最新人教版初中数学八年级下册1822《菱形》优质课教案.docx
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最新人教版初中数学八年级下册1822《菱形》优质课教案
《18.2.1菱形》
本课通过类比矩形,把平行四边形的边特殊化,引入菱形的概念,研究菱形的性质.通过类比平行四边形和矩形的判定定理的探究过程,探索和证明菱形的两个判定定理.
1.理解菱形的概念,会用菱形的性质解决简单的问题;
2.经历类比矩形探究菱形性质的过程,通过观察、类比、猜想、证明等活动,体会几何图形研究的一般步骤和方法.
3.掌握菱形的三种判定方法,能根据不同的已知条件,选择适当的判定定理进行推理和计算;
4.经历菱形判定定理的探究过程,渗透类比思想,体会研究图形判定的一般思路.
1.菱形性质的探索、证明和应用.
2.菱形判定条件的探索、证明和应用.
多媒体:
PPT课件、电子白板
第一课时
一、创设情境得出定义:
1.我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形,它是从哪个角度特殊化来进行研究的?
它有哪些性质?
2.如图,四根木棒拼成平行四边形,使其一边慢慢地平移,提出问题:
整个变化过程中四边形是否仍然是平行四边形?
相邻两边长度相等时停止移动,问与原平行四边形有什么不同?
归纳:
__有一组邻边相等__的平行四边形叫做菱形.
几何语言:
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,
∴□ABCD是菱形.
[说明与建议]说明:
通过图形的变化让学生感知菱形是平行四边形中的一个特例,为菱形性质及定义的得出做好铺垫.建议:
在得到菱形定义的时候要抓住两个关键点:
一是平行四边形,二是一组邻边相等.
3.菱形是常见的图形,一些门窗的窗格、美丽的中国结、伸缩的衣帽架等都有菱形的形象,你还能举出一些例子吗?
二、折纸实验研究性质:
1.将一个矩对折两次,沿图中虚线剪下,再打开,就得到一个菱形.
观察得到的菱形:
(1)你能看出图中哪些线段或角相等?
(2)得到哪些特殊三角形?
(3)菱形是轴对称图形吗?
它有几条对称轴?
分别是什么?
对称轴之间有什么位置关系?
学生根据所剪图形,思考、合作、讨论,并依次回答这3个问题.
教师特别要注意学生对对称轴的说法,注意是直线而不是线段.
在这个过程中教师应重点关注以下两点:
①学生动手操作时,是否能恰当的质疑,探究的方向是否正确、合理,能否有意识地利用自己的知识储备进行合理的研究,并合情地做出猜想;②学生口头表述性质时,所用的语言是否恰当、准确,若有出现语言表述不恰当时应当及时给予纠正.
2.猜想菱形性质并推理证明:
根据刚才的发现,猜想菱形具有哪些性质?
菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质.菱形是轴对称图形,对称轴有两条,是菱形两条对角线所在的直线.
从菱形的边、角、对角线等方面进行研究,菱形还有以下性质:
性质1:
菱形的四条边都相等.
符号语言:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA.
性质2:
菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
符号语言:
如图所示,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,
∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB,
∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA.
学生试证明菱形的两个性质.
求证:
菱形的四条边都相等.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
已知:
如图,四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点O.
求证:
(1)AB=BC=CD=DA.
(2)AC⊥BD,AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ADC和∠ABC.
证明:
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,
∴AB=CD,AD=BC,
∴AB=BC=CD=DA.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,
又∵AB=AD,
∴AO⊥BD,∠1=∠2.
即AC⊥BD,AC平分∠BAD.
同理可证,AC平分∠DCB,BD平分∠ADC和∠ABC.
3.应用性质探究菱形的面积.
活动设计:
先鼓励学生独立思考,再分组探讨,合作交流.教师在学生发现的基础上总结菱形的第二个面积公式.教师也可首先讲解下面的有关知识再分析例题中所给条件.
方法一:
利用平行四边形的面积公式:
S菱形=BC·AE.
方法二:
把菱形的面积看成四个小直角三角形的面积,
S菱形ABCD=4S△AOB=4×
OA·OB=4×
×
AC·
BD,
S菱形ABCD=
AC·BD.
你有什么发现?
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,
数学语言表示:
S菱形ABCD=
AC·BD.
例1[教材P56例3] 如图18-2-107,菱形花坛ABCD的边长为20m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留根号的形式).
答案:
200
.
三、活用性质解决问题:
1.填空:
(1)菱形ABCD中,若∠ABC=2∠BAD,则∠BAD=__60°__,△ABD为__等边__三角形.
(2)若菱形的边长等于一条对角线的长,则它的一组邻角的度数分别为60°、
120.
(3)已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm,求菱形的周长为20cm,面积为
24cm².
(4)已知菱形ABCD的周长为20cm,且相邻两内角之比是1∶2,菱形的对角线的长分别是5cm、5
cm和面积是
cm².
2.例1 已知:
如图18-2-109,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于点E,连接BE.求证:
∠AFD=∠CBE.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴CB=CD,CA平分∠BCD.
∴∠BCE=∠DCE.又CE=CE,
∴△BCE≌△DCE(SAS).
∴∠CBE=∠CDE.
在菱形ABCD中,AB∥CD,∴∠AFD=∠FDC.
∴∠AFD=∠CBE.
四、课堂小结:
1.菱形的定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质:
(1)菱形是轴对称图形,它的对角线所在的直线是它的对称轴.
(2)菱形的四条边都相等.
(3)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
(4)菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形.两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。
(5)S菱形=两条对角线乘积的一半.
第二课时
一、动手操作引入课题:
1.将两张等宽的纸条交叉,重合部分是四边形ABCD,量一量试说明它是什么特殊的平行四边形?
[说明与建议]说明:
思维往往是从人的动作、活动参与开始的,而动手操作及量一量活动,最易激发学生的想象、思维和发现.在量一量中增强自己的感性认识与经验,进而上升到理性观察、思考与推理论证.建议:
在学生操作时,教师要引导学生进行思考、分析,为进一步学习积累数学活动经验.
2.用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子,做成一个可转动的十字架,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.任意转动木条,这个四边形总有什么特征?
你能证明你发现的结论吗?
继续转动木条,观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形?
[说明与建议]说明:
通过图形的变化让学生感受四边形是菱形时对角线的特征,引导学生自然地得出菱形的判定方法.建议:
在得到菱形判定方法的时候强调对角线应满足:
互相垂直平分.
二、回顾反思类比猜想:
1.我们学习了矩形的定义、性质和判定,如下表.你能发现矩形的三条判定定理分别是怎么得到的吗?
2.菱形的定义与性质如下表.你认为可以从哪些角度思考菱形的判定条件?
请做出你的猜想.
猜想1:
四条边相等的四边形是菱形.
已知:
在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,
求证:
四边形ABCD是菱形.
证明:
∵AB=CD,BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴□ABCD是菱形.
符号语言:
∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是菱形.
猜想2:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知:
在□ABCD中,AC⊥BD,
求证:
□ABCD是菱形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是AC的垂直平分线,
∴AD=CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴□ABCD是菱形.
符号语言:
∵在□ABCD中,AC⊥BD,
∴□ABCD是菱形.
【活动设计建议】:
组织学生以小组合作的方式独立完成“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”和“四条边相等的四边形是菱形”两个判定定理的证明,并进行全班交流.
结论:
三、应用练习巩固知识:
1.判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形.
(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形.
(3)邻角相等的四边形是菱形.
(4)有一组邻边相等的四边形是菱形.
(5)两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形.
(6)对角线互相垂直的四边形是菱形.
(7)对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
2.练习:
(1)如图,下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( A )
①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.
A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③
(2)如图所示,已知▱ABCD,AC,BD相交于点O,添加一个条件使▱ABCD为菱形,添加的条件为__AC⊥BD__.(只写出符合要求的一个即可)
(3)一个平行四边形的一条边长为5,两条对角线的长分别为6和8,这个平行四边形是特殊的,它的面积为________.
四、综合运用发展能力:
1.例1如图,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.求证:
四边形AEDF是菱形.
证明:
∵DE∥AF,DF∥AE,
∴四边形AEDF为平行四边形.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=∠CAD,
∵DE∥AC,
∴∠EDA=∠CAD,
∴∠EDA=∠BAD.
∴AE=DE.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴□ABCD是菱形.
2.如图,□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD,BC分别交于点E,F.求证:
四边形AFCE是菱形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO.
∵EF为AC的垂直平分线,
∴OA=OC,EF⊥AC,
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF.
∴AE=CF,
又∵AE∥CF,
∴四边形AECF为平行四边形,
又∵AC⊥EF,
∴□ABCD是菱形.
练习:
如图18-2-158所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CH⊥AB于点H,且交BD于点F,DE⊥AB于点E,连接EF,则四边形CDEF是菱形吗?
请说明理由.
五、课堂小结:
略。
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 菱形 新人 初中 数学 年级 下册 1822 优质课 教案