北京四中高考数学总复习教案 三角恒等变换提高知识梳理.docx
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北京四中高考数学总复习教案三角恒等变换提高知识梳理
三角恒等变换
【考纲要求】
1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
4、能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、两角和、差的正、余弦公式
要点诠释:
1.公式的适用条件(定义域):
前两个公式,对任意实数α,β都成立,这表明该公式是R上的恒等式;公式③中
2.正向用公式,,能把和差角的弦函数表示成单角α,β的弦函数;反向用,能把右边结构复杂的展开式化简为和差角的弦函数。
公式正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简。
考点二、二倍角公式
1.在两角和的三角函数公式时,就可得到二倍角的三角函数公式:
;
;
。
要点诠释:
1.在公式中,角α没有限制,但公式中,只有当时才成立;
2.余弦的二倍角公式有三种:
==;解题对应根据不同函数名的需要,函数不同的形式,公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。
3.二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式,其它如4α是2α的二倍,,的二倍等等,要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系,才能熟练地应用二倍角公式,这是灵活运用这些公式的关键。
考点三、二倍角公式的推论
降幂公式:
;
;
.
万能公式:
;
.
半角公式:
;
;
.
其中根号的符号由所在的象限决定.
要点诠释:
(1)半角公式中正负号的选取由所在的象限确定;
(2)半角都是相对于某个角来说的,如可以看作是3α的半角,2α可以看作是4α的半角等等。
(3)正切半角公式成立的条件是α≠2kπ+π(k∈Z)
正切还有另外两个半角公式:
,这两个公式不用考虑正负号的选取问题,但是需要知道两个三角函数值。
常常用于把正切化为正余弦的表达式。
考点四、三角形内角定理的变形
由,知可得出:
,.
而,有:
,.
【典型例题】
类型一:
化简与求值
【高清课堂:
三角恒等变换397881例1】
例1.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Ⅰ试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.
【思路点拨】注意到
(2)中可以转换为的函数值,从
(2)计算入手.
【解析】Ⅰ.选择
(2)式计算如下
Ⅱ.证明:
【总结升华】例1是对公式的正用.本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.
举一反三:
【变式1】若tan+=4,则sin2=( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】因为,所以.
【变式2】已知,求的值。
【答案】
【解析】
例2.不查表求的值.
【思路点拨】用二倍角公式进行降次后出现,,再将,,运用三角函数的和差公式变形.
【解析】
【总结升华】化简求值问题,要注意条件和所求式子之间的相互关系,常从“角度”“名称”及“运算结构”上进行分析,找到已知和未知之间的联系.
举一反三:
【变式】已知为第二象限的角,且,则的值为.
【答案】
【解析】
又为第二象限的角,且,所以所以原式
类型二:
角的变换与求值
例3.已知
(1)求的值;
(2)求的值.
【思路点拨】
(1)已知倍角的余弦值,求该角的余弦值,可以选用降幂扩角公式,但应注意角的范围;
(2)使用配角技巧.
【解析】
(1),又,所以.
(2)由
(1)知
所以
所以
【总结升华】1、给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,例2中应用了的变换,体现了灵活解决问题的能力,应着重体会,常见的变换技巧还有,,,等.
2、已知某一个(或两个)角的三角函数值,求另一个相关角的三角函数值,基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余(或互补)关系,和差(为特殊角)关系,倍半关系等.对于比较复杂的问题,则需要两种关系的混合运用.
举一反三:
【变式1】已知,,,求的值.
【答案】
【解析】,,
,
,
【变式2】函数的最大值为()
A.B. C.D.
【答案】C;
【解析】∵,
.
所以其最大值为2,故选C.
【变式3】已知
【答案】
【解析】角的关系式:
(和差与倍半的综合关系)
∵,∴
∴
∴=
【变式4】已知,,,,求的值。
【答案】
【解析】∵,∴,
∵,∴。
∴
例4.求值:
(1);
(2)
【思路点拨】要使能利用公式化简,分子分母同乘以第一个角的正弦值.
【解析】
(1)原式=;
(2)原式=
【总结升华】此种类型题比较特殊,特殊在:
①余弦相乘;②后一个角是前一个角的2倍;③最大角的2倍与最小角的和与差是。
三个条件缺一不可。
另外需要注意2的个数。
应看到掌握了这些方法后可解决一类问题,若通过恰当的转化,转化成具有这种特征的结构,则可考虑采用这个方法。
举一反三:
【变式】求值:
(1);
(2).
【答案】
(1);
(2)
【解析】
(1)原式=
=
=
(2)
类型三:
三角恒等变换的综合
例5.已知,,且,求的值.
【思路点拨】题设中给出是角的正切值,故考虑正切值的计算,同时通过估算的区间求出正确的值.
【解析】,
而,故,
又,,故,
从而,
而,,而,
,
又,
【总结升华】对给值求角问题,一般是通过求三角函数值实现的,先求出某一种三角函数值,再考虑角的范围,然后得出满足条件的角.本例就是给值求角,关键是估算的区间,给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内,这是关键点也是难点.在本例中使用了配角技巧,,,这些都要予以注意.
举一反三:
【变式1】已知,为锐角,则的值是()
A.B.C.或D.
【答案】A
【变式2】已知,,求。
【解析】∵,
,
解得,,
∴.
例6.已知是的三个内角,向量且
(1)求角的大小;
(2)若,求的值.
【思路点拨】
(1)先利用向量的数量积公式转化为三角方程再求角;
(2)先解方程求出,再利用内角和定理及正切公式求得的值.
【解析】
(1)因为
所以即
又,所以故
(2)因为,所以即
所以
【总结升华】三角问题常和向量知识综合在一起,求解的关键是“脱去”向量包装,将其转化为相应的三角问题进行求解;倍角公式及其变形课实现三角函数的升、降幂变化,也可以实现角的形式的转化;关于正余弦的齐次式,一般化为正切来处理.
举一反三:
【高清课堂:
三角恒等变换397881例2】
【变式】在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知
(I)求sinC的值;
(Ⅱ)当a=2,2sinA=sinC时,求b及c的长.
【答案】(I)(Ⅱ)
中国书法艺术说课教案
今天我要说课的题目是中国书法艺术,下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析:
本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握,让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术,在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰,是中国人民勤劳智慧的结晶,是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪,书法从文字产生到形成文字的书写体系,几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标:
使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况,通过分析代表作品,获得如何欣赏书法作品的知识,并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点:
(一)教学重点
了解中国书法的基础知识,掌握其基本特点,进行大量的书法练习。
(二)教学难点:
如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备:
粉笔,钢笔,书写纸等。
4、课时:
一课时
二、教学方法:
要让学生在教学过程中有所收获,并达到一定的教学目标,在本节课的教学中,我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
(1) 欣赏法:
通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品,使学生对书法产生浓厚的兴趣。
(2) 讲授法:
讲解书法文字的发展简史,和形式特征,让学生对书法作进一步的了解和认识,通过对书法理论的了解,更深刻的认识书法,从而为以后的书法练习作重要铺垫!
(3) 练习法:
为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧,请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程:
(一)组织教学
让学生准备好上课用的工具,如钢笔,书与纸等;做好上课准备,以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
(二)引入新课,
通过对上节课所学知识的总结,让学生认识到学习书法的意义和重要性!
(三)讲授新课
1、在讲授新课之前,通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品,使学生对书法产生浓厚的兴趣。
2、讲解书法文字的发展简史和形式特征,让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解,更深刻的认识书法,从而为以后的书法练习作重要铺垫!
A书法文字发展简史:
①古文字系统
甲古文——钟鼎文——篆书
早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”;到了夏商周时期,由于生产力的发展,人们掌握了金属的治炼技术,便在金属器皿上铸上当时的一些天文,历法等情况,这就是“钟鼎文”(又名金文);秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流,便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”,为了有别于以前的大篆又称小篆。
(请学生讨论这几种字体的特点?
)古文字是一种以象形为主的字体。
②今文字系统
隶书——草书——行书——楷书
到了秦末、汉初这一时期,各地交流日见繁多而小篆书写较慢,不能满足需要,隶书便在这种情况下产生了,隶书另一层意思是平民使用,同时还出现了一种草写的章草(独草),这时笔墨纸都已出现,对书法的独立创作起到了积极的推动作用。
狂草在魏晋出现,唐朝的张旭、怀素将它推向顶峰;行书出现于晋,是一种介于楷、行之间的字体;楷书也是魏晋出现,唐朝达到顶峰,著名的书法家有欧阳询、颜真卿、柳公权。
(请学生谈一下对今文字是怎样理解的?
),教师进行归纳:
它们的共同特点是已经摆脱了象形走向抽象化。
B主要书体的形式特征
①古文字:
甲骨文,由于它处于文明的萌芽时期,故字形错落有致辞,纯古可爱,目前发现的总共有3000多字,可认识的约1800字。
金文,处在文明的发展初期,线条朴实质感饱满而丰腴,因它多附在金属器皿上,所以保存完整。
石鼓文是战国时期秦的文字,记载的是君王外出狩猎和祈祷丰年,秦篆是一种严谨刻板的纯实用性的字体,艺术价值很小。
②今文字:
隶书是在秦篆严谨的压抑下出现的一种潇洒开放型的新字体,课本图例《张迁碑》结构方正,四周平稳,刚劲沉着,是汉碑方笔的典范,章草是在隶书基础上更艺术化,实用化的字体,索靖《急就章》便是这种字体的代表作,字字独立,高古凝重,楷书有两大部分构成:
魏碑、唐楷魏碑是北魏时期优秀书法作品的统称。
《郑文公碑》和《始平公造像》是这一时期的代表,前者气势纵横,雄浑深厚,劲健绝逸是圆笔的典型;唐楷中的《醴泉铭》法度森严、遒劲雄强,浑穆古拙、浑厚刚健,《神策军碑》精练苍劲、风神整峻、法度谨严,以上三种书体分别代表了唐楷三个时期的不同特点。
《兰亭序》和《洛神赋》作者分别是晋代王羲之、王献之父子是中国书法史上的两座高峰,前者气骨雄骏、风神跌宕、秀逸萧散的境界,后者在技法上达到了由拙到巧、笔墨洗练、丝丝入扣的微妙的境界。
他们都是不拘泥于传统的章法和技能,对后世学书者产生了深远的影响;明代文征明的书法文雅自如,现代书家沈尹默在继承传统书法方面起到了不可魔灭的作用。
3、欣赏要点:
先找几位同学说一下自己评价书法作品的标准或原则是什么?
[或如何来欣赏一幅书法作品?
]学生谈完后,对他们的观点进行归纳总结。
然后自己要谈一下自己的观点:
书法艺术的欣赏活动,有着不同于其它艺术门类的特征,欣赏书法伤口不可能获得相对直接的印象、辨识与教益,也不可能单纯为了使学生辨识书写的内容,去探讨言词语汇上的优劣。
进而得出:
书法主要是通过对抽象的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式,从客观物象各种美的体态,安致这些独有的特性中,使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受(结合讲授出示古代书法名作的图片,并与一般的书法作品进行比较,让学生在比较中得出什么是格调节器高雅,什么是粗庸平常)。
书法可以说是无声的音乐,抽象的绘画,线条流动的诗歌。
四、课堂评价:
根据本节课所学的内容结合板书。
让学生体会到祖国书法艺术的博大精深,着重分析学生在书体形式特点和审美欣赏方面表现出的得失。
让学生懂得在欣赏书法时主要是通过对抽像的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式,从客观物象各种美的体态,安致这些独有的特性中,使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受。
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