高一数学知识点三角函数及恒等公式经典题常考题50道含答案及解析.docx
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高一数学知识点三角函数及恒等公式经典题常考题50道含答案及解析
一、单选题
1.函数y=cosx|tanx|(0≤x<且x≠)的图象是下图中的( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【考点】同角三角函数基本关系的运用,正弦函数的图象
【解析】【解答】解:
当0时,y=cosxtanx≥0,排除B,D.当时,y=﹣cosxtanx<0,排除A.
故选:
C.
【分析】根据x的范围判断函数的值域,使用排除法得出答案.
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2.若α,β都是锐角,且,则cosβ=( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【考点】两角和与差的余弦函数
【解析】【解答】解:
∵α,β都是锐角,且,∴cosα==,cos(α﹣β)==,
则cosβ=cos[α﹣(α﹣β)]=cosαcos(α﹣β)+sinαsin(α﹣β)=+
=,
故选:
A.
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系,两角差的三角公式,求得cosβ=cos[α﹣(α﹣β)]的值.
==========================================================================
3.设为锐角,若cos=,则sin的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】二倍角的正弦
【解析】【解答】∵为锐角,cos=,∴∈,
∴==.
则sin=2.故答案为:
B
【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式求出正弦的值,再由二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。
==========================================================================
°sin105°的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】sin15°sin105°=sin15°cos15°=sin30°=,故答案为:
A.【分析】利用诱导公式转化已知的三角函数关系式求出结果即可。
==========================================================================
5.已知向量=(1,﹣cosθ),=(1,2cosθ),且⊥,则cos2θ等于( )
A. ﹣1 B. 0 C. D.
【答案】B
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系,二倍角的余弦
【解析】【解答】解:
由向量数量积的性质可知,=1﹣2cos2θ=0
即﹣cos2θ=0
∴cos2θ=0
故答案为:
B
【分析】由两向量垂直时,两向量的数量积为零,可得到1﹣2cos2θ=0,根据二倍角的余弦公式可得cos2θ=0.
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6.=( )
A. B. C. - D. -
【答案】A
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解:
sin=sin=,故选:
A.
【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式,可得结果.
==========================================================================
7.在△ABC中,若2cosB•sinA=sinC,则△ABC的形状一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【答案】C
【考点】两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】解析:
∵2cosB•sinA=sinC=sin(A+B)⇒sin(A﹣B)=0,又B、A为三角形的内角,
∴A=B.
答案:
C
【分析】在△ABC中,总有A+B+C=π,利用此关系式将题中:
“2cosB•sinA=sinC,”化去角C,最后得到关系另外两个角的关系,从而解决问题.
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8.设角θ的终边经过点P(﹣3,4),那么sinθ+2cosθ=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】任意角的三角函数的定义
【解析】【解答】解:
由于角θ的终边经过点P(﹣3,4),那么x=﹣3,y=4,r=|OP|=5,∴sinθ==,cosθ==﹣,∴sinθ+2cosθ=﹣,
故选C.
【分析】根据任意角的三角函数的定义求得sinθ= 和cosθ= 的值,从而求得sinθ+2cosθ的值.
==========================================================================
9.等于( )
A. 1 B. ﹣1 C. D.
【答案】C
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解:
sin=sin(504π+)=sin=,故选:
C.
【分析】由题意利用诱导公式,求得要求式子的值.
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10.已知sinα+cosα=-,,则tanα的值是( )
A. - B. - C. D.
【答案】B
【考点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为sinα+cosα=-,
又sin2α+cos2α=1,
所以sinα=﹣,cosα=,
所以tanα=
故选B.
【分析】通过平方关系式与已知表达式,求出sinα,cosα,即可得到结果.
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11.(2015·安徽)已知函数f(x)=Asin(+)(A,,均为正的常数)的最小正周期为,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是
A. f
(2)f(-2)f(0) B. f(0)f
(2)f(-2)
C. f(-2)f(0)f
(2) D. f
(2)f(0)f(-2)
【答案】A
【考点】三角函数值的符号,三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】由题意f(x)=Asin(+)(A,,均为正的常数),T==,所以=2,f(x)=Asin(),而当x=时解得=
kz时,要比较f
(2),f(-2),f(0)的大小,所以f
(2)f(-2)f(0)
【分析】对于三角函数比较大小的问题,先得出三角函数解析式,然后比较解析式进行判断,得出函数图像特征进行判断。
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12.已知向量=(cosθ,sinθ),=(1,﹣2),若∥,则代数式的值是( )
A. B. C. 5 D.
【答案】C
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示,同角三角函数间的基本关系,三角函数的化简求值
【解析】【解答】解:
向量=(cosθ,sinθ),=(1,﹣2),若∥,可得:
sinθ=﹣2cosθ.
==5.
故选:
C.
【分析】利用共线向量的关系,求出正弦函数与余弦函数的关系,代入所求表达式求解即可.
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13.若sin(π+A)=﹣,则cos(π﹣A)的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】同角三角函数基本关系的运用,运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解:
∵sin(π+A)=﹣sinA=∴sinA=
∵cos(π﹣A)=cos(π+π﹣A)=﹣cos(π﹣A)=﹣sinA=
故答案选C
【分析】先通过诱导公式求出sinA的值,再通过诱导公式化简cos(π﹣A)进而求值.
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14.下列各式中,值为的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【考点】二倍角的正弦,二倍角的余弦
【解析】【解答】,,
,,故答案为:
C.
【分析】利用二倍角的正与、余弦公式求逐一求出结果即可。
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15.已知sin2α=,则cos2()=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】二倍角的正弦,二倍角的余弦
【解析】【解答】∵sin2α=,∴cos2()=.故答案为:
B.【分析】借助二倍角的余弦公式整理化简原有的代数式,代入数值求出结果即可。
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16.设α,β为锐角,且sinα=,cosβ=,则α+β的值为( )
A. π B. π C. D.
【答案】C
【考点】两角和与差的余弦函数
【解析】【解答】解:
∵α,β为锐角,∴α+β∈(0,π),∵sinα=,cosβ=,∴cosα==,sinβ==,
∴cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ=•﹣•=,
故α+β=,
故选:
C.
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosα、sinβ的值,再利用两角和的余弦公式求得cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ的值,结合α+β的范围,可得α+β的值.
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17.已知<<π,3sin2=2cos,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】∵<<π,3sin2=2cos,∴sin=,cos=.
∴,故答案为:
C.
【分析】首先由题意借助角的取值范围再结合同角三角函数的关系式sin2α+cos2α=1求出cosα的值,再由诱导公式的公式求出结果即可。
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18.设为第四象限的角,cos=,则sin2=( )
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】二倍角的正弦
【解析】【解答】∵为第四象限的角,cos=,∴sin= =,
则sin2=2sincos=,故答案为:
D.
【分析】由同角三角函数的关系=1求出sinθ的值,再结合二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。
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19.已知则cos(α+β)的值为( )
A. - B. - C. D.
【答案】B
【考点】同角三角函数间的基本关系,两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】因为,,所以,,
又因为,,所以,,
故,故答案为:
B.
【分析】根据已知角的取值范围分别得出+α、+β的取值范围,再借助两角和差的正弦公式以及同角三角函数的关系式求出对应的正弦和余弦值,整理要求的cos(α+β)运用整体思想求出结果。
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20.的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】二倍角的正弦
【解析】【解答】
=.故答案为:
D
【分析】利用二倍角的正弦公式分子分母同时乘以需要的正弦值整理化简原有的代数式即可求出结果。
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21.已知当时,函数y=sinx+acosx取最大值,则函数y=asinx﹣cosx图象的一条对称轴为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的对称性
【解析】【解答】解:
∵当时,函数y=sinx+acosx取最大值,∴
解得:
,
∴,
∴是它的一条对称轴,
故选A.
【分析】由题意知当时,函数y=sinx+acosx取最大值,把值代入表示出最大值,求出a的值,把求出的值代入三角函数式,表示出对称轴,得到结果.
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22.已知cos(α﹣)+sinα=,则sin(α+)的值是( )
A. B. ﹣ C. ﹣ D.
【答案】B
【考点】两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】解:
∵cos(α﹣)+sinα=cosα+sinα=sin(α+)=,
∴sin(α+)=,
则sin(α+)=﹣sin(α+)=﹣,
故答案为:
B.
【分析】由两角差的余弦公式进行化简可得sin(α+)=,根据三角形诱导公式可得答案.
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23.如图圆C内切于扇形AOB,∠AOB=,若在扇形AOB内任取一点,则该点在圆C内的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】几何概型,扇形面积公式
【解析】【解答】解:
由题意知本题是一个等可能事件的概率,设圆C的半径为r,试验发生包含的事件对应的是扇形AOB,
满足条件的事件是圆,其面积为⊙C的面积=π•r2,
连接OC,延长交扇形于P.
由于CE=r,∠BOP=,OC=2r,OP=3r,
则S扇形AOB==;
∴⊙C的面积与扇形OAB的面积比是.
∴概率P=,
故选C.
【分析】本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB,满足条件的事件是圆,根据题意,构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系,进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与⊙P的面积比.
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二、解答题(共20题;)
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24.(2015·北京卷)已知函数
(1)求的最小正周期;
(2)求在区间上的最小值.
【答案】
(1)解:
的最小正周期为;
(2)解:
因为,所以当时,f(x)取得最小值为:
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值,三角函数中的恒等变换应用
【解析】【分析】先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形,把函数化为f(x)=Asin(ψx+φ)+m形式,再利用周期公式T=2π/ω求出周期,第二步由于-π≤x≤0,则可求出-3π/4≤x+π/4≤π/4,借助正弦函数图像找出在这个范围内当x+π/4=-π/2,即x=-3π/4时,f(x)取得最小值为:
.
==========================================================================
25.化简:
.
【答案】解:
原式==1
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】根据诱导公式化简计算即可.
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26.已知角为第三象限角,,若,求的值.
【答案】解:
,从而 ,
又 为第三象限角,则 ,
即 的值为
【考点】运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】由题意利用三角函数值的诱导公式“奇变偶不变符号看象限”对原式进行化简,再结合同角三角函数的基本关系式求出cosα的值。
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27.已知α是第三象限角,且f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)已知cos(﹣α)=,求f(α)的值.
【答案】解:
(1)∵已知α是第三
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