全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编.docx
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全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编
2013年全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编
专题15综合问题
一、选择题
1.(2012广东湛江4分)已知长方形的面积为20cm2,设该长方形一边长为ycm,另一边的长为xcm,则y与x之间的函数图象大致是【】
A.B.C.D.
【答案】B。
【考点】反比例函数的性质和图象。
【分析】∵根据题意,得xy=20,∴。
故选B。
2.(2012浙江湖州3分)如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于【】
A.B.C.3D.4
【答案】A。
【考点】二次函数的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质。
【分析】过B作BF⊥OA于F,过D作DE⊥OA于E,过C作CM⊥OA于M,
∵BF⊥OA,DE⊥OA,CM⊥OA,∴BF∥DE∥CM。
∵OD=AD=3,DE⊥OA,∴OE=EA=OA=2。
由勾股定理得:
DE=。
设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,
∵BF∥DE∥CM,∴△OBF∽△ODE,△ACM∽△ADE。
∴,即,解得:
。
∴BF+CM=。
故选A。
3.(2012天津市3分)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2,有下列结论:
①x1=2,x2=3;②;
③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).
其中,正确结论的个数是【】
(A)0(B)1(C)2(D)3
【答案】C。
【考点】抛物线与x轴的交点,一元二次方程的解,一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2,
∴x1=2,x2=3,只有在m=0时才能成立,故结论①错误。
②一元二次方程(x-2)(x-3)=m化为一般形式得:
x2-5x+6-m=0,
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2,∴△=b2-4ac=(-5)2-4(6-m)=4m+1>0,
解得:
。
故结论②正确。
③∵一元二次方程x2-5x+6-m=0实数根分别为x1、x2,∴x1+x2=5,x1x2=6-m。
∴二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m=x2-(x1+x2)x+x1x2+m=x2-5x+(6-m)+m
=x2-5x+6=(x-2)(x-3)。
令y=0,即(x-2)(x-3)=0,解得:
x=2或3。
∴抛物线与x轴的交点为(2,0)或(3,0),故结论③正确。
综上所述,正确的结论有2个:
②③。
故选C。
4.(2012四川广元3分)已知关于x的方程有唯一实数解,且反比例函数
的图象在每个象限内y随x的增大而增大,那么反比例函数的关系式为【】
A.B.C.D.
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式,反比例函数的性质。
【分析】关于x的方程化成一般形式是:
2x2+(2-2b)x+(b2-1)=0,
∵它有唯一实数解,
∴△=(2-2b)2-8(b2-1)=-4(b+3)(b-1)=0,解得:
b=-3或1。
∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大,
∴1+b<0。
∴b<-1。
∴b=-3。
∴反比例函数的解析式是,即。
故选D。
5.(2012四川凉山4分)如图,在平面直角坐标系中,⊙O的半径为1,则直线与⊙O的位置关系是【】
A.相离B.相切C.相交D.以上三种情况都有可能
【答案】B。
【考点】坐标与图形性质,直线与圆的位置关系,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】如图,在中,令x=0,则y=-;令y=0,则x=,
∴A(0,-),B(,0)。
∴OA=OB=2。
∴△AOB是等腰直角三角形。
∴AB=2,
过点O作OD⊥AB,则OD=BD=AB=×2=1。
又∵⊙O的半径为1,∴圆心到直线的距离等于半径。
∴直线y=x-2与⊙O相切。
故选B。
6.(2012辽宁朝阳3分)如图,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数的图象上,若点A的坐标为(-2,-3),则k的值为【】
A.1B.-5C.4D.1或-5
【答案】D。
【考点】矩形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征。
【分析】如图:
∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形,
又∵BO为四边形HBEO的对角线,OD为四边形OGDF的对角线,
∴。
∴。
∴。
∴xy=k2+4k+1=6,解得,k=1或k=-5。
故选D。
7.(2012贵州安顺3分)下列说法中正确的是【】
A.是一个无理数
B.函数的自变量的取值范围是x>﹣1
C.若点P(2,a)和点Q(b,﹣3)关于x轴对称,则a﹣b的值为1
D.﹣8的立方根是2
【答案】C。
【考点】无理数,函数自变量的取值范围,二次根式有意义的条件,关于x轴对称的点的坐标,立方根。
【分析】A、=3是有理数,故此选项错误;
B、函数的自变量的取值范围是x≥﹣1,故此选项错误;
C、若点P(2,a)和点Q(b,﹣3)关于x轴对称,则b=2,a=3,故a﹣b=3﹣2=1,故此选项正确;
D、﹣8的立方根式﹣2,故此选项错误。
故选C。
8.(2012广西柳州3分)小兰画了一个函数的图象如图,那么关于x的分式方程的
解是【】
A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4
【答案】A。
【考点】反比例函数的图象,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系,关于x的分式方程的解就是函数中,
纵坐标y=2时的横坐标x的值.根据图象可以得到:
当y=2时,x=1。
故选A。
9.(2012广西钦州3分)在平面直角坐标系中,对于平面内任意一点(x,y),若规定以下两种变换:
①f(x,y)=(y,x).如f(2,3)=(3,2);
②g(x,y)=(﹣x,﹣y),如g(2,3)=(﹣2,﹣3).
按照以上变换有:
f(g(2,3))=f(﹣2,﹣3)=(﹣3,﹣2),那么g(f(﹣6,7))等于【】
A.(7,6)B.(7,﹣6)C.(﹣7,6)D.(﹣7,﹣6)
【答案】C。
【考点】新定义,点的坐标。
【分析】由题意应先进行f方式的变换,再进行g方式的变换,注意运算顺序及坐标的符号变化:
∵f(﹣6,7)=(7,﹣6),∴g(f(﹣6,7))=g(7,﹣6)=(﹣7,6)。
故选C。
10.(2012吉林长春3分)如图,在平面直角坐标系中,在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,使OA=OB;再分别以点A,B为圆心,以大于AB长为半径作弧,两弧交于点C.若点C的坐标为(m-1,2n),则m与n的关系为【】
(A)m+2n=1(B)m-2n=1(C)2n-m=1(D)n-2m=1
【答案】B。
【考点】作图(基本作图),角平分线性质,点到x轴、y轴距离。
【分析】如图,根据题意作图知,OC为∠AOB的平分线,点C的坐标为
(m-1,2n)且在第一象限,点C到x轴CD=2n,到y轴距离CE=m-1。
根据角平分线上的点到角两边距离相等,得m-1=2n,即m-2n=1。
故选B。
11.(2012青海西宁3分)如图,将矩形沿图中虚线(其中x>y)剪成四块图形,用这四块图形恰能拼一
个正方形.若y=2,则x的值等于【】
A.3B.25-1C.1+5D.1+2
【答案】C。
【考点】一元二次方程的应用(几何问题),图形的剪拼。
【分析】如图所示,四块图形拼成一个正方形边长为x,
根据剪拼前后图形的面积相等可得,y(x+y)=x2。
∵y=2,∴2(x+2)=x2,整理得,x2-2x-4=0,解得x1=1+5,x2=1-5(舍去)。
故选C。
12.(2012内蒙古呼和浩特3分)下列命题中,真命题的个数有【】
①一个图形无论经过平移还是旋转,变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行
②函数图象上的点P(x,y)一定在第二象限
③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面
④使得|x|﹣y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为.
A.3个B.1个C.4个D.2个
【答案】D。
【考点】命题与定理,平移和旋转的性质,非负数的性质,平行投影,公式法解一元二次方程,绝对值,二次根式有意义的条件。
【分析】①平移后对应线段平行;对应线段相等,对应角相等,图形的形状和大小没有发生变化;
旋转后对应线段不平行;对应线段相等;对应角相等;图形的形状和大小没有发生变化。
故此命题错误。
②根据二次根式的意义得x<0,y>0,故函数图象上的点P(x,y)一定在第二象限。
故此命题正确。
③根据正投影的定义得出,正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面。
故此命题正确。
④使得|x|﹣y=3和y+x2=0同时成立,即y=|x|﹣3,y=﹣x2,故|x|﹣3=﹣x2,x2﹣|x|﹣3=0。
当x>0,则x2﹣x﹣3=0,解得:
x1=,x2=(不合题意舍去);
当x<0,则x2+x﹣3=0,解得:
x1=(不合题意舍去),x2=。
∴使得|x|﹣y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为:
,。
故此命题错误。
故正确的有2个。
故选D。
二、填空题
1.(2012山西省3分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的对角线AC平行于x轴,边OA与x轴正半轴的夹角为30°,OC=2,则点B的坐标是▲.
【答案】(2,2)。
【考点】矩形的性质,平行的性质,坐标与图形性质,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】过点B作DE⊥OE于E,
∵矩形OABC的对角线AC平行于x轴,边OA与x轴正半轴的夹角为30°,
∴∠CAO=30°。
又∵OC=2,∴AC=4。
∴OB=AC=4。
又∵∠OBC=∠CAO=30°,DE⊥OE,∠CBA=90°,∴∠OBE=30°。
∴OE=2,BE=OB•cos∠OBE=2。
∴点B的坐标是(2,2)。
2.(2012陕西省3分)如图,从点A(0,2)发出的一束光,经x轴反射,过点B(4,3),则这束光从点A到点B所经过路径的长为▲.
【答案】。
【考点】跨学科问题,坐标与图形性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】如图,过点B作BD⊥x轴于D,
∵A(0,2),B(4,3),∴OA=2,BD=3,OD=4。
根据入射角等于反射角的原理得:
∠ACO=∠BCD。
∵∠AOC=∠BDC=90°,∴△AOC∽△BDC。
∴OA:
BD=OC:
DC=AC:
BC=2:
3,
设OC=x,则DC=4-x,∴,解得,即OC=。
∴。
∴:
BC=2:
3,解得BC=。
∴AC+BC=,即这束光从点A到点B所经过的路径的长为。
3.(2012广东佛山3分)如图,边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形,若拼成的矩形一边长为4,则另一边长为▲
【答案】2m+4。
【考点】图形的变换,一元一次方程的应用(几何问题)。
【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积,列式整理即可得解:
设拼成的矩形的另一边长为x,
则4x=(m+4)2-m2=(m+4+m)(m+4-m)=8m+16,解得x=2m+4。
4.(2012浙江湖州4分)如图,将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形,这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形,若,则△ABC的边长是▲
【答案】12。
【考点】一元二次方程的应用(几何问题),菱形的性质,等边三角形的性质,锐角三角函数定义。
【分析】设正△ABC的边长为x,则由勾股定理,得高为,。
∵所分成的都是正三角形,
∴根据锐角三角函数定义,可得黑色菱形的较长的对角线为,较短的对角线为。
∴黑色菱形的面积=。
∴,整理得,11x2-144x+144=0。
解得(不符合题意,舍去),x2=12。
所以,△ABC的边长是12。
5.(2012江苏连云港3分)如图,直线y=k1x+b与双曲线交于A、B两点,其横坐标分别为1和5,则不等式k1x<+b的解集是 ▲ .
【答案】-5<x<-1或x>0。
【考点】不等式的图象解法,平移的性质,反比例函数与一次函数的交点问题,对称的性质。
【分析】不等式k1x<+b的解集即k1x-b<的解集,根据不等式与直线和双曲线解析式的关系,可以理解为直线y=k1x-b在双曲线下方的自变量x的取值范围即可。
而直线y=k1x-b的图象可以由y=k1x+b向下平移2b个单位得到,如图所示。
根据函数图象的对称性可得:
直线y=k1x-b和y=k1x+b与双曲线的交点坐标关于原点对称。
由关于原点对称的坐标点性质,直线y=k1x-b图象与双曲线图象交点A′、B′的横坐标为A、B两点横坐标的相反数,即为-1,-5。
∴由图知,当-5<x<-1或x>0时,直线y=k1x-b图象在双曲线图象下方。
∴不等式k1x<+b的解集是-5<x<-1或x>0。
6.(2012江苏南通3分)无论a取什么实数,点P(a-1,2a-3)都在直线l上,Q(m,n)是直线l上的点,
则(2m-n+3)2的值等于▲.
【答案】16。
【考点】待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,求代数式的值。
【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上,
∴令a=0,则P1(-1,-3);再令a=1,则P2(0,-1)。
设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴,解得。
∴直线l的解析式为:
y=2x-1。
∵Q(m,n)是直线l上的点,∴2m-1=n,即2m-n=1。
∴(2m-n+3)2=(1+3)2=16。
7.(2012福建龙岩3分)如图,平面直角坐标系中,⊙O1过原点O,且⊙O1与⊙O2相外切,圆心O1与O2在x轴正半轴上,⊙O1的半径O1P1、⊙O2的半径O2P2都与x轴垂直,且点P1、P2在反比例函数(x>0)的图象上,则▲.
【答案】。
【考点】反比例函数综合题。
【分析】∵⊙O1过原点O,⊙O1的半径O1P1,∴O1O=O1P1。
∵⊙O1的半径O1P1与x轴垂直,点P1(x1,y1)在反比例函数(x>0)的图象上,
∴x1=y1,x1y1=1。
∴x1=y1=1。
∵⊙O1与⊙O2相外切,⊙O2的半径O2P2与x轴垂直,
设两圆相切于点A,∴AO2=O2P2=y2,OO2=2+y2。
∴P2点的坐标为:
(2+y2,y2)。
∵点P2在反比例函数(x>0)的图象上,
∴(2+y2)•y2=1,解得:
y2=-1+或-1-(不合题意舍去)。
∴y1+y2=1+(-1+)=。
8.(2012湖北武汉3分)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点
C是第一象限内一点,且AC=2.设tan∠BOC=m,则m的取值范围是▲.
【答案】。
【考点】锐角三角函数定义,勾股定理,一元二次方程根的判别式。
【分析】如图,设C点坐标为()。
∵tan∠BOC=m,∴,即。
∵A的坐标为(3,0),∴DA=。
又∵AC=2.∴由勾股定理,得,
即,整理得
由得。
∵tan∠BOC=m>0,∴。
9.(2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)平面直角坐标系中,⊙M的圆心坐标为(0,2),半径为1,点N在x轴的正半轴上,如果以点N为圆心,半径为4的⊙N与⊙M相切,则圆心N的坐标为 ▲ .
【答案】(,0)或(,0)。
【考点】相切两圆的性质,坐标与图形性质,勾股定理。
【分析】分别从⊙M与⊙N内切或外切去分析:
①⊙M与⊙N外切,MN=4+1=5,,
∴圆心N的坐标为(,0)。
②⊙M与⊙N内切,MN=4﹣1=3,,
∴圆心N的坐标为(,0)。
综上所述,圆心N的坐标为(,0)或(,0)。
10.(2012辽宁阜新3分)如图1,在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形,再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形,如图2.这个拼成的长方形的长为30,宽为20.则图2中Ⅱ部分的面积是
▲.
【答案】100。
【考点】解二元一次方程组的应用(几何问题)。
【分析】由题意,得图2中Ⅱ部分长为b,宽为a-b,
∴,解得。
∴图2中Ⅱ部分的面积是。
11.(2012吉林长春3分)如图,在平面直角坐标系中,点A是抛物线与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为▲.
【答案】18。
【考点】二次函数的性质,等边三角形的性质。
【分析】根据二次函数的性质,抛物线的对称轴为x=3。
∵A是抛物线与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴。
∴A,B关于x=3对称。
∴AB=6。
又∵△ABC是等边三角形,∴以AB为边的等边三角形ABC的周长为6×3=18。
12.(2012甘肃兰州4分)如图,M为双曲线上的一点,过点M作x轴、y轴的垂线,分别交直线y=-x+m于点D、C两点,若直线y=-x+m与y轴交于点A,与x轴相交于点B,则AD•BC的值为 ▲ .
【答案】2。
【考点】反比例函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】如图,作CE⊥x轴于E,DF⊥y轴于F,
在y=-x+m中,
令x=0,则y=m;令y=0,-x+m=0,解得x=m。
∴A(0,m),B(m,0)。
∴△OAB等腰直角三角形。
∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形。
设M的坐标为(a,b),则ab=,CE=b,DF=a。
∴AD=DF=a,BC=CE=b,∴AD•BC=a•b=2ab=2。
三、解答题
1.(2012上海市12分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠ADE=90°,tan∠DAE=,EF⊥OD,垂足为F.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示);
(3)当∠ECA=∠OAC时,求t的值.
【答案】解:
(1)二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),
∴,解得。
∴这个二次函数的解析式为:
y=﹣2x2+6x+8。
(2)∵∠EFD=∠EDA=90°,∴∠DEF+∠EDF=90°,∠EDF+∠ODA=90°。
∴∠DEF=∠ODA。
∴△EDF∽△DAO。
∴。
∵,∴。
∵OD=t,∴,∴EF=。
同理,∴DF=2,∴OF=t﹣2。
(3)∵抛物线的解析式为:
y=﹣2x2+6x+8,∴C(0,8),OC=8。
如图,连接EC、AC,过A作EC的垂线交CE于G点.
∵∠ECA=∠OAC,∴∠OAC=∠GCA(等角的余角相等)。
在△CAG与△OCA中,
∵∠OAC=∠GCA,AC=CA,∠ECA=∠OAC,
∴△CAG≌△OCA(ASA)。
∴CG=AO=4,AG=OC=8。
如图,过E点作EM⊥x轴于点M,
则在Rt△AEM中,EM=OF=t﹣2,AM=OA+AM=OA+EF=4+,
由勾股定理得:
。
在Rt△AEG中,由勾股定理得:
。
在Rt△ECF中,EF=,CF=OC﹣OF=10﹣t,CE=CG+EG=4+
由勾股定理得:
EF2+CF2=CE2,即。
解得t1=10(不合题意,舍去),t2=6。
∴t=6。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,全等三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】
(1)已知点A、B坐标,用待定系数法求抛物线解析式即可。
(2)先证明△EDF∽△DAO,然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求
解。
(3)通过作辅助线构造一对全等三角形:
△CAG≌△OCA,得到CG、AG的长度;然后利用勾股定理求得AE、EG的长度(用含t的代数式表示);最后在Rt△ECF中,利用勾股定理,得到关于t的无理方程,解方程求出t的值。
2.(2012福建莆田14分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(0,3),B(6,3),C(6,0),抛物线过点A。
(1)(2分)求c的值;.
(2)(6分)若a=-l,且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E,求△ADE的面积S的最大值;
(3)(6分)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N,线段MN的垂直平分线l过点O,交线段BC于点
F。
当BF=1时,求抛物线的解析式.
【答案】解:
(1)∵抛物线过点A(0,3),∴c=3。
(2)∵a=-l,∴
如图①,当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时,抛物线与直线x=6的交点应落在C点或C点下方。
∴ 当x=6时,y≤0。
∴,即。
又∵对称轴在y轴右侧,∴b>0。
∴0<。
由抛物线的对称性可知:
。
又∵△ADE的高=BC=3,∴S=×b×3=。
∵>0,∴S随b的增大而增大。
∴当b=时,S的最大值=。
如图②,当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边上时,抛物线与直线
x=6的交点应落在线段BC上且不与点B重合,即0≤<3。
当x=6,则,
∴0≤6b—33<3,∴≤b<6。
∴BE=3-(6b-33)=36—6b。
∴S=AD•BE=•b•(36—6b)=-3b2+18b。
∵对称轴b=3<,∴随b的增大而减小。
∴当b=时,S的最大值=。
综上所述:
S的最大值为。
(3)当a>0时,符合题意要求的抛物线不存在。
当a<0时,符合题意要求的抛物线有两种情况:
①当点M、N分别在AB、OC边上时.
如图③过M点作MG⊥OC于点G,连接OM.
∴MG=OA=3.∠2+∠MNO=90°。
∵OF垂直平分MN.
∴OM=ON,∠1+∠MNO=90°,∠1=∠2。
∵FB=1,FC=3-1=2。
∴tan∠1=,tan∠2==tan∠1=。
∴GN=GM=1。
设N(n,0),则G(n-1,0),∴M(n-1,3)。
∴AM=n-1,ON=n=OM。
在Rt△AOM中,,
∴,解得n=5。
∴ M(4,3),N(5,0)。
把M(4,3),N(5,0)分别代入,得
,解得。
∴抛物线的解析式为。
②当点M、N分别在AB、BC边上时.如图④,连接MF.
∵OF垂直平分MN,
∴∠1+∠NFO=90°,MF=FN。
又∵∠0CB=90°,∴∠2+∠CFO=90°。
∴∠1=∠2。
∵BF=1,∴FC=2。
∴tan∠1=tan∠2=。
在Rt△MBN,tan∠1=
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