秋人教版七年级数学上思维特训及参考答案79.docx
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秋人教版七年级数学上思维特训及参考答案79
思维特训(七) 含有字母的绝对值的化简
方法点津·
1.绝对值的性质:
|a|=
2.有理数的加法法则:
若a>b>0,则a+b>0;
若0>b>a,则a+b<0;
若a,b异号,|a|>|b|,则a+b的符号与a的符号保持一致.
典题精练·
类型一 以数轴为背景的绝对值的化简
1.
(1)一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到________的距离;
(2)若|a|=-a,则a________0;
(3)有理数a,b在数轴上的位置如图7-S-1所示,请化简:
|a|+|b|+|a+b|.
图7-S-1
2.已知数a,b,c在数轴上的位置如图7-S-2所示,化简:
|a+b|-|a-b|+|a+c|.
图7-S-2
3.有理数a,b,c在数轴上的位置如图7-S-3所示,化简:
|a+c|-|a-b|+|b+c|-|b|.
图7-S-3
4.有理数a,b,c在数轴上的位置如图7-S-4所示,化简:
3|a-b|+|a+b|-|c-a|+2|b-c|.
图7-S-4
5.已知a,b,c在数轴上的位置如图7-S-5所示,化简:
|b-c+a|+|a+c|-|b-a+c|-|a+b+c|.
图7-S-5
类型二 以符号为背景的绝对值的化简
6.已知x<0,y>0,z<0,且|x|<|y|,|y|>|z|,化简:
|x+z|-|y+z|+|x+y|-|x-y+z|.
7.
(1)若-2≤a≤2,化简:
|a+2|+|a-2|=______;
(2)若a≥-2,化简:
|a+2|+|a-2|;
(3)化简:
|a+2|+|a-2|.
详解详析
1.
解:
(1)原点
(2)因为|a|=-a,所以a≤0.
(3)由a,b在数轴上的位置可知,a<-1<0<b<1,
所以a<0,b>0,a+b<0,
所以|a|=-a,|b|=b,|a+b|=-a-b,
所以原式=-a+b-a-b=-2a.
2.解:
根据题意,得-2<c<-1,0<a<1,2<b<3,
所以a+b>0,a-b<0,a+c<0,
所以原式=a+b-[-(a-b)]+[-(a+c)]
=a+b+a-b-a-c
=a-c.
3.解:
由图可知:
a+c<0,a-b>0,b+c<0,b<0,
所以原式=-(a+c)-(a-b)-(b+c)+b
=-a-c-a+b-b-c+b
=-2a+b-2c.
4.解:
由图可知c>0,a<b<0,则a-b<0,a+b<0,c-a>0,b-c<0,
所以原式=-3(a-b)-(a+b)-(c-a)-2(b-c)
=-3a+3b-a-b-c+a-2b+2c
=-3a+c.
5.解:
由图可知b-c+a<0,a+c<0,b-a+c>0,a+b+c<0,
则原式=-b+c-a-a-c-b+a-c+a+b+c=-b.
6.解:
因为x<0,y>0,z<0,|x|<|y|,|y|>|z|,
所以x+z<0,y+z>0,x+y>0,x-y+z<0,
所以原式=-x-z-y-z+x+y+x-y+z=x-y-z.
7.解:
(1)因为-2≤a≤2,所以a+2≥0,a-2≤0,
所以|a+2|+|a-2|=a+2+2-a=4.
故答案为4.
(2)①如果-2≤a≤2,那么|a+2|+|a-2|=a+2+2-a=4;
②如果a>2,那么|a+2|+|a-2|=a+2+a-2=2a.
(3)①如果a<-2,那么|a+2|+|a-2|=-a-2+2-a=-2a;
②如果-2≤a≤2,那么|a+2|+|a-2|=a+2+2-a=4;
③如果a>2,那么|a+2|+|a-2|=a+2+a-2=2a.
思维特训(八) 整体法求整式的值
方法点津·
1.整体思想:
就是从问题的整体性质出发,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理.
2.根据条件进行求值时,我们可以根据条件的结构特征,合理变形,构造出条件中含有的模型,然后整体代入,从整体上把握解的方向和策略,从而使复杂问题简单化.
典题精练·
类型一 已知一个代数式的值进行整体求值
1.若mn=m+3,则2mn+3m-5mn+10=________.
2.理解与思考:
在某次作业中有这样的一道题:
“如果式子5a+3b的值为-4,那么式子2(a+b)+4(2a+b)的值是多少?
”小明是这样来解的:
原式=2a+2b+8a+4b=10a+6b.把等式5a+3b=-4的两边同乘2,得10a+6b=-8.
仿照小明的解题方法,完成下面的问题:
(1)如果a2+a=0,那么a2+a+2018=________;
(2)已知14x-21x2=-14,求9x2-6x-5的值;
(3)已知a-b=-3,求3(a-b)-5a+5b+5的值;
(4)请你仿照以上各题的解法,解决下列问题(写出必要的解题过程):
若a-b=4,求如图8-S-1所示两个长方形的面积差,即S1-S2的值.
图8-S-1
类型二 已知两个代数式的值进行整体求值
3.“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.如:
已知m+n=-2,mn=-4,则2(mn-3m)-3(2n-mn)的值为________.
4.若a+c=2017,b+d=-2018,则(a+b+c-d)+(a+b+d-c)+(a+c+d-b)-(a-b-c-d)=________.
5.阅读下面例题的解题过程,再解答下面的问题.
例题:
已知m-n=100,x+y=-1,求(n+x)-(m-y)的值.
解:
(n+x)-(m-y)=n+x-m+y=n-m+x+y=-(m-n)+(x+y)=-100-1=-101.
问题:
(1)已知a+b=-7,ab=10,求(3ab+6a+4b)-(2a-2ab)的值;
(2)已知a2+2ab=-2,ab-b2=-4,求2a2+
ab+
b2的值.
6.用整体思想解题:
为了简化问题,我们往往把一个式子看成一个数(整体).
根据提示解答下列问题.
已知A+B=3x2-5x+1,A-C=-2x+3x2-5,当x=2时,求B+C的值.
详解详析
1.1
[解析]原式=-3mn+3m+10,把mn=m+3代入,得原式=-3m-9+3m+10=1.
2.解:
(1)a2+a+2018=0+2018=2018.
(2)由14x-21x2=-14,得21x2-14x=14,即3x2-2x=2,则原式=3(3x2-2x)-5=6-5=1.
(3)3(a-b)-5a+5b+5=3(a-b)-5(a-b)+5=-2(a-b)+5.
当a-b=-3时,原式=11.
(4)两个长方形的面积差是S1-S2=4(5a-2b)-3(6a-2b)=20a-8b-(18a-6b)=2a-2b=2(a-b).
当a-b=4时,S1-S2=2×4=8.
3.-8
[解析]因为m+n=-2,mn=-4,
所以原式=2mn-6m-6n+3mn=5mn-6(m+n)=-20+12=-8.
4.-2 [解析]因为a+c=2017,b+d=-2018,
所以原式=a+b+c-d+a+b+d-c+a+c+d-b-a+b+c+d=2a+2b+2c+2d=2(a+b+c+d)=-2.
5.解:
(1)(3ab+6a+4b)-(2a-2ab)
=3ab+6a+4b-2a+2ab
=5ab+4a+4b
=5ab+4(a+b).
当a+b=-7,ab=10时,
原式=5×10+4×(-7)=22.
(2)把a2+2ab=-2左右两边同乘2,得2a2+4ab=-4,
把ab-b2=-4左右两边同乘
,
得
ab-
b2=-2.
所以2a2+
ab+
b2=2a2+4ab-(
ab-
b2)=-4-(-2)=-2.
6.解:
因为A+B=3x2-5x+1,A-C=-2x+3x2-5,
所以B+C
=(A+B)-(A-C)
=3x2-5x+1-(-2x+3x2-5)
=3x2-5x+1+2x-3x2+5
=-3x+6,
把x=2代入上式,得B+C=-6+6=0.
思维特训(九) 整式加减中的“无关”问题
方法点津·
一般来说,整式的值与整式所含字母的取值是有关的,当字母取唯一数值时,得到的整式的值也是唯一的,但当整式不含这个字母时,整式的值便与这个字母的取值无关.
典题精练·
类型一 同一字母取不同数值时,整式的值不变
此种情况说明整式的值与此字母的取值无关,即整式化简后的结果中这个字母的系数为0.
1.一天,数学老师布置了一道数学题:
已知x=2018,求整式(x3-6x2-7x+8)-(-x2-3x+2x3-3)+(x3+5x2+4x-1)的值,小明观察后提出:
“已知x=2018是多余的.”你认为小明的说法有道理吗?
请说明理由.
2.课堂上李老师给出了一道整式求值的题目,李老师把要求的整式(7a3-6a3b+3a2b)-(-3a3-6a3b+3a2b+10a3-3)写在黑板上,让王红同学给出一组a,b的值,老师自己说答案,当王红说完:
“a=65,b=-2005”后,李老师不假思索,立刻就说出答案为3.同学们莫名其妙,觉得不可思议,但李老师用坚定的口吻说:
“这个答案准确无误”.你能说出其中的道理吗?
3.已知x2+ax-2y+7-(bx2-2x+9y-1)的值与x的取值无关,求a+b的值.
4.已知2x2+ax-y+6-bx2+3x-5y-1的值与字母x的取值无关,且A=4a2-ab+4b2,B=3a2-ab+3b2,求3A-[2(3A-2B)-3(4A-3B)]的值.
类型二 同一字母取值互为相反数时,整式的值不变
此种情况说明整式化简后的结果要么不含有这个字母,要么只含这个字母的偶次方项或绝对值项.
5.小强与小亮在同时计算这样一道题:
当a=-3时,求整式7a2-[5a-(4a-1)+4a2]-(2a2-a+1)的值.小亮正确求得结果为7,而小强在计算时,错把a=-3看成了a=3,但他计算的结果也正确,你能说明为什么吗?
6.有这样一道计算题:
求3x2y+[2x2y-(5x2y2-2y2)]-5(x2y+y2-x2y2)的值,其中x=
,y=-1.小明同学把“x=
”错看成“x=-
”,但计算结果仍正确;小华同学把“y=-1”错看成“y=1”,计算结果也是正确的,你知道其中的道理吗?
请加以说明.
详解详析
1.解:
小明的说法有道理.理由如下:
原式=x3-6x2-7x+8+x2+3x-2x3+3+x3+5x2+4x-1=(1-2+1)x3+(-6+1+5)x2+(-7+3+4)x+(8+3-1)=10.
由此可知整式的值与x的取值无关,所以小明的说法有道理.
2.解:
原式=7a3-6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3+3=3.
整式的结果与a,b的取值无关,恒为3.
3.解:
原式=(1-b)x2+(a+2)x-11y+8,
因为整式的值与x的取值无关,
所以1-b=0,a+2=0,
解得a=-2,b=1,
则a+b=-2+1=-1.
4.解:
2x2+ax-y+6-bx2+3x-5y-1=(2-b)x2+(a+3)x-6y+5,
由结果与x的取值无关,得到2-b=0,a+3=0,
解得a=-3,b=2,
则原式=3A-6A+4B+12A-9B
=9A-5B
=9(4a2-ab+4b2)-5(3a2-ab+3b2)
=36a2-9ab+36b2-15a2+5ab-15b2
=21a2-4ab+21b2
=189+24+84
=297.
5.解:
原式=7a2-5a+4a-1-4a2-2a2+a-1=a2-2,当a=3和a=-3时,整式的结果都为9-2=7,故小亮正确求得结果为7,而小强在计算时,错把a=-3看成了a=3,但计算的结果也正确.
6.解:
原式=3x2y+2x2y-5x2y2+2y2-5x2y-5y2+5x2y2=-3y2,
整式化简后的结果不含x,所以整式的值与x的取值无关.当y=±1时,y2=1,原式=-3.
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- 秋人教版 七年 级数 思维 参考答案 79