八年级下数学一次函数变量与常量优秀公开课教案.docx
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八年级下数学一次函数变量与常量优秀公开课教案
第十九章一次函数
19.1.1变量
教学内容:
变量与常量
教学目标
1.知识与技能了解变量的概念,会区别常量与变量。
2.过程与方法经历探索变量的过程,感受常量与变量的意义。
3.情感、态度与价值观体会事物是运动的,运动是有规律的辩证思想。
教学重点:
变量与常量的概念,变量之间的关系。
教学难点:
理解并掌握变量以及变量之间的关系。
教学方法:
采用“情境教学法”进行教学,让学生在熟悉的背景中认知常量与变量。
教学过程:
一、创设情境,揭示课题
思考1汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米,行驶时间为t小时,先填下面的表,再试用含t的式子表示s.
t/时
1
2
3
4
5
s/千米
推出含t的等式为s=60t(t≥0).
思考2每张电影票的售价为10元,如果早场售出票150张,日场售出票205张,晚场售出票310张,三场电影的票房收入各多少元?
设一场电影售出票x张,票房收入为y元,怎样用含x的式子表示y?
含x的式子表示y为:
y=10x.
思考3你见过水中涟漪吗?
圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中,当圆的半径分别为10cm,20cm,30cm时,圆的面积s分别为多少?
s的值随r的值的变化而变化吗?
思考4用10m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3m,3.5m,4m,4.5m时,它的邻边长y分别为多少?
y的值随x的值的变化而变化吗?
二、探究新知
问题1:
分别指出思考
(1)~(4)的变化过程中所涉及的量,在这些量中哪些量是发生了变化的?
哪些量是始终不变的?
问题2:
在思考
(1)~(4)的变化过程中,当一个量发生变化时,另一个量是否也随之发生变化?
是哪一个量随哪一个量的变化而变化?
问题3:
在思考
(1)~(4)的变化过程中,发生变化的量有限制条件吗?
如何限制?
问题4:
请给上述思考
(1)~(4)中发生了变化的量和始终不变的量起一个恰当的名称.
问题5:
在一个变化过程中,理解变量、常量的关键词是什么?
形成概念在某一变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,有些量的数值始终不变,我们称它们为常量。
练一练:
1、指出下列问题中的变量和常量:
(1)某市的自来水价为4元/t.现要抽取若干户居民调查水费支出情况,记某户月用水量为xt,月应交水费为y元.
(2)某地手机通话费为0.2元/min.李明在手机话费卡中存入30元,记此后他的手机通话时间为tmin,话费卡中的余额为w元.
(3)水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,圆周长为C,圆周率(圆周长与直径的比)为π.
(4)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放),第一个抽屉放入x本,第二个抽屉放入y本.
三、辨析概念
1、若矩形的宽为xcm,面积36cm2,则这个矩形的长y随x的变化而变化,其中常量是_____,变量是______.
2、分别指出下列各式中的常量与变量.
(1)圆的面积公式;
(2)正方形的周长;
(3)大米的单价为2.50元/千克,则购买的大米的数量x(kg)与金额y的关系为y=2.5x.
四、升华概念
问题1:
根据销售记录,某型号的服装每天的售价x(元/件)与当日的销售量y(件)的变化关系如下表:
每天的销售价 x(元/件)
200
190
180
170
160
150
140
…
每天的销售量 y(件)
80
90
100
110
120
130
140
…
在这个变化过程中,有哪些变量?
是哪一个量随哪一个量的变化而变化?
请大胆猜想它们之间的变化规律,用关系式表示你猜想的变化规律,并指出关系式中的常量。
问题2:
如图,正形ABCD的边长为4cm,动点P、Q同时从点A出发,以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动,当P、Q到达点C时都停止运动.设运动时间
为x(单位:
s),四边形PBDQ的面积为y(单位:
cm2)。
(1)在这个运动变化过程中,当运动时间x发生变化时,四边形PBDQ的面积y是否也随之发生变化?
当运动时间x增大时,四边形PBDQ的面积y如何变化?
(2)在这个运动变化过程中,运动时间x的取值有什么要求吗?
为什么?
五、课堂小结
1.什么叫做变量?
什么叫做常量?
它们之间有何区别?
2.你对变量的概念以及实际意义有怎样的感受?
六、布置作业
1.指出下列问题中的变量和常量:
(1)购买一些铅笔,单价为0.2元/支,记某同学购买铅笔的数量为x支,应付的总价为y元;
(2)用长为50cm的铁丝围成一个等腰三角形,记这个等腰三角形的腰长为xcm,底边长为ycm;
(3)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=3cm,BC=4cm.现有一动点P从点B出发,沿射线BA方向以1cm/s的速度运动,到达点A随即停止运动.记点P的运动时间为x(s),△ACP的面积为y(cm²)。
(4)出售某种文具盒,若每个获利x元,一天可售出(6-x)个,一天出售该种文具盒的总利润为y元。
2.指出第1题的4个问题中x的取值范围,并写出能反映y与x的变化关系的式子。
板书设计
19.1.1变量与常量
19.1.2函数
教学内容:
函数
教学目标
1.知识与技能
了解函数的概念,能准确写出函数的关系式。
2.过程与方法
经历探索函数概念的过程,感受函数的模型思想,会用变化的量来描述现实中的问题。
3.情感、态度与价值观
培养观察、交流、分析的思想意识,体会函数的实际应用价值,学会用运动的观点观察、分析事物。
教学重点:
函数的概念,函数解析式的求法。
教学难点:
函数概念的理解及对函数中自变量取值范围的确定。
教学关键:
从实际出发,由具体到抽象,建立函数的模型。
教学方法:
采用“情境──探究”的方法,让学生从具体的情境中提升函数的思想方法。
教学过程:
一、回顾交流,聚焦问题
1.提问:
同学们通过学习“变量”这一节内容,对常量和变量有了一定的认识,请同学们举出一些现实生活中变化的实例,指出其中的常量与变量。
2.在地球某地,温度T(℃)与高度d(m)的关系可以挖地用T=10-
来表示(如图),请你根据这个关系式回答下列问题:
(1)指出这个关系式中的变量和常量.
(2)填写下表.
高度d/m
0
200
400
600
800
1000
温度T/℃
(3)观察两个变量之间的联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就______.
二、讨论交流,形成概念
函数定义一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
强调在上述活动中的关系式是函数关系式。
提问:
两个变量中哪个是自变量呢?
哪个是这个自变量的函数?
辨析理解,如:
T=10-
这个函数关系式中,d是自变量,T是d的函数等.弄清函数定义中的问题。
三、探究新知
例题一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:
L)随行驶里程x(单位:
km)的增加而减少,平均耗油量为0.11L/km。
(1)写出表示y与x的函数关系的式子;
(2)指出自变量x的取值范围;
(3)汽车行驶200km时,油箱中还有多少汽油?
四、深化练习
课本P74练习.
五、课堂总结
1.用数学式子表示函数的方法叫做表达式法(解析式法),它只是函数表示法的一种。
2.求函数的自变量取值范围的方法。
(1)要使函数的表达式有意义;
(2)对实际问题中的函数关系,要使实际问题有意义。
3.把所给自变量的值代入函数表达式中,就可以求出相应的函数值。
六、布置作业
课本P习题第题.
板书设计
19.1.2函数
1、函数的概念例:
2、函数中自变量取值范围的确定练习:
3、从实际出发建立函数的模型
19.1.3函数的图象
(一)
教学内容:
函数的图象
教学目标
1.知识与技能
了解函数的三种表示方法,领会它们的联系和区别。
2.过程与方法
经过探索函数图象的过程,会应用数形结合的思想分析问题。
3.情感、态度与价值观
培养变化与对应的思想方法,体会函数模型的建构在实际生活中的应用价值。
教学重点:
函数的三种表示法。
教学难点:
函数图象的认识。
教学方法:
采用“操作──感悟”的教学法,让学生在画图中认识函数,从而提高识图能力。
教学过程:
一、回顾交流,情境导入
1、一种豆子每千克2元,写出买豆子的总金额y(元)与所买豆子的数量x(千克)之间的函数关系,回答下列问题:
(1)上面函数式中,哪个是自变量?
哪个是函数?
自变量取值范围是什么?
(2)由所求出的函数式填表:
x(千克)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y(元)
y=2x,
(1)x是自变量,y是x的函数,x取值范围是x取大于等于0的数;
(2)0,1,2,3,4,5,6。
2、问题探究:
如图,正方形边长为x,面积为S,探究下列问题:
(1)写出S关于x的函数关系式,并求出x的取值范围。
(2)计算并填写下表:
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
S
(3)在直角坐标系中,将上面表格中各对数值所对应的点描出来,然后用光滑的曲线连接这些点.
概念一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些组成的图形,就是这个函数的图象。
二、观察思考,实际应用
情境思索:
课本图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化,你从图象中得到了哪些信息?
例2下面的图象(课本图)反映的过程是:
小明从家去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家,其中x表示时间,y表示小明离他家的距离.
根据图象回答下列问题:
(1)菜地离小明家多远?
小明走到菜地用了多少时间?
(2)小明给菜地浇水用了多少时间?
(3)菜地离玉米地多远?
小明从菜地到玉米地用了多少时间?
(4)小明给玉米地锄草用了多少时间?
(5)玉米地离小明家多远?
小明从玉米地走回家的平均速度是多少?
例3在下列式子中,对于x的每一个确定的值,y有唯一的对应值,即y是x的函数,画出这些函数的图象:
(1)y=x+0.5;
(2)y=
(x>0).
探索描点法画函数图象的一般步骤如下:
第一步:
列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:
描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);
第三步:
连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来).
思考课本P思考题
(1)、
(2).
三、巩固练习
1、课本P练习第1、2、3题.
2、如图所示,分析右面反映变量之间关系的图,想象一个适合它的实际情境.
四、课堂总结
1.我们可以由一个函数的表达式,列出这个函数的函数对应值表,并把这些对应值(有序的)看成点坐标,在坐标平面内描点,进而画出函数的图象.
2.如果已知一个变量与另一个变量之间存在函数关系,根据这两个变量的对应值,可以列表或画图表示这个函数.到此为止,我们共学习了函数的三种表示法:
(1)表达式法(解析式法);
(2)列表法;(3)图象法.
五、布置作业
课本P第5,6,7,8题.
板书设计19.1.3函数的图象
(一)
1、函数的三种表示方法例:
2、自变量与函数的关系练习:
3、画函数图象
19.1.3函数的图象
(二)
教学内容:
函数的图象
教学目标
1.知识与技能会运用描点法画出函数的图象,并认识自变量取值范围和函数值的内在联系。
2.过程与方法经历探索画函数图象的过程,提高识图能力,感受现实世界的变化规律以及有关的数学符号。
3.情感、态度与价值观培养良好的变化与对应意识,体会函数的内涵。
教学重点:
对函数图象的理解。
教学难点:
怎样用语言描述图象的变化过程。
教具准备:
直尺、圆规。
教学方法:
采用“启发式──探究”教学法,让学生在图形的认识中感悟新知。
教学过程:
一、回顾交流,巩固迁移
复习提问:
1.函数有哪几种表示方法?
你认为三种表示函数的方法各有什么优点?
1.结合上一节内容,请你说说什么是函数的图象?
二、教学新知
例4一水库的水位在最近5小时内持续上涨,下表记录了这5小时的水位高度。
t/时
0
1
2
3
4
5
…
y/米
10
10.05
10.10
10.15
10.20
10.25
…
(1)由记录表推出这5小时中水位高度y(单位:
米)随时间t(单位:
时)变化的函数解析式,并画出函数图象;
(2)据估计这种上涨的情况还会持续2小时,预测再过2小时水位高度将达到多少米。
认识函数的三种表达形式在实际中的应用,由例4可以看出函数的不同表示法之间可以转化。
三、随堂练习,巩固深化
课本P页练习第1、2题。
四、课堂总结
归纳由函数解析式画函数图象的步骤。
五、布置作业
课本P习题19.1第9,10,11,12题。
板书设计
19.1.3函数的图象
(二)
1、画函数图象例:
2、用语言描述图象的变化过程练习:
3、函数的性质
19.2.1正比例函数
教学内容:
正比例函数
教学目标
1.知识与技能领会正比例函数的定义,会从实际问题中提炼出正比例函数的解析式。
2.过程与方法经历探索正比例函数的过程,发展学生的类比思维。
3.情感、态度与价值观培养由此及彼地认识问题的能力,体会事物的抽象性以及正比例函数的实际应用价值。
教学重点:
正比例函数。
教学难点:
正比例函数性质的理解。
教学关键:
从实际问题出发,从中提炼出函数的模型。
教学方法:
采用“情境导入──建立模型”的方法,让学生从实际生活中感知正比例函数概念。
教学过程:
一、回顾交流,探索新知
在小学我们学过正比例关系,小学数学是这样陈述的:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化.如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它的关系叫做正比例关系,写成式子是
=k(一定),在小学k是大于零的数.
问题探究1:
1996年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环:
4个月零1周后,人们在2.56万米外的澳大利亚发现了它.
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到10千米)?
(2)这只燕鸥的行程y(单位:
千米)与飞行时间x(单位:
天)之间有什么关系?
(3)这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米?
问题探究2:
下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?
这些函数有什么共同点?
(1)圆的周长L随半径r的大小变化而变化:
(L=2
r)
(2)铁的密度为7.8g/m3,铁块的质量m(单位:
g)随它的体积V(单位:
cm3)的大小变化而变化;(m=7.8V)
(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:
cm)随这些练习本的本数n的变化而变化;(h=0.5n)
(4)冷冻一个0℃的物体,使它每分下降2℃,物体的温度T(单位:
℃)随冷冻时间t(单位:
分)的变化而变化;(T=-2t)
特征归纳:
正如y=200x一样,上述函数都是常数与自变量的乘积的形式.
定义一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。
二、范例点击,提高认知
例1画出下列正比例函数的图象。
(1)y=2x
(2)y=-2x
观察与比较教师口述:
请同学们比较上面两个函数的图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律。
填写你发现的规律:
两图象都是经过原点的直线.函数y=2x的图象从左向右(上升),经过第(一、三)象限;函数y=-2x的图象从左向右(下降),经过第(二、四)象限。
三、随堂练习,巩固深化
课本P页练习。
性质一般地,正比例函数的y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx.当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x的增大反而减小.
提问:
经过原点与点(1,k)的直线是哪个函数的图象?
画正比例函数的图象时,怎样画最简单?
为什么?
通过探讨,得到画正比例函数的最简单方法:
(1)先选取两点,通常选出(0,0)与点(1,k);
(2)在坐标平面内描出点(0,0)与点(1,k);
(3)过点(0,0)与点(1,k)做一条直线.
这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象.
四、课堂总结
1.正比例函数y=kx图象的画法:
过原点与点(1,k)的直线即所求图象;
2.正比例函数的性质。
(由学生归纳)
五、布置作业
课本P习题19.2第1、2、3题。
板书设计
19.2.1正比例函数
1、正比例函数的定义例:
2、正比例函数的性质练习:
19.2.2一次函数
(1)
教学目标
1.知识与技能
领会一次函数的概念,会从实际问题中建立一次函数的模型.
2.过程与方法
经历探索一次函数的过程,感受一次函数的解析式的特征.
3.情感、态度与价值观
培养数形结合的数学思想,体会一次函数在实际生活中的应用价值.
教学重点:
一次函数的概念.
教学难点:
从实际生活中建立一次函数的模型.
教学关键:
把握好实际问题中的两个变量之间的相等关系,建立模型.
教学方法:
采用“情境──探究”的方法,让学生在实际问题中感悟一次函数的概念.
教学过程:
一、创设情境,揭示课题
问题思索1:
某登山队大本营所在地的气温为5℃,海拔每升高1km,气温下降6℃,登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所在位置的气温是y℃,试用解析式表示y与x的关系.
【思路点拨】y随x变化的规律是,从大本营向上当海拔加xkm时,气温从5℃减少6x℃,因此y与x的函数关系为y=5-6x(或y=-6x+5),当登山队员由大本营向上登高0.5km时,他们所在位置的气温就是x=0.5时函数y=-6x+5的值,即y=2(℃).
【学生活动】合作探究,寻找解题途径,踊跃发言,发表各自看法.
问题思索2:
下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函数表示?
这些函数有什么共同点?
(1)有人发现,在20~30℃时蟋蟀每分鸣叫次数C与温度t(单位:
℃)有关,即C的值约是t的7倍与35的差;(C=7t-35)
(2)一种计算成年人标准体重G(单位:
千克)的方法是,以厘米为单位量出身高值h减常数105,所得差是G的值;(G=h-105)
(3)某城市市内电话的月收费额y(单位:
元)包括:
月租费22元,拨打电话x分的计时费按0.01元/分收取;(y=0.01x+22)
(4)把一个长10cm,宽5cm的长方形的长减少x,宽不变,长方形的面积y(单位:
cm2)随x的值而变化.(y=-5x+50)
【教师活动】提出问题,引导学生思考.
【学生活动】独立思考,列出函数关系式,并进行比较,得到这一类型函数的共同特征:
这些函数的形式都是自变量x的k(常数)倍与一个常数的和.
【形成概念】一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
二、随堂练习,巩固深化
课本P页练习第1,2,3题.
三、课堂总结
1.y=kx+b(k,b是常数,k≠0)是一次函数.
2.一次函数包含了正比例函数,即正比例函数是一次函数在b=0时的特例.
四、布置作业
选用课时作业设计.
板书设计
19.2.2一次函数
(1)
1、一次函数的概念例:
2、一次函数与正比例函数的关系练习:
19.2.2一次函数
(2)
教学目标
1.知识与技能
会画出一次函数的图象,并了解一次函数的性质.
2.过程与方法
经历探索一次函数图象的过程,发展抽象的数学思维.
3.情感、态度与价值观
培养学生良好的数学思维和与人合作交流的学习习惯,体会函数的应用价值.
教学重点:
通过图象理解一次函数的性质.
教学难点:
对一次函数增减性的认识.
教学关键:
充分利用数与形结合的思想,认清一次函数的内在本质.
教学方法:
采用“问题解决”的方法,让学生通过例题,领会一次函数的内涵.
教学过程:
一、范例点击,实践操作
【例2】画出函数y=-6x,y=-6x+5,y=-6x-5的图象(在同一坐标系内).
【问题牵引】
1.请你比较上面三个函数的图象的相同点与不同点,填出你的观察结果:
这三个函数的图象形状都是直线,并且倾斜程度一致;函数y=-6x的图象经过(0,0);函数y=-6x+5的图象与y轴交于点(0,5);函数y=-6x-5的图象与y轴交点是(0,-5),它们分别是由直线y=-6x分别平移而得到;比较三个函数解析式,试解释这是为什么?
2.猜想:
联系上面例2,考虑一次函数y=kx+b的图象是什么形状,它与直线y=kx有什么关系?
【学生活动】观察所画的三个函数图象,得出上述问题1,2的结论,并归纳出平移法则如下:
一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移│b│个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).
【例3】画出函数y=2x-1,当y=-0.5x+1的图象.
【学生活动】动手操作,画出例3所要求的函数图象.
二、合作学习,操作观察
【问题探究】
画出函数y=x+1,y=-x+1,y=2x+1,y=-2x+1的图象,由它们联想:
一次函数解析式y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中,k的正负对函数图象有什么影响?
【规则】当k>0时,直线y=kx+b由左至右上升;当k<0时,直线y=kx+b由左至右下降.由此得出:
一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)具有的性质.
【性质】当k>0时,y随x的增大而增大.
当k<0时,y随x的增大而减小.
三、随堂练习,巩固深化
课本P页练习.
四、课堂总结
1.一次函数y=kx+b图象的画法:
在y轴上取(0,b)在x轴上取点(-
,0),过这两点的直线即所求图象.
2.一次函数y=kx+b的性质.(由学生自行归纳)
五、布置作业
课本P页习题19.2第4、5题.
板书设计
19.2.2一次函数
(2)
1、画一次函数的图象例:
2、一次函数的性质练习:
19.2.2一次函数(3)
——确定一次函数解析式
教学目标
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