至长沙市中考分类汇编第15课时 二次函数的综合性问题及答案.docx
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至长沙市中考分类汇编第15课时二次函数的综合性问题及答案
第三单元函数
第十五课时 二次函数的综合性问题
长沙9年中考 (2009~2017)
命题点1与函数有关的阅读理解(9年6考)
1.(2016长沙25题10分)若抛物线L:
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P,且抛物线L的顶点Q在直线l上,则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系.此时直线l叫做抛物线L的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”.
(1)若直线y=mx+1与抛物线y=x2-2x+n具有“一带一路”关系,求m,n的值;
(2)若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上,它的“带线”l的解析式为y=2x-4,求此“路线”L的解析式;
(3)当常数k满足≤k≤2时,求抛物线L:
y=ax2+(3k2-2k+1)x+k的“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积的取值范围.
2.(2015长沙25题10分)在直角坐标系中,我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”.
(1)求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标;
(2)若函数y=(k≠0,k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”,试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标;
(3)若二次函数y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k(k为常数)的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”,试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结”?
3.(2014长沙25题10分)在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点(-1,-1),(0,0),(,),…都是“梦之点”,显然,这样的“梦之点”有无数个.
(1)若点P(2,m)是反比例函数y=(n为常数,n≠0)的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式;
(2)函数y=3kx+s-1(k,s是常数)的图象上存在“梦之点”吗?
若存在,请求出“梦之点”的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若二次函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a>0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1,x1),B(x2,x2),且满足-2 4.(2013长沙25题10分)设a,b是任意两个不等实数,我们规定: 满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足: 当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”. (1)反比例函数y=是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗? 请判断并说明理由; (2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,求此函数的解析式; (3)若二次函数y=x2-x-是闭区间[a,b]上的“闭函数”,求实数a,b的值. 5.(2017长沙25题10分)若三个非零实数x,y,z满足: 只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实数x,y,z构成“和谐三数组”. (1)实数1,2,3可以构成“和谐三数组”吗? 请说明理由; (2)若M(t,y1),N(t+1,y2),R(t+3,y3)三点均在函数y=(k为常数,k≠0)的图象上,且这三点的纵坐标y1,y2,y3构成“和谐三数组”,求实数t的值; (3)若直线y=2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1,0),与抛物线y=ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2,y2),C(x3,y3)两点. ①求证: A,B,C三点的横坐标x1,x2,x3构成“和谐三数组”; ②若a>2b>3c,x2=1,求点P(,)与原点O的距离OP的取值范围. 6.(2011长沙25题10分)使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数y=x-1,令y=0,可得x=1,我们就说1是函数y=x-1的零点. 已知函数y=x2-2mx-2(m+3)(m为常数). (1)当m=0时,求该函数的零点; (2)证明: 无论m取何值,该函数总有两个零点; (3)设函数的两个零点分别为x1和x2,且+=-,此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧),点M在直线y=x-10上,当MA+MB最小时,求直线AM的函数解析式. 命题点2二次函数综合题(必考) 7.(2016长沙26题10分)如图,直线l: y=-x+1与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P,Q是直线l上的两个动点,且点P在第二象限,点Q在第四象限,∠POQ=135°. (1)求△AOB的周长; (2)设AQ=t>0,试用含t的代数式表示点P的坐标; (3)当动点P,Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时,记tan∠AOQ=m.若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件: ①6a+3b+2c=0; ②当m≤x≤m+2时,函数y的最大值等于. 求二次项系数a的值. 第7题图 8.(2017长沙26题10分)如图,抛物线y=mx2-16mx+48m(m>0)与x轴交于A,B两点(点B在点A左侧),与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点,且位于第四象限,连接OD、BD、AC、AD,延长AD交y轴于点E. (1)若△OAC为等腰直角三角形,求m的值; (2)若对任意m>0,C,E两点总关于原点对称,求点D的坐标(用含m的式子表示); (3)当点D运动到某一位置时,恰好使得∠ODB=∠OAD,且点D为线段AE的中点,此时对于该抛物线上任意一点P(x0,y0)总有n+≥-4my-12y0-50成立,求实数n的最小值. 第8题图 9.(2010长沙26题10分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=8cm,OC=8cm.现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒. (1)用含t的式子表示△OPQ的面积S; (2)求证: 四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值; (3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线y=x2+bx+c经过B、P两点,过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比. 第9题图 10.(2015长沙26题10分)若关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0,c>0,a,b,c是常数)与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0)(0<x1<x2),与y轴交于点P,其图象顶点为点M,点O为坐标原点. (1)当x1=c=2,a=时,求x2与b的值; (2)当x1=2c时,试问△ABM能否为等边三角形? 判断并证明你的结论; (3)当x1=mc(m>0)时,记△MAB、△PAB的面积分别为S1、S2,若△BPO∽△PAO,且S1=S2,求m的值. 第10题图 11.(2014长沙26题10分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和(,)两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2). (1)求a,b,c的值; (2)求证: 在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交; (3)设⊙P与x轴相交于M(x1,0),N(x2,0)(x1<x2)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标. 第11题图 12.(2009长沙26题10分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴相交于点C,连接AC、BC,A、C两点的坐标分别为A(-3,0),C(0,),且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等. (1)求实数a,b,c的值; (2)若点M,N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA,BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动,当运动时间为t秒时,连接MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标; (3)在 (2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为顶点的三角形与△ABC相似? 如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由. 第12题图 答案 1. (1)解: 由题意可知,直线y=mx+1与y轴的交点P(0,1)在抛物线y=x2-2x+n上, ∴n=1, ∴抛物线解析式为y=x2-2x+1=(x-1)2,则顶点Q的坐标为(1,0), 将Q(1,0)代入y=mx+1得0=m+1,∴m=-1, ∴m=-1,n=1;(2分) (2)设“路线”L的解析式为y=a(x-h)2+k, ∵顶点(h,k)在y=和y=2x-4上, ∴,解得或 , ∴顶点为(-1,-6)或(3,2),(3分) ∴“路线”L的解析式为y=a(x+1)2-6或y=a(x-3)2+2,(4分) ∵“路线”L过(0,-4), 将(0,-4)代入“路线”L的解析式,解得a=2或a=-, ∴“路线”L的解析式为y=2(x+1)2-6或y=-(x-3)2+2;(5分) (3)抛物线L的顶点坐标为 Q(-, ),与y轴的交点为P(0,k), 设“带线”l的解析式为y=px+k(p≠0),代入顶点坐标得p=, ∴y=x+k,(6分) 令y=0,解得x=-, ∴“带线”l交x轴于(-,0), ∵≤k≤2,3k2-2k+1=3(k-)2+>0, ∴“带线”l与坐标轴围成的三角形面积为 S=··k==,(8分) 令t=, ∵≤k≤2, ∴≤t≤2, ∴S=, ∴=t2-2t+3=(t-1)2+2, ∵≤t≤2,1>0, ∴当t=2,即k=时,S的最大值为3,此时的最小值为; 当t=1时,即k=1时,的最小值为2,此时S的最大值为, ∴≤S≤. 故三角形面积的取值范围为≤S≤.(10分) 2.解: (1)∵x的系数是无理数, ∴只有当x=0时,y才能取得整数, 即当x=0时,y=2, 此时坐标为(0,2), ∴函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标是(0,2); (2分) (2)①当k=1时,xy=1,显然反比例函数的图象上有且只有两个“中国结”,其坐标分别为(1,1)、(-1,-1);(3分) ②当k=-1时,xy=-1,同理反比例函数的图象上有且只有两个“中国结”,其坐标分别为(-1,1)、(1,-1);(3分) ③当k≠±1时,如k=2时,则图象上的“中国结”个数超过两个,有(2,1)、(-2,-1)、(1,2)、(-1,-2),类似的当k≠±1时,中国结个数必将多于两个. ∴只有当k值取±1时,反比例函数图象上有且只有两个“中国结”, ∴当k=1时,其相应“中国结”的坐标分别是(1,1)、(-1,-1);当k=-1时,其相应“中国结”的坐标分别是(-1,1)、(1,-1).(6分) (3)由题意得(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k=0, 解得x1=-,x2=-, ∵交点都是“中国结”, ∴当k≠1且k≠2时,关于x的二次方程有两个不相等的整数根x1、x2, 由x1=-,可得k=, 同理,由x2=-,可得k=, ∴=, 化简得x1x2+2x2=-1,即x2(x1+2)=-1, ∵x1,x2是整数, ∴得到关于x1,x2的方程组: 或, 解得或(舍去),(7分) 当时,k==, 此时二次函数解析式是y=-x2-x+=-(x+3)(x-1)=1-(x+1)2,(8分) ∴由其图象可以得到,二次函数图象与x轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含6个“中国结”,分别为(-3,0),(-2,0),(-1,0),(-1,1),(0,0),(1,0).(10分) 3. (1)解: ∵点P(2,m)是一个“梦之点”,且“梦之点”横、纵坐标相等, ∴m=2,即点P坐标是(2,2), 又∵点P在反比例函数y=的图象上, ∴n=xy=4, ∴反比例函数的解析式是y=;(2分) (2)解: 假设函数y=3kx+s-1图象上存在“梦之点”,则y=x, ∴x=3kx+s-1, 整理得(1-3k)x=s-1, 分类讨论如下: ①当k=且s=1时,x有无数个解,因此有无数个“梦之点”;(3分) ②当k=且s≠1时,方程无解,图象上所有的点都不是“梦之点”;(4分) ③当k≠时,图象上仅有一个“梦之点”(,);(5分) (3)解: 根据“梦之点”的定义得x=ax2+bx+1有两个不相等的实数根,即ax2+(b-1)x+1=0(a>0,a、b都是常数), ∴方程的根是,∵|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=-=4, ∴(b-1)2=4a2+4a, 又∵Δ=(b-1)2-4a=4a2>0,a>0, ∴(b-1)=±2, 分类讨论如下: ①当(b-1)=2时,方程的根是==- ±1, ∵-2 ②当(b-1)=-2时,方程的根是==±1, ∵-2 ∴x1=-1, x2=+1, 根据题意,b2-2b+=t,整理得(b-1)2=t-, ∵(b-1)2=4a2+4a, ∴4a2+4a+1=(2a+1)2=t-+1=t-,a>0,2a+1>1>0,(7分) ①的情况下: -2<-+1<2, 化简得-3<-<1, ∴<3,1+<9, ∴a+1<9a,则a>,t-=(2a+1)2>()2, 故t>;(8分) ②的情况下: -2<-1<2, -2+1<-1+1<2+1, -1<<3, ∴<3,1+<9, ∴a+1<9a,则a>,t-=(2a+1)2>()2, ∴t>,(9分) 综上所述,t的取值范围是t>.(10分) 4.解: (1)是.理由如下: 根据“闭区间”和“闭函数”的规定, ∵反比例函数y=在第一象限,y随x的增大而减小, 当x=1时,y=2013,当x=2013时,y=1, 当1≤x≤2013时,≤≤1,1≤≤2013,即1≤y≤2013, ∴反比例函数y=是闭区间[1,2013]上的“闭函数”;(2分) (2)分两种情况讨论,k>0和k<0, ①当k>0时,一次函数y随x的增大而增大, 根据闭函数的定义有, ①-②得k=1,代入①得b=0, ∴此时一次函数的解析式为y=x;(4分) ②当k<0时,此一次函数y随x的增大反而减小, 根据闭函数的定义有, ①-②得k=-1,代入①得b=m+n, ∴此时一次函数的解析式为y=-x+m+n;(6分) (3)已知二次函数y=(x-2)2-,可知二次函数开口向上,对称轴是x=2,顶点坐标是(2,-),分三种情况讨论如下: ①当a<b≤2时,y随x增大而减小,当a≤x≤b时,b2-b-≤y≤a2-a-,由闭函数的定义可得 , ①-②得(a+b)=-,由于a≠b,得a+b=-1,a=-b-1,代入方程②得b2+b-2=0,解得b=-2(不符合题意,舍去)或b=1,由于a<b,b=1,a=-2,故;(7分) ②当a<2<b时,函数的最小值为-,根据闭函数的定义,当a≤x≤b时,-≤y≤a2-a-或-≤y≤b2-b-, 于是或, 解得(舍去)或或(舍去);(8分) ③当2≤a<b时,y随x增大而增大,当a≤x≤b时, a2-a-≤y≤b2-b-,根据闭函数的定义有,a2-a-=a,b2-b-=b, 即a、b是s2-s-=0的两个根,s=,其中(不符合题意,舍去),(9分) 综上所述,a、b的值为或.(10分) 5.解: (1)不能.理由如下: ∵1的倒数为1,2的倒数为,3的倒数为, ∴1>>, ∵+=≠1, ∴1,2,3不能构成“和谐三数组”;(3分) (2)∵M(t,y1),N(t+1,y2),R(t+3,y3)三点均在反比例函数y=的图象上, ∴y1=,y2=,y3=, ∴=,=,=, ∵y1,y2,y3构成“和谐三数组”, ∴(i)+=,即+=,解得t=2; (ii)+=,即+=,解得t=-2; (iii)+=,即+=,解得t=-4. 综上所述,t的值为-4或-2或2;(6分) (3)①直线y=2bx+2c,令y=0,得x1=-, 联立抛物线与直线得 ,整理得ax2+bx+c=0, ∵直线与抛物线交于B(x2,y2),C(x3,y3)两点, ∴x2+x3=-,x2·x3=, ∴+===-=, ∴A,B,C三点的横坐标x1,x2,x3能构成“和谐三数组”;(8分) ②∵x2=1,则B点坐标为(1,2b+2c),将点B代入抛物线y=ax2+3bx+3c中, 得a+3b+3c=2b+2c,即b=-a-c, 又∵a>2b>3c, ∴a>-2a-2c>3c,即-<<-, ∵bc≠0,∴b≠0, ∴-a-c≠0,即≠-1, ∵P(,),且P到原点O的距离为非负数, ∴OP== = =, ∴当=-时,OPmin=, 当=-时,OPmax=, 当=-1时,OP=1, ∴≤OP<且OP≠1.(10分) 6. (1)解: 当m=0时,y=x2-6,(1分) 令y=0,x2-6=0,解得x=或x=-, 即当m=0时,该函数的零点为、-;(2分) (2)证明: 令y=0,则x2-2mx-2(m+3)=0, ∴Δ=b2-4ac=(-2m)2-4×1×[-2(m+3)]=4m2+8m+24=4(m2+2m+1-1)+24=4(m+1)2+20, ∵无论m为何值,4(m+1)2≥0,即4(m+1)2+20>0, ∴一元二次方程x2-2mx-2(m+3)=0一定有两个不相等的实数根,(3分) ∴无论m取何值,函数y=x2-2mx-2(m+3)(m为常数)总有两个零点;(4分) (3)解: 设函数的两个零点分别为x1和x2,则x1和x2是一元二次方程x2-2mx-2(m+3)=0的两个根, ∴x1+x2=2m,x1·x2=-2(m+3), ∴+===-,(5分) 又∵+=-, ∴=,解得m=1, 经检验,m=1是=的解, ∴二次函数解析式为y=x2-2x-8.(6分) 令y=0,即x2-2x-8=(x-4)(x+2)=0, 解得x1=-2,x2=4, 此函数与x轴的交点坐标为A(-2,0),B(4,0), 设直线y=x-10与x轴交于点D(10,0),与y轴交于点F(0,-10),如解图过点A作直线y=x-10的垂线,垂足为点E,延长AE到点A′,使AE=A′E,连接A′B,交y=x-10于点M,则此时MA+MB最小,连接A′D,(7分) 第6题解图 ∵OF=OD=10, ∴∠ODF=45°, 在△ADA′中,DE是AA′的垂直平分线, ∴∠ADA′=2∠ADE=90°, ∴AD=DA′,(8分) 则点A′的坐标为(10,-12), 设直线A′B的解析式为y=kx+b,将点A′、点B坐标分别代入得 ,解得, ∴直线A′B的解析式为y=-2x+8, 设M点的坐标为(x,y),则 ,解得, 则点M的坐标为(6,-4),(9分) 设直线AM的解析式为y=kx+b, 将点A、点M的坐标分别代入得 ,解得, 则直线AM的解析式为y=-x-1.(10分) 7.解: (1)由题意得,直线P的解析式为y=-x+1, 令x=0,则y=1,∴B(0,1), 令y=0,则x=1, ∴A(1,0),则OA=1,OB=1, 在Rt△AOB中, 由勾股定理可得AB==, ∴△AOB的周长为1+1+=2+;(3分) (2)∵OA=OB, ∴△AOB为等腰直角三角形, ∴∠ABO=∠BAO=45°, ∴∠PBO=∠QAO=135°, 设∠POB=x,则∠OPB=∠ABO-∠POB=45°-x,∠AOQ=∠POQ-∠AOB-∠POB=135°-90°-x=45°-x, ∴∠OPB=∠AOQ, 在△PBO和△OAQ中, , ∴△PBO∽△OAQ, ∴=, ∴PB·QA=OA·OB=1, ∵QA=t>0, ∴PB=.(4分) 第7题解图 如解图,过P作PH⊥OB于点H, ∵∠PBH=∠ABO=45°, ∴△PHB为等腰直角三角形, ∵PB=, ∴PH=HB=PB·sin45°=, ∵点P在第二象限, ∴P(-,1+);(6分) (3)由 (2)知△PBO∽△OAQ,若其周长相等,则相似比为1,即△PBO≌△OAQ, ∴t=AQ=BO=1, 易得Q(1+,-), ∴m=tan∠AOQ==-1. 又∵m≤x≤m+2, ∴-1≤x≤+1, ∵二次函数过点A(1,0), 联立, 解得b=-4a,c=3a, ∴可设二次函数的解析式为y=ax2-4ax+3a, ∴抛物线的对称轴为x=2,取值范围为-1≤x≤+1, (i)若a>0,则抛物线的开口向上,当x=-1时,y最大==2+2,即(-1)2a-4(-1)a+3a=2+2, 解得a=; (ii)若a<0,则抛物线的开口向下,当x=2时,y最大==2+2,即4a-4×2a+3a=2+2, 解得a=-2-2. 综上所述,二次项系数a的值为 或-2-2.(10分) 8.解: (1)∵y=mx2-16mx+48m=m(x2-16x+48)=m(x-4)(x-12), ∴令y=0,即m(x-4)(x-12)=0, 解得x1=4,x2=12, ∴OB=4,OA=12, ∵△OAC是等腰直角三角形,∠AOC=90°, ∴OC=OA=12, ∴点C的坐标为(0,12), ∵点C在抛物线上, ∴m(0-4)(0-12)=12, 解得m=;(3分) (2)由抛物线y=mx2-16mx+48m,可知点C的坐标为(0,48m), ∵点E与点C关于原点O对称, ∴点E的坐标为(0,-48m), ∵点A的坐标为(12,0), ∴设直线AE的解析式为y=k(x-12), 将点E代入得k=4m,即直线AE的解析式为y=4mx-48m, 与抛物线联立,得 , 解得或(舍去), ∴点D的坐标为(8,-16m);(6分) (3)∵点D为AE的中点,且A、E的横坐标分别为12,0, ∴点D的横坐标为6, 将x=6代入抛物线y=mx2-16mx+48m,得y=-12m, ∴点D的坐标为(6,-12m). ∵∠ODB=∠OAD,∠DOB=∠AOD, ∴△OBD∽△ODA, ∴=, ∴OD2=OA·OB,即62+(-12m)2=4×12,解得m=或m=-(负值舍去), ∴抛物线解析式为y=x2-x+8, 即y=(x-8)2-, ∵点P是抛物线上任意一点, ∴y0≥-, 令t=-4my-12y0-50, 则t=-2(y0+3)2+4, ∵-2<0,->-3, ∴在对称轴的右侧即y0>-3时,t随着y0的增大而减小, ∴tmax=-2(-+3)2+4=, ∵n+≥-4my-12y0-50对于任意一点P恒成立, ∴n+≥tmax,即n+≥, 则n≥, ∴实数n的最小值为.(10分) 9. (1)解: 由题意知CQ=t,OP=t,OC=8, ∴OQ=8-t, ∴S△OPQ=(8-t)·t=-t2+4t(0<t<8);(3分) (2)证明: ∵S四边形OPBQ=S矩形ABCO-S△CBQ-S△PAB=8×8-×8t-×8×(8-t)=32cm2,(5分) ∴四边形OPBQ的面积是一个定值,且等于32cm2;(6分) (3
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