考点整合与训练第十三章 选考部分 第2节 第2课时 不等式的证明.docx
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考点整合与训练第十三章选考部分第2节第2课时不等式的证明
第2课时 不等式的证明
最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:
比较法、综合法、分析法.
知识梳理
1.基本不等式
定理1:
如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
定理2:
如果a,b>0,那么≥,当且仅当a=b时,等号成立,即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.
定理3:
如果a,b,c∈R+,那么≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.
2.不等式的证明方法
(1)比较法
①作差法(a,b∈R):
a-b>0⇔a>b;a-b<0⇔a
②作商法(a>0,b>0):
>1⇔a>b;<1⇔a
(2)综合法与分析法
①综合法:
从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.
②分析法:
从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.
[微点提醒]
1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.
2.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论,再说明所要证明的数学问题成立.
3.利用基本不等式证明不等式或求最值时,要注意变形配凑常数.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )
(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理,最后达到待证的结论.( )
(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的必要条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( )
(4)使用反证法时,“反设”不能作为推理的条件应用.( )
解析
(1)作商比较法是商与1的大小比较.
(3)分析法是从结论出发,寻找结论成立的充分条件.
(4)应用反证法时,“反设”可以作为推理的条件应用.
答案
(1)×
(2)√ (3)× (4)×
2.(选修4-5P23习题2.1T1改编)已知a≥b>0,M=2a3-b3,N=2ab2-a2b,则M,N的大小关系为________.
解析 2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).
因为a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,
从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,故2a3-b3≥2ab2-a2b.
答案 M≥N
3.(选修4-5P25T3改编)已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则++的最小值为________.
解析 把a+b+c=1代入++得++=3+++≥3+2+2+2=9,
当且仅当a=b=c=时等号成立.
答案 9
4.(2019·聊城模拟)下列四个不等式:
①logx10+lgx≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
解析 logx10+lgx=+lgx≥2(x>1),①正确;
ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;
因为ab≠0,与同号,
所以=+≥2,③正确;
由|x-1|+|x-2|的几何意义知,
|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确,
综上①③④正确.
答案 C
5.(2017·全国Ⅱ卷)已知a>0,b>0,且a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
证明
(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)
=4+ab(a4+b4-2a2b2)
=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)
≤2+(a+b)=2+,
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
考点一 比较法证明不等式
【例1】设a,b是非负实数,求证:
a2+b2≥(a+b).
证明 因为a2+b2-(a+b)
=(a2-a)+(b2-b)
=a(-)+b(-)
=(-)(a-b)
=(a-b)(a-b).
因为a≥0,b≥0,所以不论a≥b≥0,还是0≤a≤b,都有a-b与a-b同号,所以(a-b)(a-b)≥0,
所以a2+b2≥(a+b).
规律方法 比较法证明不等式的方法与步骤
1.作差比较法:
作差、变形、判号、下结论.
2.作商比较法:
作商、变形、判断、下结论.
提醒
(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法.
(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比较法.
【训练1】
(1)(2019·锦州模拟)设不等式|2x-1|<1的解集为M.
①求集合M;
②若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.
(2)若a>b>1,证明:
a+>b+.
(1)解 ①由|2x-1|<1得-1<2x-1<1,
解得0<x<1.所以M={x|0<x<1}.
②由①和a,b∈M可知0<a<1,0<b<1,
所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0.
故ab+1>a+b.
(2)证明 a+-=a-b+=.
由a>b>1得ab>1,a-b>0,
所以>0.
即a+->0,
所以a+>b+.
考点二 综合法证明不等式
【例2】
(1)已知a,b,c∈R,且它们互不相等,求证a4+b4+c4>a2b2+b2c2+c2a2;
(2)已知x,y,z均为正数,求证:
++≥++.
证明
(1)∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,a4+c4≥2a2c2,
∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),
即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
又∵a,b,c互不相等,
∴a4+b4+c4>a2b2+b2c2+c2a2.
(2)因为x,y,z都为正数,
所以+=≥①,
同理可得+≥②,
+≥③,
当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立.
将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,
得++≥++.
规律方法 1.综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.
2.在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时,要注意性质成立的前提条件.
【训练2】已知实数a,b,c满足a>0,b>0,c>0,且abc=1.
(1)证明:
(1+a)(1+b)(1+c)≥8;
(2)证明:
++≤++.
证明
(1)1+a≥2,1+b≥2,1+c≥2,
相乘得:
(1+a)(1+b)(1+c)≥8=8.
(2)++=ab+bc+ac,
ab+bc≥2=2,
ab+ac≥2=2,
bc+ac≥2=2,
相加得++≤++.
考点三 分析法证明不等式
【例3】已知函数f(x)=|x-1|.
(1)解不等式f(x-1)+f(x+3)≥6;
(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:
f(ab)>|a|f.
(1)解 由题意,知原不等式等价为|x-2|+|x+2|≥6,
令g(x)=|x-2|+|x+2|,
则g(x)=
当x≤-2时,由-2x≥6,得x≤-3;
当-2 当x≥2时,由2x≥6,得x≥3. 综上,不等式的解集是(-∞,-3]∪[3,+∞). (2)证明 要证f(ab)>|a|f, 只需证|ab-1|>|b-a|, 只需证(ab-1)2>(b-a)2. 而(ab-1)2-(b-a)2=a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)>0,从而原不等式成立. 规律方法 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. 2.分析法证明的思路是“执果索因”,其框图表示为: →→→…→ 【训练3】已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:
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