2ac. 因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2. 故a2+c2=2ac,得c=a=. 所以△ABC的面积为1. [重点保分两级优选练] A级 一、选择题 1.(2017·长沙模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=3,A=60°,则边c=( ) A.1B.2C.4D.6 答案 C 解析 a2=c2+b2-2cbcosA⇒13=c2+9-6ccos60°,即c2-3c-4=0,解得c=4或c=-1(舍去).故选C. 2.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若∠C=120°,c=a,则( ) A.a>b B.a C.a=b D.a与b的大小关系不能确定 答案 A 解析 据题意由余弦定理可得a2+b2-2abcos120°=c2=(a)2,化简整理得a2=b2+ab,变形得a2-b2=(a+b)(a-b)=ab>0,故有a-b>0,即a>b.故选A. 3.(2017·湖南长郡中学六模)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2bsin2A=asinB,且c=2b,则等于( ) A.2B.3C.D. 答案 A 解析 由2bsin2A=asinB,得4bsinAcosA=asinB,由正弦定理得4sinBsinAcosA=sinAsinB,∵sinA≠0,且sinB≠0,∴cosA=,由余弦定理得a2=b2+4b2-b2,∴a2=4b2,∴=2.故选A. 4.(2017·衡水中学调研)在△ABC中,三边之比a∶b∶c=2∶3∶4,则=( ) A.1B.2C.-2D. 答案 B 解析 不妨设a=2,b=3,c=4,故cosC==-,故===2.故选B. 5.在△ABC中,A,B,C是三角形的三个内角,a,b,c是三个内角对应的三边,已知b2+c2=a2+bc.若sinBsinC=,△ABC的形状( ) A.等边三角形B.不含60°的等腰三角形 C.钝角三角形D.直角三角形 答案 A 解析 在△ABC中,由余弦定理,可得cosA=,由已知,得b2+c2-a2=bc,∴cosA=. ∵0 ∵A+B+C=π,A=,∴C=-B. 由sinBsinC=,得sinBsin=. 即sinB=. sinBcosB+sin2B=, sin2B+(1-cos2B)=, sin2B-cos2B=1,∴sin=1. 又∵-<2B-<, ∴2B-=,即B=. ∴C=,也就是△ABC为等边三角形.故选A. 6.(2014·江西高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( ) A.3B.C.D.3 答案 C 解析 c2=(a-b)2+6,即c2=a2+b2-2ab+6.① ∵C=,∴由余弦定理得c2=a2+b2-ab,② 由①和②得ab=6,∴S△ABC=absinC=×6×=.故选C. 7.(2018·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC的三内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b的取值范围为( ) A.(,)B.(1,)C.(,2)D.(0,2) 答案 A 解析 由==,得b=2cosA. 又2A<,所以A<,
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