高中数学 选修11新课讲义 第1章111 命题.docx
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高中数学选修11新课讲义第1章111命题
§1.1 命题及其关系
1.1.1 命 题
学习目标
1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.能把命题改写成“若p,则q”的形式.
知识点一 命题的概念
思考 下列语句有什么共同特征?
①若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点;
②3+6=7;
③偶函数的图象关于y轴对称;
④5能被4整除.
答案
(1)都是陈述句;
(2)都能够判断真假.
梳理
(1)定义:
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
(2)分类:
特别提醒:
(1)判断一个语句是否为命题的两个要素:
①是陈述句,表达形式可以是符号、表达式或语言;
②可以判断真假.
(2)真命题可以给出证明,假命题只需举出一个反例即可.
知识点二 命题的形式
命题的一般形式为“若p,则q”,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
1.并非任何语句都是命题,只有能判断真假的陈述句才是命题.( √ )
2.一个命题不是真命题就是假命题.( √ )
3.有的命题只有结论没有条件.( × )
类型一 命题的概念
例1 下列语句:
(1)
是无限循环小数;
(2)x2-3x+2=0;(3)当x=4时,2x>0;(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?
(5)一个数不是合数就是素数;(6)作△ABC≌△A′B′C′;(7)二次函数的图象太美了!
(8)4是集合{1,2,3}中的元素.
其中是命题的是________.(填序号)
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案
(1)(3)(5)(8)
解析 本题主要考查命题的判断,判断依据:
一是陈述句;二是看能否判断真假.
(1)是命题,能判断真假;
(2)不是命题,因为语句中含有变量x,在没给变量x赋值前,我们无法判断语句的真假;(3)是命题;(4)不是命题,不是陈述句;(5)是命题;(6)不是命题;(7)不是命题;(8)是命题.故答案为
(1)(3)(5)(8).
反思与感悟 判断一个语句是否是命题的三个关键点
(1)一般来说,陈述句才是命题,祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
(2)语句表述的结构可以判断真假,含义模糊不清,无法判断真假的语句不是命题.
(3)对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假,若能,就是命题;否则就不是命题.
跟踪训练1 下列语句:
①3>2;②作射线AB;③sin30°=
;④x2-1=0有一个根是-1;⑤x<1.
其中是命题的是( )
A.①②③B.①③④
C.③D.②⑤
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案 B
解析 ②是祈使句,故不是命题,⑤无法判断真假,故不是命题.
类型二 命题的真假判断
例2 给定下列命题:
①若a>b,则2a>2b;
②命题“若a,b是无理数,则a+b是无理数”是真命题;
③直线x=
是函数y=sinx的一条对称轴;
④在△ABC中,若
·
>0,则△ABC是钝角三角形.
其中为真命题的是________.
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 ①③④
解析 结合函数f(x)=2x的单调性,知①为真命题;而函数y=sinx的对称轴方程为x=
+kπ,k∈Z,故③为真命题;又因为
·
=|
||
|cos(π-B)=-|
||
|cosB>0,故得cosB<0,从而得B为钝角,所以④为真命题.
反思与感悟 一个命题要么为真命题,要么为假命题,且必居其一.欲判断一个命题为真命题,需进行论证,而要判断一个命题为假命题,只需举出一个反例即可.
跟踪训练2 下列命题中为真命题的是( )
A.若ax=b,则x=logab
B.若向量a,b,c满足a∥b,b∥c,则a∥c
C.已知数列{an}满足an+1-2an=0,则该数列为等比数列
D.在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足acosB=bcosA,则该三角形为等腰三角形
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 D
解析 对于A,需a>0,且a≠1;对于B,若b=0,其结论不成立;对于C,若数列an=0,则结论不成立.
类型三 命题的结构形式
例3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)6是12和18的公约数;
(2)当a>-1时,方程ax2+2x-1=0有两个不等实根;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.
考点 命题的概念及分类
题点 命题的结构
解
(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题.
(2)若a>-1,则方程ax2+2x-1=0有两个不等实根,是假命题.
(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分,是真命题.
(4)已知x,y是非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2,是假命题.
反思与感悟 把一个命题改写成“若p,则q”的形式,首先要确定命题的条件和结论,若条件和结论比较隐晦,则要补充完整,有时一个条件有多个结论,有时一个结论需多个条件,还要注意有的命题改写形式不唯一.
跟踪训练3 已知命题:
弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧,若把上述命题改为“若p,则q”的形式,则p是_____________________________________________________,
q是________________________________________________________________________.
考点 命题的概念及分类
题点 命题的结构
答案 一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
解析 已知中的命题改为“若p,则q”的形式为“若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧”,
p:
一条直线是弦的垂直平分线;
q:
这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.
1.下列语句是命题的为( )
A.x-1=0
B.他还年轻
C.20-5×3=10
D.在2020年前,将有人登上火星
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案 C
解析 对于A,不能判断其真假,不构成命题,故A错误;
对于B,因为不能判断真假,故B不正确;
对于C,能判断其真假,构成命题,故C正确;
对于D,不能判定真假,不构成命题,故D错误.故选C.
2.有下列命题:
①若xy=0,则|x|+|y|=0;②若a>b,则a+c>b+c;③矩形的对角线互相垂直.
其中真命题共有( )
A.0个B.1个
C.2个D.3个
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性判断
答案 B
解析 ①由xy=0得到x=0或y=0,所以|x|+|y|=0不一定成立,是假命题;②当a>b时,有a+c>b+c成立,正确,所以是真命题;③矩形的对角线不一定互相垂直,不正确,是假命题.
3.下列说法正确的是( )
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“最高气温30℃时我就开空调”是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性判断
答案 D
解析 对于A,改写成“若p,则q”的形式应为“若两个角都是直角,则这两个角相等”;B所给语句不是命题;C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.
4.把命题“当x=2时,x2-3x+2=0”改写成“若p,则q”的形式:
____________________.
考点 命题的概念及分类
题点 命题的结构
答案 若x=2,则x2-3x+2=0
5.若“方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根”是真命题,则a的取值范围是_________.
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 a<
且a≠0
解析 由题意知
解得a<
且a≠0.
1.根据命题的定义,可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系,真命题需要给出证明,假命题只需举出一个反例即可.
2.任何命题都是由条件和结论构成的,可以写成“若p,则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p,则q”的形式时,大前提应保持不变,且不写在条件p中.
一、选择题
1.下列语句为命题的是( )
A.2x+5≥0B.求证对顶角相等
C.0不是偶数D.今天心情真好啊
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案 C
解析 结合命题的定义知C为命题.
2.下列语句中是命题的为( )
①空集是任何集合的子集;
②若x>1,则x>2;
③3比1大吗?
④若平面上两条直线不相交,则它们平行;
⑤
=-2;
⑥x>15.
A.①②⑥B.①②④
C.①④⑤D.①②④⑤
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案 D
解析 根据命题的定义可知①②④⑤是命题.
3.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A.两个平面
B.一条直线
C.垂直
D.两个平面垂直于同一条直线
考点 命题的概念及分类
题点 命题的结构
答案 D
解析 所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线,那么它们互相平行”,故选D.
4.给出命题:
方程x2+ax+1=0没有实数根,若该命题为真命题,则a的一个值可以是( )
A.4B.2
C.0D.-3
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 C
解析 方程无实数根时,应满足Δ=a2-4<0,故当a=0时符合条件.
5.下列命题为真命题的是( )
A.若
=
,则x=y
B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则
=
D.若x 考点 命题的概念及分类 题点 命题真假性判断 答案 A 解析 A正确;B中,由x2=1,得x=±1,所以B是假命题;C中,当x=y<0时,结论不成立,所以C是假命题;D中,当x=-1,y=1时,结论不成立,所以D是假命题.故选A. 6.对于任意实数a,b,c,d,有下列命题: ①若a>b,c≠0,则ac>bc; ②若ac2>bc2,则a>b; ③若a>b,则 < ; ④若a>b>0,c>d,则ac>bd. 其中真命题的个数是( ) A.1B.2 C.3D.4 考点 命题的概念及分类 题点 命题真假性判断 答案 A 解析 当c<0时,①错误;ac2>bc2,显然c2>0,因此②正确;当a>0>b时,③错误;当a=2,b=1,c=-1,d=-2时,显然④错误,故选A. 7.已知条件“直线l与平面α有公共点”,与下列结论: ①直线l上的点都在平面α内; ②直线l上有些点不在平面α内; ③平面α内任意一条直线都不与直线l平行. 构成的命题中假命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 考点 命题的概念及分类 题点 命题真假性判断 答案 D 解析 直线l与平面α有公共点,则直线l与平面α相交或直线l在平面α内,因此可判断①②③都是假命题,故选D. 8.已知不等式x+3≥0的解集是A,若a∈A是假命题,则a的取值范围是( ) A.a≥-3B.a>-3 C.a≤-3D.a<-3 考点 命题的概念及分类 题点 由命题的真假求参数的取值范围 答案 D 解析 ∵x+3≥0,∴A={x|x≥-3}, 又∵a∈A是假命题,即a∉A, ∴a<-3. 二、填空题 9.把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p,则q”的形式为________________________. 考点 命题的概念及分类 题点 命题的结构 答案 若一个整数的末位数字是4,则它一定能被2整除 10.给出下列命题: ①在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB; ②函数y=x3在R上既是奇函数又是增函数; ③函数y=f(x)的图象与直线x=a至多有一个交点; ④若将函数y=sin2x的图象向左平移 个单位长度,则得到函数y=sin 的图象. 其中真命题的序号是________. 考点 命题的概念及分类 题点 命题真假性判断 答案 ①②③ 解析 ①∵A>B,∴a>b,∴sinA>sinB. ②③正确. ④将函数y=sin2x的图象向左平移 个单位长度,得到函数y=sin 的图象. 11.如果命题“若x∈A,则x+ ≥2”为真命题,则集合A可以是______________.(写出一个即可) 考点 命题的概念及分类 题点 由命题的真假求参数的取值范围 答案 {x|x>0} 解析 当x>0时,有x+ ≥2,故A可以为{x|x>0}. 三、解答题 12.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.且指出p和q分别指什么. (1)乘积为1的两个实数互为倒数; (2)奇函数的图象关于原点对称; (3)与同一条直线平行的两个平面平行. 考点 命题的概念及分类 题点 命题的结构 解 (1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题. p: 两个实数乘积为1;q: 这两个实数互为倒数. (2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”,它是真命题. p: 一个函数为奇函数;q: 这个函数的图象关于原点对称. (3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”,它是假命题,这两个平面也可能相交. p: 两个平面与同一条直线平行;q: 这两个平面平行. 13.已知A: 5x-1>a,B: x>1,请选择适当的实数a,使得利用A,B构造的命题“若p,则q”为真命题. 考点 命题的概念及分类 题点 由命题的真假求参数的取值范围 解 若视A为p,则命题“若p,则q”为“若x> ,则x>1”. 由命题为真命题可知 ≥1,解得a≥4; 若视B为p,则命题“若p,则q”为“若x>1,则x> ”. 由命题为真命题可知 ≤1,解得a≤4. 故a取任一实数均可利用A,B构造出一个真命题,比如这里取a=1,则有真命题“若x>1,则x> ”. 四、探究与拓展 14.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________. 考点 命题的概念及分类 题点 由命题的真假求参数的取值范围 答案 [-3,0] 解析 ∵ax2-2ax-3>0不成立, ∴ax2-2ax-3≤0恒成立. 当a=0时,-3≤0恒成立; 当a≠0时,则有 解得-3≤a<0. 综上,a的取值范围为[-3,0]. 15.给出两个命题: 命题甲: 关于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集为∅;命题乙: 函数y=(2a2-a)x为增函数. (1)甲、乙至少有一个是真命题; (2)甲、乙有且只有一个是真命题; 分别求出符合 (1) (2)的实数a的取值范围. 考点 命题的概念及分类 题点 由命题的真假求参数的取值范围 解 (1)甲为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0, 即A= ; 乙为真时,2a2-a>1,即B= . 甲、乙至少有一个真命题时, a的取值范围是 . (2)甲、乙有且只有一个真命题时,有两种情况: 当甲真乙假时,
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